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第八节　二项分布、超几何分布与正态分布
1.理解二项分布、超几何分布的概念,能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念,并进行简单应用
教材再回首
1.二项分布
(1)伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做　　　　　　　　.
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 　　　　　　　　　.
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0(3)均值、方差
若X~B(n,p),则E(X)=　　,D(X)=　　　　.
2.超几何分布
(1)定义
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=,则E(X)=　　　　=　　　.
3.正态曲线和正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,称为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为　　　　　　　,特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线　　　对称;
②曲线在x=μ处达到峰值　　　　　;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
(4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响
①当σ较小时,峰值高,正态曲线“　　　　”,表示随机变量X的分布比较　　　;
②当σ较大时,峰值低,正态曲线“　　　　”,表示随机变量X的分布比较　　　.
(5)若X~N(μ,σ2),则E(X)=　　,D(X)=　　　.
(6)3σ原则
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
典题细发掘
1.(人A选必修③P74例1改编)在100件产品中有5件次品,采用放回的方式从中任意抽取10件,设X表示这10件产品中的次品数,则 (　　)
A.X~B(100,0.05) B.X~B(10,0.05)
C.X~B(100,0.95) D.X~B(10,0.95)
2.(人A选必修③P77T2改编)鸡接种一种疫苗后,有90%不会感染某种病毒,如果有5只鸡接种了疫苗,则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为 (　　)
A.0.33 B.0.66
C.0.5 D.0.45
3.(北师大选必修①P224T2)若随机变量ξ~N(μ,σ2),其分布密度函数为φ(x)=(x∈R),则σ的值为 (　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
4.(苏教选必修②P146T8改编)如果随机变量X~B,那么D(X)=　　　　.
题点一　二项分布
[例1]　(2025·重庆模拟)已知某计算机网络的服务器有三台设备,只要有一台能正常工作,计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8,它们之间互相不影响.设能正常工作的设备数为X.
(1)求X的分布列;
(2)求E(X)和D(X);
(3)求计算机网络不会断掉的概率.
|思维建模|
二项分布问题的解题关键
(1)定型:①在每一次试验中,事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.
(2)定参:确定二项分布中的两个参数n和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.
[即时训练]
1.袋中装有标号为1,2,3,4,5且质地、大小相同的5个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和是偶数则获奖.若有4人参与摸球,则恰好2人获奖的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
2.某全国连锁咖啡店,男会员占60%,女会员占40%,现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知,男会员对服务质量不满意的概率为,女会员对服务质量不满意的概率为.
(1)随机选取一名会员,求其对服务质量不满意的概率;
(2)从会员中随机抽取3人,记抽取的3人中,对服务质量不满意的人数为X,求X的分布列和均值.
　　　　　　
　　　　　　　　　　
拓展与建模:二项分布中的最值问题
　　记pk=P(X=k),则当k<(n+1)p时,pk>pk-1,pk递增;当k>(n+1)p时,pk故若(n+1)p为整数,则pk的最大值在k=(n+1)p时取得(此时pk=pk-1,两项均为最大值);若(n+1)p为非整数,则k取(n+1)p的整数部分时,pk最大且唯一.
[针对训练]
1.小明有一枚质地不均匀的骰子,每次掷出后出现1点的概率为p(0A.E(X)>6　 B.E(X)<6
C.E(X)=6 D.E(X)与6的大小无法确定
2.某市为了传承中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为,且每次答题相互独立,若该同学连续作答20道试题后结束比赛,记该同学答对m道试题的概率为f(m),则当m=　　　　时,f(m)取得最大值.
题点二　超几何分布
[例2]　(2025·上海模拟)设甲盒有3个白球,2个红球,乙盒有4个白球,1个红球,现从甲盒任取2个球放入乙盒,再从乙盒任取2个球.
(1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数,求期望E(X)的值;
(2)求从乙盒取出2个红球的概率.
|思维建模|　
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:
①考察对象分两类;
②已知各类对象的个数;
③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.
[即时训练]
3.袋中有8个除颜色外完全相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.
(1)若从袋中一次性取出两个小球,记取到的红球个数为X,求X的分布列和均值;
(2)若从袋中不放回地取3次,每次取一个小球,取到黑球记0分,取到白球记2分,取到红球记4分,在最终得分为8分的条件下,求恰取到一个红球的概率.
