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2025 年学业水平第二次模拟测试题
九年级数学
一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个选项是正确的，
不选、多选、错选，均不得分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1． －3 7 的 绝 对 值 是
（ A） －3 7 （ B） －73 （ C） 3 7 （ D） 73
2．在 下 列 几 何 体 中 ， 俯 视 图 为 正 方 形 的 是
（A） （B） （C） （D）
3．已 知 xm=6， xn=4， 则 x2m-n 的 值 为 （A）8 （B）9 （C）10 （D）12
4．如 图 ，在 矩 形 ABCD 中 ，对 角 线 AC，BD 相 交 于 点 O，CE⊥BD，且 ∠BCE：
∠DCE=2： 1， 则 ∠ACE 为 （A）20° （B）25° （C）30° （D）35°
第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图
5．小 豪 和 小 伟 积 极 参 加 学 校 组 织 的 科 普 大 赛 ， 如 图 是 根 据 5 次 预 赛 成 绩 绘 制
的 折 线 统 计 图 ， 以 下 说 法 合 理 的 是
（A）与小豪相比，小伟 5 次成绩的方差大 （B）与小豪相比，小伟 5 次成绩的极差大
（C）与小豪相比，小伟的成绩比较稳定 （D）小豪的极差为 8 分
6．如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠C=90°， ∠B=42°， BC=8， 若 用 科 学 计 算 器 求 AC 的
长 ， 则 下 列 按 键 顺 序 正 确 的 是
（A） （B） （C） （D）
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7．《 孙 子 算 经 》是 中 国 传 统 数 学 的 重 要 著 作 ，其 中 有 一 道 题 ，原 文 是 ：“今 有
木 ，不 知 长 短 。引 绳 度 之 ，余 绳 四 尺 五 寸 ；屈 绳 量 之 ，不 足 一 尺 ，木 长 几 何 ？”
意 思 是 ：用 一 根 绳 子 去 量 一 根 木 头 的 长 ，绳 子 还 剩 余 4.5 尺 ；将 绳 子 对 折 再 量
木 头 ， 则 木 头 还 剩 余 1 尺 ， 问 木 头 长 多 少 尺 ？可 设 木 头 长 为 x 尺 ， 绳 子 长 为 y
尺 ， 则 所 列 方 程 组 正 确 的 是
（A）y－x＝4.5，0.5y＝x－1。 ) （B）y＝x+ 4.5，y＝2x－1。 ) （C）y－x＝4.5，
0.5y＝x+1。 ) （D） y＝x－ 4.5，y＝2x－1。 )
8．若 A（ －4， m－2） ， B（ －2， m） ， C（ 2， m） 三 点 在 同 一 函 数 图 象 上 ，
则 该 函 数 图 象 可 能 是
（A） （B） （C） （D）
9．将 一 张 长 方 形 纸 片 （ 足 够 长 ） 折 叠 成 如 图 所 示 图 形 ， 重 叠 部 分 是 一 个 三 角
形 （ △ ABC） ， BC 为 折 痕 ， 若 ∠1=42°， 则 ∠2 的 度 数 为
（A）48° （B）58° （C）60° （D）69°
第 9 题图 第 10 题图 第 12 题图
10．如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 正 方 形 OABC 的 顶 点 A、 B 落 在 反 比 例 函 数
y＝5)x 的 图 象 上 ， 则 正 方 形 OABC 的 面 积 为
（A）6 （B）5 （C）25 （D）1455
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
11．与 17－2 最 接 近 的 整 数 是 。
12．如 图 ，以 点 O 为 旋 转 中 心 ，将 ∠AOB 按 顺 时 针 方 向 旋 转 110°得 到 ∠COD，
若 ∠AOB=40°， 则 ∠AOD= °。
13．写出满足不 等 式 组 1<2x+3≤7 的 一 个 整 数 解 。
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14．如 右 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠C=90°， 以 点 A 为 圆 心 ， 适
当 长 为 半 径 画 弧 ，分 别 交 AC，AB 于 点 M，N，再 分 别 以
