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高三数学五月适应性测试一
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合A= x|x2-5x-6<0 ,B={-3, -2, -1,0,1,2,3}，则A∩B= ( )
A. {-1,0,1,2,3} B. {0,1,2,3} C. {-2, -1,0,1,2,3} D. {-1,0,1,2}
2. 已知 1+ i z= i2- i3，则 z- z= ( )
A. 2i B. - 2i C. 0 D. 1

3. 已知 a，b为单位向量，且 a⊥ a -3b ，则 3a -b = ( )
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4
4.已知随机变量 ξ N 1,σ2 ，且P ξ≤0 =P ξ≥a 1 ，则 x +
9
a-x 0A. 4 B. 8 C. 16 D. 192
5.已知数列 an 满足 an+1= 1+ anan+1，a1= 2，则此数列前 100项的和为 ( )
A. 97 B. 992 2 C. 50 D.
103
2
6. tanθtan2θ = 4已知 - ，则 sin
4θ+ cos4θ= ( )
tanθ tan2θ 5
A. 9 325 B. 5 C.
17
25 D.
24
25
7.已知可导函数 f x 的定义域为R，f x 是 f x 的导函数，且 f 2x-1 为偶函数 f 2x+1 为奇函数，
f 0 = 1，则 f 2024 + f 2025 + f 2026 = ( )
A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1
8.已知正实数 a,b满足 a- 2lna= 2lnb- 4b+ 4，则 logab= ( )
A. 1 2 12 B. 2 C. - 1 D. - 2
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二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. f x = sin ωx- π已知函数 6 (ω> 0)与函数 g x = cos 4x+θ
π
θ < 2 的图象的对称中心完全相同，
则 ( )
A. 函数 f x+ π π6 为偶函数 B. θ= 3
C. x= π直线 3 是 g x
7π
图象的一条对称轴 D. 24 ,0 是 g x 图象的一个对称中心
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，E是CC1的中点，点F是面BCC1B1上的动点 (包括边界)，
且满足A1F 平面AD1E，则下列结论正确的是 ( )
A. 2动点F的轨迹的长度为 2
B. 三棱锥A -CC F 2 4体积的取值范围为 , 1 1 3 3
C. 当三棱锥A1-CC F 25π1 体积取最大值时，其外接球的表面积为 2
D. 当三棱锥A1-CC1F体积取最小值时，其外接球的表面积为 14π
11.在 2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺
术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可
看作由抛物线C:y2= 2px p>0 绕其顶点分别逆时针旋转 90°、180°、270°后所得三条曲线与C围成的
(如图阴影区域)，A、B为C与其中两条曲线的交点，若 p= 2，则 ( )
A. 开口向上的抛物线的方程为 y= 4x2
B. AB = 8
C. 直线 x+ y= t截第一象限花瓣的弦长最大值为 2
D. 阴影区域的面积不大于 32
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. f x = a- 2已知函数 x cosx是奇函数，则实数 a=的值 ．2 +1
13.若直线 y= k x+2 与抛物线 y2= 4x相切于第一象限点P，则 k= ．
14.掷一枚质地均匀的骰子 3次，将每次骰子正面朝上的数字依次记为 a,b,c，则 a≥ b≥ c的概率是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. (本题满分 13分)
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，已知 b= 2，且满足 atanAcosB+ bsinA= 2ctanAcosB．
(1)求角B的大小；
(2)△ABC的内心为 I，求△ACI周长的取值范围．
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16. (本题满分 15分)
3
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为 2，且BD= 2，cos∠A1AB= cos∠A1AD= 4 ，E是A1C1中
点．
(1)求证：平面A1BD⊥平面ABCD；
(2)求二面角A1-BC-E的余弦值．
17. (本题满分 15分)
已知函数 f x = ex- a．
(1)若 a= 1,g x = f x cosx- sinx，讨论函数 g x 在 0,2π 的单调性；
(2)若 a= 1，求证：f x ≥ x；
(3)若 h x = f x - xcosx在 0,+∞ 上有唯一的零点，求实数 a的最小值．
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18. (本题满分 17分)
x2 y2
已知椭圆E: 2 + 2 = 1 a>b>0 的两个焦点和两个顶点四点共圆，且与直线 x- 6y= 4相切．a b
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点 0,1 作斜率为 k的直线交椭圆E于C、D两点，线段CD的垂直平分线交 y轴于点为Q，点Q
关于直线CD的对称点为点P，若四边形PCQD为正方形，求 k的值.
19. (本题满分 17分)
将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第 1行 1 2 3 7 8 9
第 2行 10 11 12 97 98 99
第 3行 100 101 102 997 998 999
第 4行 1000 1001 1002 9997 9998 9999

