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榆次区2025年九年级第二次模拟测试题（卷）
数学
姓
名
准考证号
注意事项：
1.本试卷共8.页，满分120分，考试时间120分钟。
2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应的位置。
3答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无放。
一、
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的
四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.某地一天早晨的气温是-3℃，中午气温上升了8℃，则中午的气温是
A.-3℃
B.5C
C.8℃
D.11℃
2.中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称
的深刻认知。下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
卍
女
A.寿字纹
B.万字纹
C.冰裂纹
D.柿蒂纹
3.下列运算正确的是
A,2x-x=2
B.x6÷x3=x2
C.(a-b)2=a2-b2
D.(2x2)3=8x6
4.月壤砖是一种未来可能用于月球盖房子的建筑材料，呈榫卯结构。2024
年11月13日，我国设计的“月壤砖”搭乘“天舟八号”货用飞船飞往天宫
空间站开展太空暴露试验。如图是一块月壤砖的示意图，则它的左视图为
2正面
A
B
C
5.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中
AE∥BF,BC∥DG,若∠ABE=60°，
∠GFB=110°，则∠EAB的度数为
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
图1
图2
九年级数学试题第1页（共8页）
6.人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关。正常情况下，一个人在运动
时所能承受的每分钟心跳的最高次数y(次)与其年龄x(岁)的关系为
y=0.8(220-x)。由此可知，正常情况下，随着一个人年龄的增加，这个
人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数的变化情况是
A.逐渐下降
B.逐渐提高C.不变
D.无法确定
7.我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟算羊”的问
题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详。甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，
乙说得甲九只，两家之数相当。”其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，
二人心里暗中合计，甲对乙说：“我若得到你的九只羊，我的羊就比你多
一倍。”乙对甲说：“我若得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多。”
设甲有x只羊，乙有y只羊，则下列所列方程组正确的是
A2x+9)=y-9
B.+9=2C+9=20-9列
D.x-9=20y+9y
1x-9=y+9
x-9=y
x-9=y+9
x+9=y-9
8,如图，点C,D在以AB为直径的⊙O上，且∠ACD=124°，
则∠BAD的度数为
A.30°
B.34°
C.36°
D、56°
9.在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流I（A)与电阻R(2)关系
的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定。4)
依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙
三个小组分别绘制出了相应的图象（如图）。根据图
用
象及物理学知识U=R,可判断甲、乙、丙三个小组
所控制的电阻两端电压的大小关系为
R(Q)
A.UB.U甲>UzU丙
C.U=U丙
D.通之<甲<忍网
10.如图，某公园计划修建一条以点O为圆心，半径OA=OB÷30米，圆心
角为120°的弧形观景步道即AB。施工过程中，因
场地条件限制，需在保持圆心0和半径长度不变的
前提下，将弧形步道的弧长减少3π米，则调整后该
弧形观景步道的圆心角度数为
A.21°
B。99°
C.102°
D.138
尤年级数学试题第2页.（共8页）榆次区 2025 年九年级第二次模拟测试题
数学参考答案及评分细则
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D D C A A C B A C
二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 3分，共 15分）
11. 2 3 ; 12. 21 ; 13. 1 ; 14.28; 15. 5 。
6 3
三、解答题（本大题共 8个小题，共 75分）
16.（每小题 5分，共 10分）
（1）解：原式= 5 9 2 1 .....................................................................3 分
= 5 9 1 .......................................................................... 4 分
2
= 17 （ 或 - 8.5）................................................................ 5 分
2
2 ( 2 1 ) x 1（ ）解：方法一：
x 2 x 2 x2 4
[ 2(x 2) x 2 ] x 1 ·························6 分
(x 2)(x 2) (x 2)(x 2) x 2 4
2x 4 x 2 x 1
············································· 7 分
(x 2)(x 2) x 2 4
x 6 (x 2)(x 2)
····································· 8 分
(x 2)(x 2) x 1
x 6
···································································9 分