题点三　正态分布
[例3]
(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量,其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量,最后结果的误差Xn~N,要控制|Xn|≥的概率不大于0.002 7,至少要测量的次数为(参考数据:P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3) (　　)
A.141 B.128
C.288 D.512
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.841 3) (　　)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
|思维建模|　解决正态分布问题的注意点
1.对于正态分布N(μ,σ2):
(1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5;
(2)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);
(3)P(X(4)P(a2.服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法:
(1)利用P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值直接求解;
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解.
[即时训练]
4.[多选]若随机变量X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取K(K∈N*,K≥2)个数据,记这K个数据的平均值为Y,则随机变量Y~N.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米,标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠,将它串成一条链.设这16颗珍珠的直径平均值为Y,则(附:P(μ-σ≤η≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)=0.997 3) (　　)
A.随机变量Y的标准差为
B.随机变量Y~N
C.P=0.975 9
D.P(Y<14)=0.045 5
5.甲、乙两地举行数学联考,统计发现:甲地学生的成绩X~N(μ1,)(σ1>0),乙地学生的成绩Y~N(μ2,)(σ2>0).如图分别是其正态分布的密度曲线,则 (　　)
(若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997 3)
A.甲地数学的平均成绩比乙地的高
B.甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C.P(90≤X≤94)>P(82≤X≤90)
D.若σ2=8,则P(92≤Y≤124)=0.84
第八节　二项分布、超几何分布与正态分布
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.(1)伯努利试验　n重伯努利试验　(2)pk(1-p)n-k　
X~B(n,p)　(3)np　np(1-p)
2.(2)　np
3.(2)X~N(μ,σ2)　(3)x=μ　　(4)瘦高　集中　矮胖　分散　(5)μ　σ2
[典题细发掘]
1.选B　有放回地抽取,每次抽到次品的概率都是0.05,相当于10重伯努利试验,所以X~B(10,0.05).
2.A
3.选B　因为随机变量ξ~N(μ,σ2),其分布密度函数为φ(x)=,所以μ=1,σ2=4,所以σ=2.
4.
课堂·题点精研
题点一
[例1]　解:(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,0.8),
P(X=0)=×0.80×(1-0.8)3=0.008,
P(X=1)=×0.81×(1-0.8)2=0.096,
P(X=2)=×0.82×(1-0.8)1=0.384,
P(X=3)=×0.83×(1-0.8)0=0.512,
所以X的分布列如下:
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
(2)因为X~B(3,0.8),所以E(X)=3×0.8=2.4,D(X)=3×0.8×(1-0.8)=0.48.
(3)要使得计算机网络不会断掉,也就是要求能正常工作的设备至少有一台,即X≥1,
因此所求概率为P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0.008=0.992.
[即时训练]
1.快审准解:先确定摸一次中奖的概率,4个人摸奖,相当于发生4次试验,根据每一次发生的概率,利用独立重复试验的公式得到结果.
选A　从袋子中一次性摸出两个球,共有=10种情况,
其中两个号码的和为偶数的有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4种情况,
所以一个人摸球,能够获奖的概率为=,
所以4人参与摸球,恰好2人获奖的概率P=××=.故选A.
2.解:(1)设事件A1:会员是男会员,A2:会员是女会员,事件B:对服务质量不满意.
由题意,P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,
由全概率公式可得,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
(2)由题意知,X~B,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为X~B,所以E(X)=3×=.
拓展与建模
1.快审准解:先求得P(X=6)的表达式,由此列不等式,结合数学期望的知识确定正确答案.
选B　由题意,得X服从二项分布B(N,p),则P(X=6)=p6(1-p)N-6,P(X=6)最大即为满足解得-1≤N≤.
又N∈N*,故为整数时,结合题设要求N=-1,E(X)=p<6;不为整数时,N为小于的整数,E(X)=Np<6,故E(X)<6.故选B.
2.解析:由题意得f(m)=××,0≤m≤20且m∈N,
则
即
故
又m∈N,所以m=13或m=14,故当m=13或m=14时,f(m)取得最大值.