点 M，N 为 圆 心 ，大 于 12MN 的 长 为 半 径 画 弧 ，两 弧 交 于
点 P， 作 射 线 AP 交 BC 于 点 D， 若 CD=2， AB=5， 则 △
ABD 的 面 积 是 。
15．在 数 轴 上 ，点 O 表 示 原 点 ，现 将 点 A 从 O 点 开 始 沿 数 轴 按 如 下 规 律 移 动 ：
第 一 次 点 A 向 左 移 动 1 个 单 位 长 度 到 达 点 A1，第 二 次 将 点 A1 向 右 移 动 2 个 单
位 长 度 到 达 点 A2，第 三 次 将 点 A2 向 左 移 动 3 个 单 位 长 度 到 达 点 A3，第 四 次 将
点 A3 向 右 移 动 4 个 单 位 长 度 到 达 点 A4， …， 按 照 这 种 移 动 规 律 移 动 下 去 ， 第
n 次 移 动 到 点 An，当 n=2025 时 ，点 A2025 与 原 点 的 距 离 是 个 单 位 。
三、解答题（共 8 小题，共 90 分。请写出必要的解答过程。）
16．（1）计算：45+45－8+42；
（2）先 化 简 ： （ aa2－4a＋4－a＋2a2－2a） ÷2a2－2a， 然 后 从 －1＜x＜3 中 选 一 个
合 适 的 整 数 作 为 x 的 值 代 入 求 值 。
17．八 年 级 数 学 兴 趣 小 组 开 展 了 测 量 学 校 教 学 楼 高 度 AB 的 实 践 活 动 ， 测 量 方
案 如 下 表 ：
课题 测量学校教学楼高度 AB
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方案示意图
（1）在教学楼外，选定一点 C；
（2）测量教学楼顶点 A 视线 AC 与地面夹角∠ACB；
测量步骤 （3）测 BC 的长度；
（4）放置一根与 BC 长度相同的标杆 DE，DE 垂直于地面；
（5）测量标杆顶部 E 视线与地面夹角∠ECD。
测量数据 ∠ACB=68.2°，∠ECD=21.8°，BC=DE=2.5m，CD=12m。
请 你 根 据 兴 趣 小 组 测 量 方 案 及 数 据 ， 解 决 下 列 问 题 ：
（ 1） 计 算 教 学 楼 高 度 AB 的 值 ；
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（ 2） 判 断 线 段 AC 与 CE 的 关 系 。
18．在《 九 章 算 术 》的 “方 程 ”一 章 中 ，一 次 方 程 组 是 由 算 筹 布 置 而 成 的 ，已 知
图 1 所 示 的 算 筹 图 表 示 的 方 程 组 为 3x＋2y＝19，x+4y＝23。 )，请 认 真 观 察 思 考
并 完 成 如 下 任 务 ：
（ 1） 任 务 一 ： 图 2 所 表 示 的 方 程 组 为 。
（ 2） 任 务 二 ： 请 解 你 所 列 的 方 程 组 。
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19．为 了 解 八 年 级 学 生 英 语 口 语 情 况 ， 某 测 试 中 心 从 甲 、 乙 两 校 各 随 机 抽 取 1
个 班 级 进 行 测 试 ，两 班 人 数 恰 好 相 同 。测 试 成 绩 分 为 A，B，C，D 四 个 等 级 ，
其 中 相 应 等 级 的 得 分 依 次 记 为 100 分 、90 分 、80 分 、70 分 ，测 试 中 心 将 甲 、
乙 两 所 学 校 测 试 班 级 的 成 绩 整 理 并 绘 制 成 如 下 统 计 图 ，已 知 乙 学 校 测 试 班 级 有
11 人 的 成 绩 是 A 级 。
请 根 据 以 上 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：
（ 1） 直 接 将 甲 校 测 试 班 级 的 成 绩 统 计 图 补 充 完 整 。
（ 2） 补 全 下 面 的 表 格 中 的 数 据 ： a= ， b= ， c= ；
学校 平均数/分 中位数/分 众数/分
甲校测试班级 87.6 a 90
乙校测试班级 b 80 c
（ 3） 若 甲 校 八 年 级 有 学 生 500 人 ， 根 据 以 上 信 息 ， 估 计 甲 校 八 年 级 学 生 中 测
试 成 绩 为 B 级 及 以 上 的 学 生 有 多 少 人 ？
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20．某 公 司 展 销 如 图 所 示 的 长 方 形 工 艺 品 ，该 工 艺 品 长 60cm,宽 40cm,中 间 镶
有 宽 度 相 同 的 三 条 丝 绸 花 边 。
（ 1） 若 除 丝 绸 花 边 外 白 色 部 分 的 面 积 为 1750cm2， 求 丝 绸 花 边 的 宽 度 ；