x 1
当 x 1 x 6 7= 时，原式 。 ········································ 10 分
x 1 2
( 2 1 ) x 1方法二：
x 2 x 2 x 2 4
2 1 (x 2)(x 2)
x 2 x 2 x 1
2 (x 2)(x 2) 1 (x 2)(x 2)
····················· 6 分
x 2 x 1 x 2 x 1
2 x 2 x 2

x 1 x 1 ······················································ 8 分
1
2(x 2) - (x 2)

x 1
x 6
···································································9
x 分 1
当 x=1 x 6 7时，原式 。 ················································· 10 分
x 1 2
17.（6分）
解：设两位家长带领 x名学生。...............................................................1 分
根据题意，得500 0.7x 500 2 500 0.8 x 2 ................................. 4 分
解，得 x 4 ................................................................................................ 5 分
答：带领多于 4 名学生时，选择甲旅行社比较合算。...........................6 分
18.（10分）
解：（1） ............................................................. 2 分
（2）9，8.76，10；............................................................（每个 2 分）8 分
（3）答案不唯一，选择两个统计量说明理由即可，如：
①从平均数看，八年级和九年级成绩一样；
②从中位数来看，八年级中位数 9 分高于九年级中位数 8 分，所以八年级成
绩较好；
③从众数看，八年级众数 9 分低于九年级众数 10 分，所以九年级成绩较好；
④从方差来看，八年级方差 1.0624 低于九年级方差 1.3824，所以八年级成绩
较稳定。.....................................................................................................10 分
19.（8分）
解：设 A 种书籍的单价为 x元，则 B 种书籍的单价为 1.2x元。........ 1 分
600 600
根据题意，得 5。.................................................................... 4 分
x 1.2x
解，得 x 20。..............................................................................................5 分
经检验 x 20是原方程的根。................................................................... 6 分
1.2 20 24（元）......................................................................................7 分
2
答：A 种书籍的单价为 20 元，则 B 种书籍的单价为 24 元。..............8 分
20.（9分）
解：分别延长 AD和 BC，交于点 E。......................................................1 分
由 BC为铅垂线，AD为水平线，可得∠E=90°。
在 Rt△ABE中，∠E=90°，∠EAB=10°，
∴sin∠EAB= BE AE，cos∠EAB= ，
AB AB
∴BE ABsin EAB 56 0.17 9.5（2 米）。·································3 分
AE ABcos EAB 56 0.98 54.8（8 米）。......................................... 5 分
在 Rt△AEC中，∠E=90°，∠EAC=6°，
EC
∴ tan EAC ，∴EC EAtan EAC 54.88 0.11 6.0（4 米）。..7 分
EA
∴BC=BE-CE≈9.52-6.04=3.48≈3.5（米）。.............................................. 8 分
答：该地下车库进出口的高度 BC的长约为 3.5 米。............................ 9 分
21.（7分）
（1）三角形中位线定理；............................................................................2 分
（2） 如图，△ABC即为所求。............................................ 4 分
（3） 如图，△ABC即为所求。...............................................7 分
22.（12分）
解：（1）建立如图所示的直角坐标系。· 1 分
根据题意得 D（3，0），E（0，1）。····· 3 分
设抛物线表达式为 y=ax2+b。·············· 4 分
9a b 0， 1
∴ 解得： a ，
b 1。 9 b 1。
1
抛物线表达式为 y x2 （1 3 x 3）。···5 分
9
（评分说明：未写自变量取值范围的不扣分）
3
（2）∵点 M在抛物线 y 1 x2 1上，
9
∴设点 M 1的坐标为（m， m2 1）。...................................................... 6 分
9
所以 MN= 1 m 2 1 2 1 m 2 3。
9 9
根据题意可得正方形 PMNQ关于 y轴对称，∴PM=2m。.................... 7 分
1