答案:13或14
题点二
[例2]　解:(1)由题可知,随机变量X可能的取值有0,1,2,
所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
则X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×=.
(2)若X=0,则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒,此时乙盒有6个白球,1个红球,所以从乙盒取出2个红球的概率为0;
若X=1,则此时甲盒取出来了1个白球,1个红球放入乙盒,此时乙盒有5个白球,2个红球,所以从乙盒取出2个红球的概率为=;
若X=2,则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒,此时乙盒有4个白球,3个红球,所以从乙盒取出2个红球的概率为==.
所以从乙盒取出2个红球的概率为×0+×+×=.
[即时训练]
3.解:(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,
P==,P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)=0×+1×+2×=1.
(2)设事件A=“最后得分为8分”,
事件B=“恰取到一个红球”.
由题意,最后得分为8分有两种情况:摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球,
所以P(A)==,P(AB)==,
所以P(B|A)===.
题点三
[例3]　(1)C　(2)BC
(1)根据题意得P≤0.002 7,即1-P≤0.002 7,所以P≥0.997 3.因为μ=0,所以P(-3σ≤Xn≤3σ)≈0.997 3,所以3σ≤,所以 ≤,解得n≥288,所以至少要测量的次数为288.
(2)依题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12),故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5,C正确,D错误;P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2,而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)<0.2,B正确,A错误.故选BC.
[即时训练]
4.选BC　由题设可知,μ=15,σ=2,K=16,则随机变量Y~N,可得随机变量Y的标准差为,可得A错误、B正确;因为P=1-P-P(Y>16)
=1--[1-P(14≤Y≤16)]=P+P(14≤Y≤16)
=×0.997 3+×0.954 5=0.975 9,即C正确;易知P(Y<14)=(1-0.954 5)=0.027 75,即D错误.
5.选D　对于A,由正态曲线可知甲地数学平均分为90分,乙地数学平均分为100分,故甲地数学的平均成绩比乙地的低,A错误;对于B,由正态分布曲线可看出乙地数学成绩更集中,故甲地数学成绩的离散程度比乙地的大,B错误;对于C,由于μ1=90,根据正态分布曲线的对称性可知P(90≤X≤94)=P(86≤X≤90)第八节
二项分布、超几何分布与正态分布
明确目标
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.二项分布
(1)伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做_____________.
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为________________.
伯努利试验
n重伯努利试验
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0(3)均值、方差
若X~B(n，p)，则E(X)=___，D(X)=_________.
pk(1-p)n-k
X~B(n，p)
np
np(1-p)
2.超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=，则E(X)=_____=____.
np
3.正态曲线和正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)=，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为____________，特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
X~N(μ，σ2)
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线______对称;
②曲线在x=μ处达到峰值_______;
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
x=μ
(4)参数μ和σ对正态曲线形状的影响
①当σ较小时，峰值高，正态曲线“_____”，表示随机变量X的分布比较_____;
②当σ较大时，峰值低，正态曲线“_____”，表示随机变量X的分布比较_____.
(5)若X~N(μ，σ2)，则E(X)=___，D(X)=___.
(6)3σ原则
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
瘦高
集中
矮胖
分散
μ
σ2
典题细发掘
1.(人A选必修③P74例1改编)在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则 (　　)
A.X~B(100，0.05) B.X~B(10，0.05)
C.X~B(100，0.95) D.X~B(10，0.95)
解析:有放回地抽取，每次抽到次品的概率都是0.05，相当于10重伯努利试验，所以X~B(10，0.05).
√
2.(人A选必修③P77T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为 (　　)
A.0.33 B.0.66
C.0.5 D.0.45
√
3.(北师大选必修①P224T2)若随机变量ξ~N(μ，σ2)，其分布密度函数为φ(x)=(x∈R)，则σ的值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:因为随机变量ξ~N(μ，σ2)，其分布密度函数为φ(x)=，所以μ=1，σ2=4，所以σ=2.
√
4.(苏教选必修②P146T8改编)如果随机变量X~B，那么D(X)=____.
课堂·题点精研
02
[例1]　(2025·重庆模拟)已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响.设能正常工作的设备数为X.