（ 2） 已 知 该 工 艺 品 的 成 本 是 40 元 /件 ， 如 果 以 单 价 100 元 /件 销 售 ， 那 么 每 天
可 售 出 200 件 ， 另 外 每 天 除 工 艺 品 的 成 本 外 还 需 支 付 各 种 费 用 2000 元 。 根 据
销 售 经 验 ， 如 果 将 销 售 单 价 降 低 1 元 ， 每 天 可 多 售 出 20 件 ， 请 问 该 公 司 把 单
价 降 低 多 少 元 时 ， 当 日 所 获 利 润 为 10000 元 ；
（ 3） 当 销 售 单 价 定 为 多 少 元 时 ， 才 能 使 当 天 的
销 售 利 润 最 大 ？最 大 利 润 是 多 少 ？
21．如 图 ， Rt△ ABO 的 顶 点 A 是 反 比 例 函 数 y=k x 的 图 象 与 一 次 函 数 y=－x－
（ k+1） 的 图 象 在 第 二 象 限 的 交 点 ， AB⊥x 轴 于 点 B， 且 S△ ABO=3 2 。
（ 1） 求 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 表 达 式 ；
（ 2） 求 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 图 象 的 两 个 交 点 A， C 的 坐 标 以 及 △ AOC 的 面
积 ；
（ 3） 当 x 为 何 值 时 ， 一 次 函 数 的 值 大 于 反 比 例 函 数 的 值 。
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22．综 合 与 实 践 ：
综 合 与 实 践 课 上 ， 同 学 们 以 “特 殊 四 边 形 旋 转 ”为 主 题 ， 开 展 数 学 活 动 。
【 问 题 发 现 】
如 图 1，在 矩 形 ABCD 中 ，AD：CD=1：3，点 F 在 对 角 线 AC 上 ，过 F 点 分 别
作 AB 和 AD 的 垂 线 ，垂 足 为 E，G，则 四 边 形 AEFG 为 矩 形 。请 问 线 段 CF 与
DG 的 数 量 关 系 为 。
【 拓 展 探 究 】
如 图 2， 将 图 1 中 的 矩 形 AEFG 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 ， 记 旋 转 角 为 α， 当 0°＜
α＜180°时 ，连 接 CF，DG，在 旋 转 的 过 程 中 ， CF 与 DG 的 数 量 关 系 是 否 仍 然
成 立 ？请 利 用 图 2 说 明 理 由 。
【 解 决 问 题 】
如 图 3，当 矩 形 ABCD 的 边 AD=AB 时 ，点 E 为 直 线 CD 上 异 于 D，C 的 一 点 ，
以 AE 为 边 作 正 方 形 AEFG，点 H 为 正 方 形 AEFG 的 中 心 ，连 接 DH，若 AD=4，
DE=2， 求 DH 的 长 。
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23．已 知 ： 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 x 轴 交 于 A、 B 两 点 （ 点 A 在 点 B 左 侧 ）， 对
称 轴 为 直 线 x=－1， 抛 物 线 的 顶 点 为 D， 与 y 轴 的 交 点 为 C， 点 D、 C 都 在 直
线 y=－x+3 上 ， P 为 抛 物 线 上 第 二 象 限 内 一 动 点 且 不 与 点 D 重 合 。
（ 1） 求 该 抛 物 线 的 表 达 式 ；
（ 2）如 图 1，直 线 OP 与 AC 相 交 于 点 F，若 以 A、O、F 为 顶 点 的 三 角 形 与 △
ABC 相 似 ， 请 求 出 点 P 的 横 坐 标 ；
（ 3）过 点 P 的 直 线 PQ 与 抛 物 线 交 于 另 一 点 Q，若 DP⊥DQ，直 线 PQ 是 否 过
一 定 点 ？若 过 定 点 ， 请 求 出 定 点 坐 标 ； 若 不 过 定 点 ， 请 说 明 理 由 。
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2025 年学业水平第二次模拟测试
九年级数学参考答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C C D A B D B
二、填空题：每小题 4 分，共 20 分
题号 11 12 13 14 15
答案 2 150 0 或 1 或 2 5 1013
三、解答题：（10 分×4+12×2+13×2）
16．解：（1）原式=75+22；…………4 分
（2）解 ： 原 式 =2a－2…………………7 分
