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(共42张PPT)
专练四　综合探究与综合运用
题型一：综合探究
1.【知识技能】
（1）如图Z4-1①，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F.
填空：①∠AFB的度数是　 　；
②线段AD，BE之间的数量关系为　 ；
60°
AD=BE　
图Z4-1
【数学理解】
（2）如图Z4-1②，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，AB=BC，DE=EC，直线AD和直线BE交于点F.请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由；
图Z4-1
图Z4-1
【拓展探索】
（3）如图Z4-1③，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE=3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，求直线DE经过点B时BD的长.
图Z4-1
答图Z4-1
答图Z4-2
图Z4-2
【数学理解】
（2）如图Z4-2②，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°<
α°<45°），连接CM，DM，CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2=CM2；
图Z4-2
答图Z4-3
【拓展探索】
（3）如图Z4-2③，线段MN交线段AC于点E，P，Q分别为线段BC，线段AC上的点，连接PM，QN，将△DPM沿PM翻折得到△D'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM=3DM，BC=8，在线段BC上找一点F，连接FD'，FE'，请求出FD'+FE'的最小值.
图Z4-2
答图Z4-4
3.在平行四边形ABCD中，AD=8，DC=6，∠FED的顶点在BC上，EF交直线AB于点F.
【知识技能】
（1）如图Z4-3①，若∠FED=∠B=90°，EF=ED，连接DF，则DF的长为
　 ；
图Z4-3
图Z4-3
（2）证明：如答图Z4-5，在AB上取点G，使BG=BE，连接EG，则△BEG为等边三角形.
∴∠BGE=∠BEG=60°.
∴∠EGF=180°-∠BGE=120°.
答图Z4-5
答图Z4-5
【拓展探索】
（3）如图Z4-3③，若∠ABC=90°，对角线AC，BD交于点O，点C关于BD的对称点为点C'，连接OC'交AD于点G，连接AC'，C'C，C'D，求AG的长.
图Z4-3
答图Z4-6
答图Z4-6
4.【经典再现】如图Z4-4①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.（提示：取AB的中点H，连接HE）
（1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出
　，进而得到AE=EF；
　△AHE≌△ECF
图Z4-4
图Z4-4
答图Z4-7
图Z4-4
答图Z4-8

答图Z4-8
图Z4-5
答图Z4-9
【构建联系】
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图Z4-5②，连接OF，BF，以B为圆心，BF为半径作☉B，求证：OF是☉B的切线；
图Z4-5
答图Z4-10
【深入探究】
（3）点P在直线AC上，点Q是坐标系内任意一点，当四边形BCPQ为菱形时，求出点Q的坐标.
答图Z4-11
6. 在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A（a，0），C（0，b）两点，点B为x轴正半轴上一点，BE⊥AC于点E，交y轴于点D，OE平分∠AEB.
（1）如图Z4-6①，分别求a，b的值及点B的坐标；
图Z4-6
解：（1）直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于
A（a，0），C（0，b）两点，
令y=0，则-3x-3=0，解得x=-1.
∴a=-1.
令x=0，则y=-3，∴b=-3.
∴A（-1，0），C（0，-3）. ∴OC=3.
如答图Z4-12，过点O作OF⊥AC于点F，作OH⊥BE于点H.
∴∠OHB=∠OFC=90°.
∵OE平分∠AEB，∴OF=OH. ∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°.
∵∠BOC=90°，∠ODB=∠EDC，∴∠OBH=∠OCF.
∴△OBH≌△OCF（AAS）. ∴OB=OC=3. ∴B（3，0）.
答图Z4-12
（1）如图Z4-6①，分别求a，b的值及点B的坐标；
图Z4-6
（2）如图Z4-6②，若点Q在OB延长线上运动，直线QD交BC于点G，直线AT∥BC交直线QD于点T，四边形ABGT的面积是否为定值？若为定值，请求出此值；若不为定值，请说明理由；
图Z4-6
答图Z4-13
（3）如图Z4-6③，点M为直线BE上一动点，连接OM，将线段OM绕点M逆时针旋转90°，点O的对应点为N.当点M运动时，判断点N的运动路线是什么图形，并说明理由.
图Z4-6

答图Z4-14
7.【问题背景】一张矩形纸片ABCD（如图Z4-7①），AB=6，AD=3.E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.
【初步探究】
（1）求证：△AQG是等腰三角形；
图Z4-7
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠BAG=∠G.
由折叠的性质可知∠QAG=∠BAG.∴∠G=∠QAG.
∴AQ=GQ.∴△AQG是等腰三角形.
（2）设FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；
（2）解：如答图Z4-15，过点F作FK∥CD，
交直线AD，BC于点K，L.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=∠B=90°，AD=BC=3.
∵BE=2CE，∴BE=2，CE=1.
∵FK∥CD，∴∠K=∠L=∠KDC=∠DCL=90°.
∴四边形DKLC是矩形.∴DK=CL.
答图Z4-15
图Z4-7
答图Z4-15
【深入探究】
（3）将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图Z4-7②所示），点B与点O重合，边OC，OA分别与x轴，y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.
图Z4-7

答图Z4-16
①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；
图Z4-7
②在①的条件下，如图Z4-7③，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，则AM的长度为　 　.
图Z4-7
图Z4-8
（2）当点P的横坐标为2时，求证：四边形CDPF是矩形；
图Z4-8
图Z4-8
答图Z4-17
【深入探究】
（3）如图Z4-8②，以点H（0，-2）为圆心，作半径为1的☉H，过点P作☉H的切线PG，切点为G，且点G在第三象限，PG交x轴于点Q.试问在点P的运动过程中，△APQ能否形成等腰三角形，如果能，请直接写出点G的坐标，如果不能，请说明理由.（参考数据：当点P运动到y轴上时，PG与y轴的夹角为15°）
图Z4-8

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