(1)将数列 3n+1 与数列 2n 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 an ，试确定 a6在该数阵中
的位置；
(2)将数阵中所有相邻两位数字 (从左到右)出现 12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数
阵，记新数阵第n行中正整数的个数为 bn.
(i)求 b1，b2，b3；
(ii)求 bn．
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参考答案
单选题
BACB DCCC
a
8．【详解】由 a- 2lna= 2lnb- 4b+ 4，得 2 + 2b- 2= lna+ lnb= ln ab ．
因为a,b a均为正实数，所以 2 + 2b≥ 2 ab (
a
当且仅当 2 = 2b，即a= 4b时取等号)，
所以 ln ab ≥ 2 ab- 2，即 ln ab≥ ab- 1.
令 f(x) = lnx- x+ 1，则 f (x) = 1-xx ，
当 0< x< 1时，f (x)> 0,f(x)单调递增；
当x> 1时，f (x)< 0,f(x)单调递减，
故当x= 1时，f(x)max= ln1- 1+ 1= 0，即 f(x) = ln1- x+ 1≤ 0(当且仅当x= 1时取等号)，
因此 ln ab- ab+ 1≤ 0，即 ln ab≤ ab- 1.
由 ln ab≥ ab- 1和 ln ab≤ ab- 1可得 ln ab= ab- 1，
则有 a=4b
a=2 1
= ，解得 ab 1 b= 1 ，所以 logab= log2 2 =-1.2
故选：C .
多选题
ABD BCD BCD
11．【详解】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为C:y2= 4x，顶点在原点，焦点为F1 1,0 ,
将其逆时针旋转 90°后得到的抛物线开口向上，焦点为F2 0,1 ，则其方程为
x2= 4y，
即 y= 14 x
2，故A错误；
y2=4x
对于B，根据A项分析，由 2= 可解得，x= 0或 x= 4，即xA= 4，代入x 4y
可得 yA= 4，
由图象的对称性，可得A 4,4 、B 4,-4 ，故 AB = 8，即B正确；
y=x+m
对于C，设直线 y= x+m 2 11与抛物线 y = 4x相切，联立 2= 可得y 4x
y2- 4y+ 4m1= 0，
由Δ= 16- 16m 21= 0可得m1= 1，且方程 y - 4y+ 4m1= 0即为 y2- 4y+ 4= 0，
解得 y= 2，x= 1，此时，切点坐标为 1,2 ，
y=x+m
设直线 y= x+m 与抛物线 x22 = 24y相切，联立 可得x2- 4x- 4m = 0，x2=4y 2
由Δ= 16+ 16m = 0可得m =-1，此时方程x2- 4x- 4m = 0即为x22 2 2 - 4x+ 4= 0，
解得x= 2，y= 1，此时，切点坐标为 2,1 ，
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1-2
两切点连线的斜率为 2-1 =-1，即切点的连线与直线x+ y= t平行或重合，
故当M 1,2 、N 2,1 时， MN 取最大值，
且其最大值为 MN = 1-2 2 + 2-1 2 = 2，C对；
1
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求 8 部分
面积的近似值.
1
对函数 y= x2求导得 y = 1 x y= 1，则抛物线 x24 2 4 在点A 4,4 处的
1
切线斜率为 2 × 4= 2，
1
所以，抛物线 y= 24 x 在点A处的切线方程为 y- 4= 2 x-4 ，即 y=
2x- 4，
该切线交x轴于点E 2,0 ，
1
所以，半个花瓣的面积必小于S△AOE= 2 × 2× 4= 4，
故原图中的阴影部分面积必小于 8S△AOE= 8× 4= 32，故D正确.
故选：BCD.
填空题
2
1 72 27
14．【详解】掷一枚质地均匀的骰子 3次，总的基本事件数为：63= 216，可分为以下四种情况：
a> b> c，可理解为从 1到 6任选 3个数，最大的赋给a，中间值赋给 b，最小的赋给 c，所以包含的基本事件
数为：C36= 20，
a= b> c，可理解为从 1到 6任选 2个数，较大的赋给a,b，较小的赋给 c，所以包含的基本事件数为：C26=
15，
a> b= c，可理解为从 1到 6任选 2个数，较大的赋给a，较小的赋给 b,c，所以包含的基本事件数为：
C26= 15，
a= b= c，可理解为从 1到 6任选 1个数，把这个数都赋给a,b,c，所以包含的基本事件数为：C16= 6，
所以所求事件概率为P= 20+15+15+6 = 7216 27．
故答案：727．
解答题
15．【详解】(1)由atanAcosB+ bsinA= 2ctanAcosB，
根据正弦定理，得 sinAtanAcosB+ sinBsinA= 2sinCcosBtanA，
由 sinA> 0，则 sinAcosB+ sinBcosA= 2sinCcosB，
即 sin B+A = sinC= 2sinCcosB,
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而 sinC> 0，故 cosB= 12 ，
又B∈ 0,π ，
∠B= π所以 3
(2)由 (1)可得∠B= π3 ，
即∠ACB+∠BAC= 2π3 ，
设△ABC π的内心为 I，即∠ACI+∠CAI= 3 ，
故∠AIC= 2π3 .
设∠ACI= θ 0<θ< π3 ，则∠CAI=
π
3 - θ，
在△ACI中，由正弦定理得，
CI AI AC= = = 2 = 4 3 ,
sin π3 -θ
sinθ sin∠AIC sin 2π 33
4 3
所以 CI = 3 sin
π
3 -θ ,
4 3
AI = 3 sinθ，
△ACI 4 3 sin π -θ + 4 3 sinθ+ 2= 4 3所以 的周长为 3 3 3 3 sin θ+
π
3 + 2
π
因为 0< θ< 3 ，
π
所以 3 < θ+
π 2π
3 < 3 ，
π 3
所以 sin θ+ 3 ∈ 2 ,1 ，
4 3
所以 3 sin θ+
π
3 + 2∈ 4,2+
4 3
3 ，
故△ACI的周长取值范围为 4,2+ 4 3 3 .
16．【详解】(1)连接AC交BD于点O，连接A1O，如下图：
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由题可知O为BD的中点，且△ABD为边长是 2的等边三角形，
因此AO⊥BD，可得AO= 3，
在△AA1B中，由AA1=AB= 2，cos∠A AB= 31 4 可得：A1B
2=A1A2+AB2- 2A1A
ABcos∠A1AB= 4+ 4- 2× 2× 2× 34 = 2，
即A1B= 2；同理可得A1D= 2；
又BD= 2，所以△A1BD为等腰直角三角形，所以A1O⊥BD；
易知A1O= 1，又AO= 3，AA1= 2，
接满足A O21 +AO2=A 21A ，所以A1O⊥AO；
又AO∩BD=O，AO,BD 平面ABCD，
所以A1O⊥平面ABCD；
又因为A1O 平面A1BD，
所以平面A1BD⊥平面ABCD
(2)由 (1)可知OB,OC,OA1两两垂直，以O为坐标原点，OB,OC,OA1所在直线分别为x,y,z轴建立空
间直角坐标系，如下图所示：