∵a≠0 且 a≠2， ∴当 a=1 时 ， 原 式 =21－2 =－2。 …………10 分
17．解 ： （ 1） ∵AB⊥BC， DE⊥BC，
∴∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠BAC=90°－∠ACB=90°－68.2°=21.8°=∠ECD，
在 △ ABC 与 △ CDE 中 ，
∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CDE，BC=DE。，
∴△ ABC≌△ CDE（ AAS） ，
∴AB=CD，
∵CD=12m,
∴AB=12m,
答 ： 教 学 楼 高 度 AB 为 12m。 ………………5 分
（2）线 段 AC 与 CE 相 等 且 互 相 垂 直 。 理 由 ：
由 △ ABC≌△ CDE（ AAS） ， 可 知 ：
∴AC=CE。
∵∠ACB=68.2°， ∠ECD=21.8°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE。 ……………………10 分
18．解 ： （ 1） 根 据 图 1 所 示 的 算 筹 的 表 示 方 法 ， 可 推 出 图 2 所 示 的 算 筹 的 表
示 的 方 程 组 ： 2x＋y＝11，4x+3y＝27。 )； ……………………4 分
（ 2） ①②2x＋y＝11 ，4x+3y＝27 。 )，
①×2－②得 ， －y=－5，
即 y=5，
把 y=5 代 入 ②得 ， 4x+3×5=27，
x=3．
所 以 方 程 组 的 解 为 ： x＝3y＝5 )。 ……………………10 分
九年级数学试题 第 9页 （共 8 页）
19．解 ： （ 1） 乙 校 参 加 测 试 的 学 生 的 总 人 数 为 11÷44%=25（ 人 ） ，
∴甲 校 参 加 测 试 的 学 生 总 数 也 是 25 人 ，
∴甲 校 成 绩 为 C 级 的 人 数 为 25－6－12－5=2（ 人 ） ，
补 全 甲 校 测 试 班 级 成 绩 统 计 图 如 下 ： ………………2 分
（ 2）甲 校 参 加 测 试 的 共 有 25 人 ，按 照 成 绩 从 高 到 低 排
列 第 13 名 学 生 应 在 B 级 ， ∴甲 校 测 试 班 级 的 中 位 数 是
90 分 ， 即 a=90，
乙 校 测 试 成 绩 获 得 A 组 的 人 数 为 25×44%=11（ 人 ），获
得 B 级 的 有 25×4%=1（ 人 ） ，
获 得 C 级 的 有 25×36%=9（ 人 ） ， 获 得 D 级 的 有 25×16%=4（ 人 ） ，
乙 校 测 试 成 绩 的 平 均 数 为 ： b= 1 25×(11×100+1×90+9×80+4×70)=87.6，
乙 校 测 试 成 绩 中 获 得 A 级 的 人 数 最 多 ，
∴乙 校 测 试 成 绩 的 众 数 是 c=100； ……………………8 分
（ 3） 甲 校 测 试 成 绩 为 A 级 的 人 数 占 测 试 总 人 数 的 6÷25×100%=24%，
甲 校 测 试 成 绩 为 B 级 的 人 数 占 测 试 总 人 数 的 12÷25×100%=48%，
∴甲 校 测 试 成 绩 为 B 级 及 以 上 的 人 数 占 测 试 总 人 数 的 48%+24%=72%，
利 用 样 本 估 计 总 体 ， 可 得 ： 甲 校 测 试 成 绩 达 到 B 级 及 以 上 的 人 数 为 500×72%
=360（ 人 ） 。
答 ： 估 计 甲 校 八 年 级 学 生 中 测 试 成 绩 为 B 级 及 以 上 的 学 生 有 360 人 。 …10 分
20．解 ：（ 1） 设 条 带 的 宽 度 为 x cm,
根 据 题 意 ， 得 （ 60－2x）（ 40－x） =1750。
整 理 ， 得 x2－70x+325=0，
解 得 x1=5， x2=65（ 舍 去 ）。
答 ： 丝 绸 条 带 的 宽 度 为 5cm。 ……………………4 分
（ 2） 设 每 件 工 艺 品 降 价 y 元 出 售 ，
由 题 意 得 ：（ 100－y－40）（ 200+20y） －2000=10000。
解 得 ： y1=y2=50。
答 ： 当 单 价 降 低 50 元 时 能 达 到 利 润 10000 元 。 ………………8 分
（ 3） 设 利 润 为 W， 每 件 工 艺 品 降 价 y 元 出 售 ，
则 ： W=（ 100－y－40）（ 200+20y） －2000=－20y2+1000y+10000
=－20（ y－25） 2+22500
∵－20＜0，
∴当 y=25， 即 ： 降 价 25 元 ， 定 价 为 75 元 时 ， 利 润 最 大 为 22500。 ……12 分