(1)求X的分布列;
题点一　二项分布
解:由题意得X的可能取值为0，1，2，3，且X~B(3，0.8)，
P(X=0)=×0.80×(1-0.8)3=0.008，
P(X=1)=×0.81×(1-0.8)2=0.096，
P(X=2)=×0.82×(1-0.8)1=0.384，
P(X=3)=×0.83×(1-0.8)0=0.512，
所以X的分布列如下:
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
(2)求E(X)和D(X);
解:因为X~B(3，0.8)，所以E(X)=3×0.8=2.4，D(X)=3×0.8×(1-0.8)=0.48.
(3)求计算机网络不会断掉的概率.
解:要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即X≥1，
因此所求概率为P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-0.008=0.992.
二项分布问题的解题关键
(1)定型:①在每一次试验中，事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
(2)定参:确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.
思维建模
1.袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
快审准解:先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果.
即时训练
√
解析:从袋子中一次性摸出两个球，共有=10种情况，
其中两个号码的和为偶数的有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4种情况，
所以一个人摸球，能够获奖的概率为=，所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率P=××=.故选A.
2.某全国连锁咖啡店，男会员占60%，女会员占40%，现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量不满意的概率为，女会员对服务质量不满意的概率为.
(1)随机选取一名会员，求其对服务质量不满意的概率;
解:设事件A1:会员是男会员，A2:会员是女会员，事件B:对服务质量不满意.由题意，P(A1)=，P(A2)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，
由全概率公式可得，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.
(2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量不满意的人数为X，求X的分布列和均值.
解:由题意知，X~B，则P(X=0)==，
P(X=1)==，P(X=2)==，
P(X=3)==.
所以X的分布列为
因为X~B，所以E(X)=3×=.
X 0 1 2 3
P
拓展与建模
二项分布中的最值问题
记pk=P(X=k)，则当k<(n+1)p时，pk>pk-1，pk递增;当k>(n+1)p时，pk故若(n+1)p为整数，则pk的最大值在k=(n+1)p时取得(此时pk=pk-1，两项均为最大值);
若(n+1)p为非整数，则k取(n+1)p的整数部分时，pk最大且唯一.
[针对训练]
1.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的概率为p(0A.E(X)>6
B.E(X)<6
C.E(X)=6
D.E(X)与6的大小无法确定
√
快审准解:先求得P(X=6)的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案.
解析:由题意，得X服从二项分布B(N，p)，则P(X=6)=p6(1-p)N-6，
P(X=6)最大即为满足
解得-1≤N≤.又N∈N*，故为整数时，结合题设要求
N=-1，E(X)=p<6;不为整数时，N为小于的整数，E(X)=Np<6，故E(X)<6.故选B.
2.某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m道试题的概率为f(m)，则当m=__________时，f(m)取得最大值.
13或14
解析:由题意得f(m)=××，0≤m≤20且m∈N，
则
即
故
又m∈N，所以m=13或m=14，
故当m=13或m=14时，f(m)取得最大值.
[例2]　(2025·上海模拟)设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2个球放入乙盒，再从乙盒任取2个球.
(1)记随机变量X表示从甲盒取出的红球个数，求期望E(X)的值;
解:由题可知，随机变量X可能的取值有0，1，2，
所以P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，则X的分布列为
所以E(X)=0×+1×+2×=.
题点二　超几何分布
X 0 1 2
P
(2)求从乙盒取出2个红球的概率.
解:若X=0，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0;
若X=1，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为=;
若X=2，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为==.
所以从乙盒取出2个红球的概率为×0+×+×=.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:
①考察对象分两类;
②已知各类对象的个数;
③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
思维建模
3.袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.
(1)若从袋中一次性取出两个小球，记取到的红球个数为X，求X的分布列和均值;
解:由题意得X的可能取值为0，1，2，P==，P(X=1)==，P(X=2)==，所以X的分布列为
E(X)=0×+1×+2×=1.
即时训练
X 0 1 2
P
(2)若从袋中不放回地取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，求恰取到一个红球的概率.
解:设事件A=“最后得分为8分”，事件B=“恰取到一个红球”.
由题意，最后得分为8分有两种情况:摸出2个白球1个红球或1个黑球2个红球，
所以P(A)==，P(AB)==，所以P(B|A)===.