显然A1 0,0,1 ,B 1,0,0 ,C 0, 3,0 ,E 0, 3,1 ，

可得A1B= 1,0,-1 ,BC = -1, 3,0 ,CE= 0,0,1 ；
设平面A1BC

的一个法向量为m= x1,y1,z1 ，

A 1 B m
=x1-z1=0
则 ，令 y1= 1，则x1= 3，z1= 3；BC m=-x1+ 3y1=0
所以m = 3,1, 3 ；
设平面BCE 的一个法向量为n= x2,y2,z2 ，

CE n

=z2=0则 ，解得 z2= 0，令 y2= 1，则x2= 3；BC n =-x2+ 3y2=0
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n 所以 = 3,1,0 ；
m n cosm,n= = 3+1 2 7可得
m n
= ，
7×2 7
2 7
由图可知，二面角A1-BC-E的大小为锐角，所以二面角A1-BC-E的余弦值为 7 .
17．【详解】(1)当a= 1时，g x = ex-1 cosx- sinx, 0∴ g x = ex-1 cosx-sinx ，
由 0< x< 2π，ex- 1> 0，
令 g x > 0，则 cosx> sinx，所以 0< x< π 5π4 ，或 4 < x< 2π，
令 g x < 0 < π < x< 5π，则 cosx sinx，所以 4 4 ，
g x 0, π , 5π ,2π π , 5π所以 在 4 4 上单调递增，在 4 4 上单调递减，
(2)令 y= f x - x，则 y= ex- x- 1，可得 y = ex- 1，
令 y = 0，则x= 0，x< 0,y < 0，y= ex- x- 1在 (-∞,0)上单调递减，
x> 0,y > 0，y= ex- x- 1在 (0, +∞)上单调递增，
所以x= 0时 ymin= 0，即 y≥ 0，所以 f x ≥ x；
(3)令h x = f x - xcosx= ex- xcosx- a= 0，即a= ex- xcosx，
h x 在 0,+∞ 上有唯一的零点，即 y= a与m x = ex- xcosx有唯一的交点，
∴m x = ex- cosx+ xsinx，由 (2)知 ex≥ x+ 1，
∴m x ≥ x+ 1- cosx+ xsinx= x 1+sinx + 1-cosx ≥ 0，
∴m x 在 0,+∞ 上单调递增，故m(x)min=m 0 = 1，x→+∞,m x →∞，
∴ a≥ 1，a的最小值为 1．
18．【详解】(1)因为椭圆E的两个焦点和两个顶点四点共圆，所以 b= c，则a= b2+c2= 2b，
E x
2 y2
所以椭圆 的方程为 2 + 2 = 1，2b b
x- 6y=4,由 x2 2 2 22 + y = 消去x，得 8y + 8 6y+ 16- 2b = 0，2 12b b
因为椭圆E与直线x- 6y= 4相切，
所以令Δ= 8 6 2 - 4× 8 16-2b2 = 0，解得 b2= 2，所以a2= 4，
x2 y2
所以椭圆E的标准方程为 4 + 2 = 1.
(2)设直线CD的方程为 y= kx+ 1，设点C x1,y1 、D x2,y2 ，CD的中点为M，
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y=kx+1联立 x2 y2 消去 y，得 2k2+1 x2+ 4kx- 2= 0，4 + 2 =1
Δ= 16k2+ 8 2k2+1 > 0，
由韦达定理得x1+ x = -4k -22 2k2
，x x = ，
+1 1 2 2k2+1
x1+x2 -2k 1
所以xM= 2 = 2 ，代入 y= kx+ 1，解得 yM=2k +1 2k2
，
+1
故线段CD的中点M -2k 1的坐标为 , ，2k2+1 2k2+1
所以线段CD 1 1的垂直平分线的方程为 y- 2 =- x- -2k ，2k +1 k 2k2+1
1
令x= 0，解得 y 1Q=- 2 ，即Q 0,- ，2k +1 2k2+1
因为线段PQ和线段CD互相垂直平分，所以四边形PCQD为菱形，
要使四边形PCQD为正方形，需满足QC⊥QD，