∵四边形 PMNQ是正方形，∴PM=MN。∴2m= m 2 3。................. 8 分
9
m1 9 6 3，m2 9 6 （3 不合题意，舍去）。.............................9 分
PM ( 9 6 3) 2 18 12 （3 米）。
答：支撑杆 PM的长度为（ 18 12 3）米。..........................................10 分
（3 75） 。................................................................................................... 12 分
16
23.（13分）
解：（1）四边形 DEBF是菱形。·············1 分
理由如下：
方法一：连接 BD交 AC于点 O。
∵等边△ABC翻折得到△ADC，∴AB=BC，AB=AD，BC=CD。
∴AB=AD=CD=BC，∴四边形 ABCD为菱形。
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD。············ 2 分
又∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即 OE=OF。············· 3 分
又∵OB=OD，
∴四边形 DEBF为平行四边形。·············4 分
又∵BD⊥AC，
∴四边形 DEBF为菱形。······················5 分
方法二：
∵等边△ABC翻折得到△ADC，
∴AB=BC，AB=AD，BC=CD，∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=60°。
又∵AE=AE，∴△BAE≌△DAE（SAS）。∴BE=DE。............................. 2 分
同理，BF=DF。............................................................................................. 3 分
∵BA=BC，∠BAC=∠BCA，AE=CF，
∴△BAE≌△BCF。∴BE=BF....................................................................... 4 分
∴BE=DE=DF=BF。
∴四边形 DEBF为菱形。..............................................................................5 分
（2）CE=AP。................................................................................................6 分
方法一：
证明：过点 E作 EN∥BC交 AB于点 N。
∵△ABC为等边三角形，∴AD=AC。
∴∠1=∠ACB=∠ABC=60°。
4
∵EN∥BC，
∴∠2=∠ACB=60°，∠3=∠ABC=60°。
∴∠1=∠2=∠3。
∴△ANE为等边三角形。················ 7 分
∴AE=EN=AN。······································ 8 分
∵四边形 DEBF为菱形，∴DE=BE。
又∵PE=DE，∴PE=BE。∴∠P=∠EBA。
又∵∠1=∠3，EA=EN，
∴△PEN≌△BEA。
∴PN=AB。∴PN=AC。................................................................................. 9 分
∴PN-AN=AC-AE。
即 AP=CE。.................................................................................................. 10 分
方法二：
证明：连接 DP。
∵等边△ABC翻折得到△ADC，
∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=60°，AB=BC，AB=AD，BC=CD。
∴AD=DC，AD∥BC，
∠1=180°-∠DAC-∠BAC=60°。·············· 7 分分
∴∠1=∠DCA。
∵四边形 DEBF为菱形，∴DE=BE。
又∵AD=AB，AE=AE
∴△DAE≌△BAE。∴∠2=∠3.
∵PE=DE，DE=BE，∴PE=BE。∴∠2=∠4。
∴∠3=∠4。
又∵∠5=∠6，
∴180°-∠3-∠5=180°-∠4-∠6，即∠7=∠1=60°。
又∵DE=EP，∴△DEP为等边三角形。········ 8 分
∴∠EDP=60°。∴∠EDP-∠3=∠ADC-∠3，即∠PDA=∠EDC。
又∵AD=DC，∠1=∠DCA，
∴△PDA≌△EDC，...................................................................................... 9 分
∴AP=CE........................................................................................................10 分
（方法三思路：在线段 AB上截取 AN=AE，连接 NE。证△ANE为等边三角形
1 分；证得 EC=NB得 1 分；证△PEA≌△BEN得 AP=NB得 1 分；证得 AP=CE
得 1 分）
（3） 3或3 3。.............................................................................................13 分
（评分说明：只得出3 3 得 1分；只得出 3 得 2分）
解析：当 P与 B重合时 PA=AB=3 3。
当 P在 BA的延长线上时，易证△EMD∽△AMP。
∴∠MAP=∠DEM=90°。
由△DEP DP为等腰直角三角形，可得 2。
DE
5
AOD DA易证△ 为等腰直角三角形，∴ 2
DO
DP DA
∴ 2。
DE DO
又∵∠PDE=∠ADO=45°，∴△PDA∽△EDO AP DP。∴ 2。
OE DE
∴AP= 2 OE= 2 6 3 。
2
6

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