[例3]
(1)现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn~N，要控制|Xn|≥的概率不大于0.002 7，至少要测量的次数为(参考数据:P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)(　　)
A.141 B.128
C.288 D.512
√
题点三　正态分布
解析:根据题意得P≤0.002 7，即1-P≤0.002 7，所以P≥0.997 3.因为μ=0，所以P(-3σ≤Xn≤3σ)≈0.997 3，所以3σ≤，所以 ≤，解得n≥288，所以至少要测量的次数为288.
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)(　　)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
√
√
解析:依题可知X~N(1.8，0.12)，Y~N(2.1，0.12)，故P(Y>2)
=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误;
P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)，因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2，而P(X>2)=P(X>1.8+
2×0.1)1.8+0.1)<0.2，B正确，A错误.故选BC.
解决正态分布问题的注意点
1.对于正态分布N(μ，σ2):
(1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5;
(2)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);
(3)P(X(4)P(a思维建模
2.服从N(μ，σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法:
(1)利用P(μ-σ≤X≤μ+σ)，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值直接求解;
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解.
4.[多选]若随机变量X~N(μ，σ2)，从X的取值中随机抽取K(K∈N*，K≥2)个数据，记这K个数据的平均值为Y，则随机变量Y~N.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.在该店随机挑选16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条链.设这16颗珍珠的直径平均值为Y，则(附:P(μ-σ≤η≤μ+σ)=0.682 7，P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)=0.954 5，P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)=0.997 3)(　　)
即时训练
A.随机变量Y的标准差为
B.随机变量Y~N
C.P=0.975 9
D.P(Y<14)=0.045 5
√
√
解析:由题设可知，μ=15，σ=2，K=16，则随机变量Y~N，可得随机变量Y的标准差为，可得A错误、B正确;因为
P=1-P-P(Y>16)
=1--[1-P(14≤Y≤16)]=P+P(14≤Y≤16)=×0.997 3+×0.954 5=0.975 9，即C正确;易知P(Y<14)=(1-0.954 5)=0.027 75，即D错误.
5.甲、乙两地举行数学联考，统计发现:甲地学生的成绩X~N(μ1，)(σ1>0)，乙地学生的成绩Y~N(μ2，)(σ2>0).如图分别是其正态分布的密度曲线，则(　　)
(若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.682 7，P(μ-2σ
≤X≤μ+2σ)=0.954 5，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997 3)
A.甲地数学的平均成绩比乙地的高
B.甲地数学成绩的离散程度比乙地的小
C.P(90≤X≤94)>P(82≤X≤90)
D.若σ2=8，则P(92≤Y≤124)=0.84
解析:对于A，由正态曲线可知甲地数学平均分为90分，乙地数学平均分为100分，故甲地数学的平均成绩比乙地的低，A错误;对于B，由正态分布曲线可看出乙地数学成绩更集中，故甲地数学成绩的离散程度比乙地的大，B错误;
√
对于C，由于μ1=90，根据正态分布曲线的对称性可知P(90≤X≤94)=P(86≤X≤90)课时跟踪检测
03
一、单选题
1.(2025·武汉期末)某人射击一次击中目标的概率是，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析:由题意可得，此人至少有两次击中目标的概率为×
+=，故选A.
√
1
5
6
7
8
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11
12
2
3
4
2.已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为 (　　)
A. B.
C.1 D.
解析:ξ的所有可能取值为0，1，2，则P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，则E(ξ)=0×+1×+2×=.
√
1
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8
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2
3
4
3.(2025·南京模拟)血压差是指血压的收缩压减去舒张压的值.已知某校学生的血压差服从正态分布X~N(30，σ2).若P(260.40，则随机变量X的第90百分位数的估计值为 (　　)
A.42 B.38
C.36 D.34
解析:由P(26=0.40+0.50=0.90，故随机变量X的第90百分位数的估计值为34.故选D.