21．解 ： （ 1） 设 点 A（ x,y） ， 则 xy=k,
∵S△ ABO=3 2 ，
∴ 1 2 （ －x） y=3 2 ，
∴k=－3，
∴反 比 例 函 数 解 析 式 y=－3 x ， 一 次 函 数 解 析 式 y=－x+2； …………4 分
九年级数学试题 第 10页 （共 8 页）
（ 2） 由 y＝－\f(3 x y＝－x+2． ，解 得 x＝－1y＝3 )或 x＝3y＝－1 )，
∴A（ －1， 3） ， C（ 3， －1） 。
∵一 次 函 数 y=－x+2 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为 （ 0， 2） ，
∴S△ AOC= 1 2 ×2×（ 3+1） =4； …………………………………………10 分
（ 3）由 图 象 可 得 ：当 x＜－1 或 0＜x＜3 时 ，一 次 函 数 的 值 大 于 反 比 例 函 数 的
值 。 …………………………………………………………12 分
22．解 ： 【 问 题 发 现 】 在 矩 形 ABCD 中 ， AD:CD=1: 3，
∴AC:AD=2:1，
∵EG⊥AD， CD⊥AD，
∴∠FGA=∠CDA=90°，
又 ∵∠FAG=∠CAD，
∴△ FAG∽△ CAD， ∴AFAC = AGAD ，∴ACAD = AFAG =2 ，
∴AC－AFAD－AG =2 ，即 CF GD =2 ，
∴CF=2GD； ……………………4 分
【 拓 展 探 究 】 仍 然 成 立 。 理 由 如 下 ：
图 1 中 ， ∠FAG=∠CAD， ∠FGA=∠CDA，
∴△ AFG∽△ ACD，
∴AGAF = ADAC ，
图 2 中 ， 由 旋 转 可 得 ： ∠CAF=∠DAG，
∴△ ACF∽△ ADG， ∴CFDG = ACAD ，
∵AD:CD=1: 3， ∴ACAD = 2 1 ， ∴CFDG = 2 1 ，
∴CF=2GD； …………………………9 分
【 解 决 问 题 】 ①如 图 3， 当 点 E 在 线 段 CD 上 时 ， 连 接 AC、 AH，
∵四 边 形 ABCD， 四 边 形 AEFG 为 正 方 形 ，
∴∠CAD=∠EAH=45°， ACAD = AEAH =2 ，
∴∠CAE=∠DAH， ∴△ ACE∽△ ADH，
∴DHCE = ADAC = 2)2 ，
∵AD=CD=4， DE=2， ∴CE=4－2=2，
∴DH=2)2CE=2 ；
②如 图 4，当 点 E 在 线 段 CD 延 长 线 上 时 ，连 接 AC、AH，
∵四 边 形 ABCD， 四 边 形 AEFG 为 正 方 形 ，
∴∠CAD=∠EAH=45°， ACAD = AEAH =2 ，
∴∠CAE=∠DAH， ∴△ ACE∽△ ADH，
∴DHCE = ADAC = 2)2 ，
∵AD=CD=4， DE=2， ∴CE=4+2=6， ∴DH=2)
2CE=32 ；
综 上 所 述 ， DH 的 长 为 2 或 32 ； ……………………
13 分
九年级数学试题 第 11页 （共 8 页）
23．解 ：（ 1）由 直 线 可 知 点 C（ 0，3），由 对 称 轴 为 直 线 x=－1，把 x=－1 代
入 y=－x+3 中 ， 得 y=4， 即 D（ －1， 4） 。
设 抛 物 线 解 析 式 为 顶 点 式 y=a（ x+1） 2+4， 再 代 入 点 C（ 0， 3） ， 可 得 3=a
+4， 解 得 a=－1， 故 该 抛 物 线 的 表 达 式 为 y=－（ x+1） 2+4=－x2－2x+3。 ……4
分
（ 2） 令 y=－x2－2x+3=0， 可 解 得 x=－3 或 1， 即 A（ －3， 0） ， B（ 1， 0） ，
由 待 定 系 数 法 可 得 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=－3x+3， 直 线 AC 的 解 析 式 为 y=x
+3，
①∵∠FAO=∠CAB，当 AFAB = AOAC 时，
∴△ AFO∽△ ABC。 ∵AB=4， AO=3，
AC=32，
∴AF4 = 3 3 \r(2)， 可 得 AF=22。
又 ∵∠CAO=45°， 作 FG⊥x 轴 于 点 G，
如 图 2 所 示 ，
∴FG=AG=2， 进 而 可 得 F（ －1， 2） ，
则 直 线 OF 的 解 析 式 为 y=－2x,
联 立 y=－2x 与 y=－x2－2x+3， 整 理 得 x2=3， 解 得 x=±3，
又 ∵P 为 抛 物 线 上 第 二 象 限 内 点 ，
∴xP=－3；
②当 OF∥BC 时 ， ∴△ AFO∽△ ACB．
则 直 线 OF 的 解 析 式 为 y=－3x,