QC QD= x ,y + 1所以 1 1 2 x2,y2+ 12 = x1x2+ kx 12k +1 2k +1 1+1+ 2k2+1
kx 12+1+ 2k2+1
2 2k k
2+1 x1+x 2= k +1 x x + 2
2
1 2 2 + 2k +22k +1 2k2+1
2k k2+1 - 4k-2 k2+1 2k2+1 4 k2+1 2= 2 + + = 0,2k +1 2k2+1 2k2+1 2
即 k2+1 4k2-1 1 = 0，解得 k=± 12 ，则k的值为± 2 .
19．【详解】(1)设 3m+ 1= 2n，因为，2n= (3- 1)n
=C0 3n+C1 3n-1 (-1) +C2 3n-2 (-1)2+ +Cn-1 3 (-1)n-1n n n n +Cnn (-1)n，
= C
0
n 3n+C1 n-1n 3 (-1)+C2 n-2n 3 (-1)2+ +Cn-1 3 (-1)n-1+Cnn n (-1)n-1所以m 3 ，
所以，当且仅当n为偶数时，m可以取得正整数，
所以，当且仅当n为偶数时，数列有公共项，
所以，a = 22nn ，故 a 126= 2 = 4096，
所以，a6是数阵第 4行，第 3097个数．
(2) (i)当n= 1时，显然 b1= 9．
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当n= 2时，第 2行 2位数有 90个，其中只有 12去掉．
故 b2= 9× 10- 1= 89．
当n= 3时，第 3行 3位数有 900个，其中有两种情况去掉：
百位和十位分别为 12，此时有 10个；十位和个位分别为 12，此时有 9个．
故 b3= 900- 19= 881．
(ii)当n> 2时，将第n+ 1行 bn+1个符合条件的n+ 1位正整数分为两类：
①个位数字不等于 2时，个位数字有 9种取法，前面n位数有 bn种取法，这时n+ 1位正整数中有 9bn个；
②个位数字等于 2时，前面n位数有 bn种取法，
但这 bn个n+ 1位正整数中十位数字等于 1的 bn-1个正整数要去掉．
故个位数字等于 2且十位数字不等于 1的n+ 1位正整数有 bn- bn-1个．
综上，由加法原理知 bn+1= 10bn- bn-1．
设 bn+1- xbn= (10- x) b 1n- 10-x bn-1 ，
所以，x= 1 210-x ，即 x - 10x+ 1= 0，
解得 x= 5± 2 6，
所以， bn+1-(5+2 6)bn 是首项为 b2- (5+ 2 6 )b1= 44- 18 6，公比为 5- 2 6的等比数列；
bn+1-(5-2 6)bn 是首项为 b2- (5- 2 6 )b1= 44+ 18 6，公比为 5+ 2 6的等比数列；
所以，b - (5+ 2 6 )b = (44- 18 6 ) (5- 2 6 )n-1n+1 n ，
bn+1- (5- 2 6 )bn= (44+ 18 6 ) (5+ 2 6 )n-1，
n-1 n-1
所以，当n> 2 = (11 6+27)(5+2 6) -(11 6-27)(5-2 6)时，bn 6 ，
经检验，当n= 1时，b1= 9也成立
当n= 2时，b2= 89也成立．
= (11 6+27)(5+2 6)
n-1-(11 6-27)(5-2 6)n-1
综上，bn 6 ．
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