√
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4
4.(2025·临沂联考)一个不透明的袋子中装有3个黑球，n(n∈N*)个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则E(X)=(　　)
A. B.
C.1 D.2
√
1
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2
3
4
解析:由=，得n=3，则X的可能取值为0，1，2，3，∴P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==，∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
1
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2
3
4
5.(2025·武汉联考)设随机变量X~B(n，p)，当正整数n很大，p很小，np不大时，X的分布接近泊松分布，即P(X=i)≈(i∈N).现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有95%及其以上的概率购得100个正品，则至少需要购买的元件个数为(　　)
A.100 B.101
C.102 D.103
√
1
5
6
7
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2
3
4
解析:记随机变量X为购买a个元件中的次品数，由题意，此时可认为X服从泊松分布，则P(X≤a-100)≥0.95，记t=a-100，则 ≥0.95.由于t很小，故大致有
≥0.95，分别代入t=0，1，2，3，左边依次约等于0.37，0.74，0.92，0.98，故t≥3，即a≥103.
1
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3
4
6.(2025·泉州模拟)中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量ξ~B(n，p)，则当np>5且n(1-p)≥5时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀分布的骰子2 500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为 (　　)
附:若η~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<η<μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<η<μ+2σ)≈
0.954 5，P(μ-3σ<η<μ+3σ)≈0.997 3.
A.0.002 7 B.0.5
C.0.841 4 D.0.977 3
√
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2
3
4
解析:骰子向上的点数为偶数的概率p=，故ξ~B，显然np=n(1-p)=2 500×>5，其中np=1 250，np(1-p)=625，故η~N(1 250，252)，则μ+2σ=1 250+50=1 300，由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为0.5+×0.954 5≈0.977 3.
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4
二、多选题
7.(2025·淮安模拟)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k=0，1，2，3.则下列判断正确的是(　　)
A.随机变量X服从二项分布 B.随机变量Y服从超几何分布
C.P(X=k)√
1
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2
3
4
√
√
解析:对于A、B，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确;对于D，设该批产品有M件，则E(X)=3×=，E(Y)=
= ==，故D正确;对于C，假设C正确可得E(X)1
5
6
7
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10
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2
3
4
8.在实际生产中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则，若X在[μ-3σ，μ+3σ]外，可以认为生产线是不正常的，已知P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.某生产线上生产的零件长度X服从正态分布N(1，0.000 1)(单位:厘米)，则下列结论正确的是 (　　)
A.P(X=1)=
B.P(X<0.99)=P(X>1.01)
C.若抽检的10个样本的长度均在[0.99，1.02]内，可以认为生产线正常
D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95，应对生产线进行检修
√
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2
3
4
√
√
解析:由题意可得μ=1，σ=0.01.对于A，因为正态分布求的是随机变量X在某一区域内的概率(在某一处的概率约为0)，所以P(X=1)接近于0或P(X≤1)=或P(X≥1)=，故A错误;对于B，因为X服从正态分布N(1，0.000 1)，所以其正态曲线关于μ=1对称，所以P(X<0.99)=P(X>1
+0.01)=P(X>1.01)，故B正确;对于C，因为μ-3σ=0.97，μ+3σ=1.03，即零件长度在[0.97，1.03]内是正常零件，否则就不是正常零件，故C正确;对于D，由C的分析，可知0.95 [0.97，1.03]，所以需要对生产线进行检修，故D正确.
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三、填空题
9.一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是____，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)=____.
解析:从中任意取出3个球，样本点总数n==10，其中有黄球的样本点个数m=+=9.所以有黄球的概率是P==.ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
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10.在工业生产中轴承的直径服从N(3.0，0.002 5)，购买者要求直径为3.0±ε，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为____.(若X~N(μ，σ2)，则P(|X-μ|<2σ)
=0.954 5)
解析:若X~N(μ，σ2)，则P(|X-μ|<2σ)=0.954 5，因为工业生产中轴承的直径服从N(3.0，0.002 5)，所以μ=3.0，σ2=0.002 5，则σ=0.05，由P(|X-3.0|<0.1)=0.954 5，得P(|X-3.0|≥0.1)=1-0.954 5=
0.045 5，则要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为0.1.
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0.1
四、解答题
11.(13分)(2025·肇庆模拟)已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6∶3∶1.
(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，求至少分离出2个轻水分子的概率;(5分)
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4
解:设事件M=“至少分离出2个轻水分子”，由题意知分离出1个轻水分子的概率为=，分离出1个非轻水分子的概率为=，
所以P(M)=×+×==，
故至少分离出2个轻水分子的概率为.