联 立 y=－3x 和 y=－x2－2x+3，整 理 得 x2－x－3=0，解 得 x=13) 2 （ 正 值 舍 去 ），
则 xP=13) 2 。
综 上 ， 点 P 的 横 坐 标 为 13) 2 或 －3。………………8 分
（ 3） 直 线 PQ 过 定 点 （ －1， 3） ， 理 由 如 下 ：
∵D（ －1， 4） ， 设 直 线 DP 解 析 式 为 y=k（ x+1） +4=kx+k+4，
直 线 DQ 解 析 式 为 y=m（ x+1） +4=mx+m+4，
令 直 线 DP 与 抛 物 线 联 立 可 得 x2+（ 2+k） x+k+1=0，
由 韦 达 定 理 可 得 xD+xP=－2－k,即 xP=－1－k,
从 而 可 得 P（ －1－k,－k2+4） ；
令 直 线 DQ 与 抛 物 线 联 立 ， 同 理 可 得 xD+xQ=－2－m,即 xQ=－1－m,
从 而 可 得 Q（ －1－m,－m2+4） ，
根 据 待 定 系 数 法 可 得 直 线 PQ 的 表 达 式 为 y=[－（ －2－k－m）－2]x+3+（ －k－1）
（ －m－1） =（ k+m） x+3+km+k+m+1，
过 点 D 作 MN∥x 轴 ， PM⊥MN 于 M， QN⊥MN
于 N，
如 图 3 所 示 ，
则 DM=－1－（ －1－k）=k,PM=4－（ －k2+4）=k2，
DN=－1－m－（ －1） =－m,NQ=－4－（ －m2
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+4） =m2，
易 证 △ PMD∽△ DNQ，
∴PMDN = MDNQ， 即 km2 = k2 －m， 整 理 可 得 km=－1，
把 km=－1 代 入 y=（ k+m） x+3+km+k+m+1 中 ，
即 y=（ k+m） x+3+k+m=（ k+m） （ x+1） +3，
令 x+1=0， 即 x=－1， 此 时 y=3，
故 直 线 PQ 过 定 点 （ －1， 3） 。 ……………………13 分
九年级数学试题 第 13页 （共 8 页）2025 年学业水平第二次模拟测试
九年级数学参考答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C C D A B D B
二、填空题：每小题 4 分，共 20 分
题号 11 12 13 14 15
答案 2 150 0 或 1 或 2 5 1013
三、解答题：（10 分×4+12×2+13×2）
16．解：（1）原式=75+22；…………4 分
（2）解 ： 原 式 =2a－2…………………7 分
∵a≠0 且 a≠2， ∴当 a=1 时 ， 原 式 =21－2 =－2。 …………10 分
17．解 ： （ 1） ∵AB⊥BC， DE⊥BC，
∴∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠BAC=90°－∠ACB=90°－68.2°=21.8°=∠ECD，
在 △ ABC 与 △ CDE 中 ，
∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CDE，BC=DE。，
∴△ ABC≌△ CDE（ AAS） ，
∴AB=CD，
∵CD=12m,
∴AB=12m,
答 ： 教 学 楼 高 度 AB 为 12m。 ………………5 分
（2）线 段 AC 与 CE 相 等 且 互 相 垂 直 。 理 由 ：
由 △ ABC≌△ CDE（ AAS） ， 可 知 ：
∴AC=CE。
∵∠ACB=68.2°， ∠ECD=21.8°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE。 ……………………10 分
18．解 ： （ 1） 根 据 图 1 所 示 的 算 筹 的 表 示 方 法 ， 可 推 出 图 2 所 示 的 算 筹 的 表
示 的 方 程 组 ： 2x＋y＝11，4x+3y＝27。 )； ……………………4 分
（ 2） ①②2x＋y＝11 ，4x+3y＝27 。 )，
①×2－②得 ， －y=－5，
即 y=5，
把 y=5 代 入 ②得 ， 4x+3×5=27，
x=3．
所 以 方 程 组 的 解 为 ： x＝3y＝5 )。 ……………………10 分
九年级数学答案 第 1页 （共 5 页）
19．解 ： （ 1） 乙 校 参 加 测 试 的 学 生 的 总 人 数 为 11÷44%=25（ 人 ） ，
∴甲 校 参 加 测 试 的 学 生 总 数 也 是 25 人 ，
∴甲 校 成 绩 为 C 级 的 人 数 为 25－6－12－5=2（ 人 ） ，
补 全 甲 校 测 试 班 级 成 绩 统 计 图 如 下 ： ………………2 分
（ 2）甲 校 参 加 测 试 的 共 有 25 人 ，按 照 成 绩 从 高 到 低 排
列 第 13 名 学 生 应 在 B 级 ， ∴甲 校 测 试 班 级 的 中 位 数 是
90 分 ， 即 a=90，
乙 校 测 试 成 绩 获 得 A 组 的 人 数 为 25×44%=11（ 人 ），获
得 B 级 的 有 25×4%=1（ 人 ） ，
获 得 C 级 的 有 25×36%=9（ 人 ） ， 获 得 D 级 的 有 25×16%=4（ 人 ） ，
乙 校 测 试 成 绩 的 平 均 数 为 ： b= 1 25×(11×100+1×90+9×80+4×70)=87.6，
乙 校 测 试 成 绩 中 获 得 A 级 的 人 数 最 多 ，
∴乙 校 测 试 成 绩 的 众 数 是 c=100； ……………………8 分
（ 3） 甲 校 测 试 成 绩 为 A 级 的 人 数 占 测 试 总 人 数 的 6÷25×100%=24%，
甲 校 测 试 成 绩 为 B 级 的 人 数 占 测 试 总 人 数 的 12÷25×100%=48%，
∴甲 校 测 试 成 绩 为 B 级 及 以 上 的 人 数 占 测 试 总 人 数 的 48%+24%=72%，
利 用 样 本 估 计 总 体 ， 可 得 ： 甲 校 测 试 成 绩 达 到 B 级 及 以 上 的 人 数 为 500×72%
=360（ 人 ） 。
答 ： 估 计 甲 校 八 年 级 学 生 中 测 试 成 绩 为 B 级 及 以 上 的 学 生 有 360 人 。 …10 分
20．解 ：（ 1） 设 条 带 的 宽 度 为 x cm,
根 据 题 意 ， 得 （ 60－2x）（ 40－x） =1750。
整 理 ， 得 x2－70x+325=0，
解 得 x1=5， x2=65（ 舍 去 ）。
答 ： 丝 绸 条 带 的 宽 度 为 5cm。 ……………………4 分
（ 2） 设 每 件 工 艺 品 降 价 y 元 出 售 ，
由 题 意 得 ：（ 100－y－40）（ 200+20y） －2000=10000。
解 得 ： y1=y2=50。
答 ： 当 单 价 降 低 50 元 时 能 达 到 利 润 10000 元 。 ………………8 分
（ 3） 设 利 润 为 W， 每 件 工 艺 品 降 价 y 元 出 售 ，
则 ： W=（ 100－y－40）（ 200+20y） －2000=－20y2+1000y+10000
=－20（ y－25） 2+22500
∵－20＜0，
∴当 y=25， 即 ： 降 价 25 元 ， 定 价 为 75 元 时 ， 利 润 最 大 为 22500。 ……12 分
21．解 ： （ 1） 设 点 A（ x,y） ， 则 xy=k,
∵S△ ABO=3 2 ，
∴ 1 2 （ －x） y=3 2 ，
∴k=－3，
∴反 比 例 函 数 解 析 式 y=－3 x ， 一 次 函 数 解 析 式 y=－x+2； …………4 分
九年级数学答案 第 2页 （共 5 页）
（ 2） 由 y＝－\f(3 x y＝－x+2． ，解 得 x＝－1y＝3 )或 x＝3y＝－1 )，
∴A（ －1， 3） ， C（ 3， －1） 。
∵一 次 函 数 y=－x+2 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为 （ 0， 2） ，
∴S△ AOC= 1 2 ×2×（ 3+1） =4； …………………………………………10 分
（ 3）由 图 象 可 得 ：当 x＜－1 或 0＜x＜3 时 ，一 次 函 数 的 值 大 于 反 比 例 函 数 的
值 。 …………………………………………………………12 分
22．解 ： 【 问 题 发 现 】 在 矩 形 ABCD 中 ， AD:CD=1: 3，
∴AC:AD=2:1，
∵EG⊥AD， CD⊥AD，
∴∠FGA=∠CDA=90°，
又 ∵∠FAG=∠CAD，
∴△ FAG∽△ CAD， ∴AFAC = AGAD ，∴ACAD = AFAG =2 ，
∴AC－AFAD－AG =2 ，即 CF GD =2 ，
∴CF=2GD； ……………………4 分
【 拓 展 探 究 】 仍 然 成 立 。 理 由 如 下 ：
图 1 中 ， ∠FAG=∠CAD， ∠FGA=∠CDA，
∴△ AFG∽△ ACD，
∴AGAF = ADAC ，
图 2 中 ， 由 旋 转 可 得 ： ∠CAF=∠DAG，
∴△ ACF∽△ ADG， ∴CFDG = ACAD ，
∵AD:CD=1: 3， ∴ACAD = 2 1 ， ∴CFDG = 2 1 ，
∴CF=2GD； …………………………9 分
【 解 决 问 题 】 ①如 图 3， 当 点 E 在 线 段 CD 上 时 ， 连 接 AC、 AH，