1
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(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子，其中轻水分子的个数为6，然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验，记这3个水分子中轻水分子的个数为X，求X的数学期望.(8分)
解:因为分离出10个水分子，其中轻水分子有6个，所以重水和超重水分子共有4个，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)===，P(X=1)===，P(X=2)===，P(X=3)===.故E(X)=0×+1×+2×+3×=.
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12.(15分)(2025·济南模拟)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格.
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算 (xi-)2=1 690， =33 050.
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序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
(1)求;(3分)
解:=×(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56.
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列;(5分)
解:因为体质测试不合格的学生有3名，
所以X的可能取值为0，1，2，3.
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因为P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==.
所以X的分布列为
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X 0 1 2 3
P
(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y).(7分)
附:若ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤ξ≤μ+
2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
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4
解:因为=56，s2= (xi-)2=×1 690=169，所以μ=56，σ=13.
因为P(30≤x≤82)=P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)≈0.954 5，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.954 5，
故Y~B(100，0.954 5)，所以E(Y)=100×0.954 5=95.45.
1
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4课时跟踪检测(七十九)　二项分布、超几何分布与正态分布
一、单选题
1.(2025·武汉期末)某人射击一次击中目标的概率是,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知5件产品中有2件次品,3件正品,检验员从中随机抽取2件进行检测,记取到的正品数为ξ,则均值E(ξ)为 (　　)
A. B.
C.1 D.
3.(2025·南京模拟)血压差是指血压的收缩压减去舒张压的值.已知某校学生的血压差服从正态分布X~N(30,σ2).若P(26A.42 B.38
C.36 D.34
4.(2025·临沂联考)一个不透明的袋子中装有3个黑球,n(n∈N*)个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中任意取出3个球,已知取出2个黑球,1个白球的概率为,设X为取出白球的个数,则E(X)= (　　)
A. B.
C.1 D.2
5.(2025·武汉联考)设随机变量X~B(n,p),当正整数n很大,p很小,np不大时,X的分布接近泊松分布,即P(X=i)≈(i∈N).现需100个正品元件,该元件的次品率为0.01,若要有95%及其以上的概率购得100个正品,则至少需要购买的元件个数为 (　　)
A.100 B.101
C.102 D.103
6.(2025·泉州模拟)中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理,若随机变量ξ~B(n,p),则当np>5且n(1-p)≥5时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀分布的骰子2 500次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为 (　　)
附:若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ<η<μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<η<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<η<μ+3σ)≈0.997 3.
A.0.002 7 B.0.5
C.0.841 4 D.0.977 3
二、多选题
7.(2025·淮安模拟)某工厂进行产品质量抽测,两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品,已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品,员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品,员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品.设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X,员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y,k=0,1,2,3.则下列判断正确的是 (　　)
A.随机变量X服从二项分布 B.随机变量Y服从超几何分布
C.P(X=k)8.在实际生产中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则,若X在[μ-3σ,μ+3σ]外,可以认为生产线是不正常的,已知P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.某生产线上生产的零件长度X服从正态分布N(1,0.000 1)(单位:厘米),则下列结论正确的是 (　　)
A.P(X=1)=
B.P(X<0.99)=P(X>1.01)
C.若抽检的10个样本的长度均在[0.99,1.02]内,可以认为生产线正常
D.若抽检的10个样本中有一个零件的长度为0.95,应对生产线进行检修
三、填空题
9.一袋中有除颜色不同,其他都相同的2个白球,2个黄球,1个红球,从中任意取出3个球,有黄球的概率是　　　　,若ξ表示取到黄球的个数,则E(ξ)=　　　　.
10.在工业生产中轴承的直径服从N(3.0,0.002 5),购买者要求直径为3.0±ε,不在这个范围的将被拒绝,要使拒绝的概率控制在4.55%之内,则ε至少为　　　　　　.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.954 5)
四、解答题
11.(13分)(2025·肇庆模拟)已知某批矿物晶体中含有大量水分子,且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6∶3∶1.
(1)现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子,用频率估计概率,求至少分离出2个轻水分子的概率;(5分)
(2)从一块矿物晶体中分离出10个水分子,其中轻水分子的个数为6,然后再从这10个水分子中随机分离出3个水分子来进行后续的实验,记这3个水分子中轻水分子的个数为X,求X的数学期望.(8分)
12.(15分)(2025·济南模拟)为了切实加强学校体育工作,促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,某高中学校计划优化课程,增加学生体育锻炼时间,提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试,得到如下表格.
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩xi(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为,s2,经计算 (xi-)2=1 690, =33 050.
(1)求;(3分)
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格,从这10名学生中任取3名,记体质测试成绩不合格的人数为X,求X的分布列;(5分)
(3)经统计,高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ,σ2),用,s2的值分别作为μ,σ2的近似值,若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试,记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的人数为Y,求Y的数学期望E(Y).(7分)
附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.
课时跟踪检测(七十九)
1.选A　由题意可得,此人至少有两次击中目标的概率为×+=,故选A.
2.选D　ξ的所有可能取值为0,1,2,则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,则E(ξ)=0×+1×+2×=.
3.选D　由P(264.选A　由=,得n=3,则X的可能取值为0,1,2,3,∴P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
5.选D　记随机变量X为购买a个元件中的次品数,由题意,此时可认为X服从泊松分布,则P(X≤a-100)≥0.95,记t=a-100,则≥0.95.由于t很小,故大致有≥0.95,分别代入t=0,1,2,3,左边依次约等于0.37,0.74,0.92,0.98,故t≥3,即a≥103.
6.选D　骰子向上的点数为偶数的概率p=,故ξ~B,显然np=n(1-p)=2 500×>5,其中np=1 250,np(1-p)=625,故η~N(1 250,252),则μ+2σ=1 250+50=1 300,由正态分布的对称性可知,估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1 300的概率为0.5+×0.954 5≈0.977 3.
7.选ABD　对于A、B,由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确;对于D,设该批产品有M件,则E(X)=3×=,E(Y)= ==,故D正确;对于C,假设C正确可得E(X)8.选BCD　由题意可得μ=1,σ=0.01.对于A,因为正态分布求的是随机变量X在某一区域内的概率(在某一处的概率约为0),所以P(X=1)接近于0或P(X≤1)=或P(X≥1)=,故A错误;对于B,因为X服从正态分布N(1,0.000 1),所以其正态曲线关于μ=1对称,所以P(X<0.99)=P(X>1+0.01)=P(X>1.01),故B正确;对于C,因为μ-3σ=0.97,μ+3σ=1.03,即零件长度在[0.97,1.03]内是正常零件,否则就不是正常零件,故C正确;对于D,由C的分析,可知0.95 [0.97,1.03],所以需要对生产线进行检修,故D正确.
9.解析:从中任意取出3个球,样本点总数n==10,其中有黄球的样本点个数m=+=9.所以有黄球的概率是P==.ξ表示取到黄球的个数,则ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以E(ξ)=0×+1×+2×=.
答案:　
10.解析:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)=0.954 5,因为工业生产中轴承的直径服从N(3.0,0.002 5),所以μ=3.0,σ2=0.002 5,则σ=0.05,由P(|X-3.0|<0.1)=0.954 5,得P(|X-3.0|≥0.1)=1-0.954 5=0.045 5,则要使拒绝的概率控制在4.55%之内,则ε至少为0.1.
答案:0.1
11.解:(1)设事件M=“至少分离出2个轻水分子”,由题意知分离出1个轻水分子的概率为=,分离出1个非轻水分子的概率为=,
所以P(M)=×+×==,故至少分离出2个轻水分子的概率为.
(2)因为分离出10个水分子,其中轻水分子有6个,所以重水和超重水分子共有4个,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)===,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===.
故E(X)=0×+1×+2×+3×=.
12.解:(1)=×(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56.
(2)因为体质测试不合格的学生有3名,
所以X的可能取值为0,1,2,3.
因为P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(3)因为=56,s2= (xi-)2=×1 690=169,
所以μ=56,σ=13.
因为P(30≤x≤82)=P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)≈0.954 5,
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的概率约为0.954 5,
故Y~B(100,0.954 5),所以E(Y)=100×0.954 5=95.45.

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