∵四 边 形 ABCD， 四 边 形 AEFG 为 正 方 形 ，
∴∠CAD=∠EAH=45°， ACAD = AEAH =2 ，
∴∠CAE=∠DAH， ∴△ ACE∽△ ADH，
∴DHCE = ADAC = 2)2 ，
∵AD=CD=4， DE=2， ∴CE=4－2=2，
∴DH=2)2CE=2 ；
②如 图 4，当 点 E 在 线 段 CD 延 长 线 上 时 ，连 接 AC、AH，
∵四 边 形 ABCD， 四 边 形 AEFG 为 正 方 形 ，
∴∠CAD=∠EAH=45°， ACAD = AEAH =2 ，
∴∠CAE=∠DAH， ∴△ ACE∽△ ADH，
∴DHCE = ADAC = 2)2 ，
∵AD=CD=4， DE=2， ∴CE=4+2=6， ∴DH=2)
2CE=32 ；
综 上 所 述 ， DH 的 长 为 2 或 32 ； ……………………
13 分
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23．解 ：（ 1）由 直 线 可 知 点 C（ 0，3），由 对 称 轴 为 直 线 x=－1，把 x=－1 代
入 y=－x+3 中 ， 得 y=4， 即 D（ －1， 4） 。
设 抛 物 线 解 析 式 为 顶 点 式 y=a（ x+1） 2+4， 再 代 入 点 C（ 0， 3） ， 可 得 3=a
+4， 解 得 a=－1， 故 该 抛 物 线 的 表 达 式 为 y=－（ x+1） 2+4=－x2－2x+3。 ……4
分
（ 2） 令 y=－x2－2x+3=0， 可 解 得 x=－3 或 1， 即 A（ －3， 0） ， B（ 1， 0） ，
由 待 定 系 数 法 可 得 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=－3x+3， 直 线 AC 的 解 析 式 为 y=x
+3，
①∵∠FAO=∠CAB，当 AFAB = AOAC 时，
∴△ AFO∽△ ABC。 ∵AB=4， AO=3，
AC=32，
∴AF4 = 3 3 \r(2)， 可 得 AF=22。
又 ∵∠CAO=45°， 作 FG⊥x 轴 于 点 G，
如 图 2 所 示 ，
∴FG=AG=2， 进 而 可 得 F（ －1， 2） ，
则 直 线 OF 的 解 析 式 为 y=－2x,
联 立 y=－2x 与 y=－x2－2x+3， 整 理 得 x2=3， 解 得 x=±3，
又 ∵P 为 抛 物 线 上 第 二 象 限 内 点 ，
∴xP=－3；
②当 OF∥BC 时 ， ∴△ AFO∽△ ACB．
则 直 线 OF 的 解 析 式 为 y=－3x,
联 立 y=－3x 和 y=－x2－2x+3，整 理 得 x2－x－3=0，解 得 x=13) 2 （ 正 值 舍 去 ），
则 xP=13) 2 。
综 上 ， 点 P 的 横 坐 标 为 13) 2 或 －3。………………8 分
（ 3） 直 线 PQ 过 定 点 （ －1， 3） ， 理 由 如 下 ：
∵D（ －1， 4） ， 设 直 线 DP 解 析 式 为 y=k（ x+1） +4=kx+k+4，
直 线 DQ 解 析 式 为 y=m（ x+1） +4=mx+m+4，
令 直 线 DP 与 抛 物 线 联 立 可 得 x2+（ 2+k） x+k+1=0，
由 韦 达 定 理 可 得 xD+xP=－2－k,即 xP=－1－k,
从 而 可 得 P（ －1－k,－k2+4） ；
令 直 线 DQ 与 抛 物 线 联 立 ， 同 理 可 得 xD+xQ=－2－m,即 xQ=－1－m,
从 而 可 得 Q（ －1－m,－m2+4） ，
根 据 待 定 系 数 法 可 得 直 线 PQ 的 表 达 式 为 y=[－（ －2－k－m）－2]x+3+（ －k－1）
（ －m－1） =（ k+m） x+3+km+k+m+1，
过 点 D 作 MN∥x 轴 ， PM⊥MN 于 M， QN⊥MN
于 N，
如 图 3 所 示 ，
则 DM=－1－（ －1－k）=k,PM=4－（ －k2+4）=k2，
DN=－1－m－（ －1） =－m,NQ=－4－（ －m2
九年级数学答案 第 4页 （
+4） =m2，
易 证 △ PMD∽△ DNQ，
∴PMDN = MDNQ， 即 km2 = k2 －m， 整 理 可 得 km=－1，
把 km=－1 代 入 y=（ k+m） x+3+km+k+m+1 中 ，
即 y=（ k+m） x+3+k+m=（ k+m） （ x+1） +3，
令 x+1=0， 即 x=－1， 此 时 y=3，
故 直 线 PQ 过 定 点 （ －1， 3） 。 ……………………13 分
九年级数学答案 第 5页 （共 5 页）

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