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专练二　二次函数综合题
二次函数压轴题常考题型与方法总结
类型 常考问题设计 解题通用技法
母题 如图Z2-1，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴相交于点C（0，-3），与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），求抛物线的解析式.
　图Z2-1 由待定系数法将点D，C的坐标代入，求得b，c的值进而得出解析式
图Z2-1
以下对于上述母题设计若干常考问题，并进行分析
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
特殊三角形
（直角三角形） （1）如图Z2-2，连接AC，CD，AD.试判断△ACD的形状，并说明理由.
　图Z2-2 先应用勾股定理或平面内两点间的距离公式，求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状
图Z2-2
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
特殊三角形
（等腰三角
形与动点） （2）如图Z2-3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCB是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
图Z2-3 设出动点P的坐标为（-1，t）后，分三种情况，若∠BPC为顶角，则PB=PC；若∠PBC为顶角，则BP=BC；若∠PCB为顶角，则CP=CB，分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度，再根据上述等式列方程求解即可
图Z2-3
图Z2-3
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
角度 （3）如图Z2-4，若点P在抛物线上，且∠PCA=45°，求点P的坐标.
图Z2-4 利用直线AC的解析式与△AOC的特点，数形结合，列出有关的方程，即可求出点P的坐标
解：∵A（-3，0），C（0，-3），
∴在Rt△AOC中，OA=OC=3.
∴∠OAC=45°.
∵∠OAC=∠PCA=45°，点P在抛物线上，
∴CP∥x轴.
令y=-3，得x2+2x-3=-3.
解得x1=0，x2=-2.
∴点P的坐标为（-2，-3）.
图Z2-4
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
相似 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（4）如图Z2-5，△ACD与△COB是否相似？请说明理由.
图Z2-5 用两点间的距离公式分别求出两个三角形的各边长度，再用相似的判定方法进行判定.注意相似中没有指明对应边时，要进行分类讨论
图Z2-5
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
相似（动点、
动线） （5）如图Z2-6，若Q是线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），QE∥AC交BC于点E，当△QCE的面积最大时，求动点Q的坐标.
图Z2-6 △QCE是三边均动的动三角形，把该三角形分割成大三角形减去小三角形的差.根据平行线的性质得出两个三角形相似，从而有面积的比等于对应边的比的平方，最后该动三角形的面积可表示为与动点Q（t，0）的坐标有关的开口向下的二次函数，根据二次函数的性质即可求解
图Z2-6
图Z2-6
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
特殊四边形 （6）如图Z2-7，若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点，当C，A，E，F构成平行四边形时，求点E的坐标.
图Z2-7 以其中一个已知点（如：点A）作为起点，列出所有对角线的情况（如：AC，AF，AE），分别设出两个动点（点E，点F）的坐标，运用中点坐标公式，求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标.因为两条对角线的中点重合，所以两个中点的坐标对应相等，列出方程组，求解即可
图Z2-7
图Z2-7
图Z2-7
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
线段的和差
（最值问题） （7）如图Z2-8，试在x轴上找一点P，使PC+PD的值最小，并求出其最小值以及点P的坐标.
图Z2-8 在两定点中任选一个点（为了方便计算，常常选择轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与另一个定点相连，连线与动点所在直线的交点即为所求的点
答图Z2-1
答图Z2-1
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
周长（最值
问题） 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（8）如图Z2-9，在y轴上是否存在点P，使△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.
图Z2-9 注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需求PA+PD的最小值，再加上定值AD即可
答图Z2-2
答图Z2-2
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
面积（最值
问题） （9）如图Z2-10，P为直线AC下方的抛物线上一动点，当△APC的面积最大时，求出其最大值及点P的坐标.
图Z2-10
答图Z2-3
答图Z2-3
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
面积（最值
问题） （10）如图Z2-11，P为直线AC下方的抛物线上一动点，当四边形AOCP的面积最大时，求出其最大值及点P的坐标.
图Z2-11 四边形AOCP是不规则图形，通常用割补法求解，则
S四边形AOCP=S△AOC+S△ACP或
S四边形AOCP=S△COP+S△AOP
图Z2-11
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
距离（最值
问题） （11）如图Z2-12，P为直线AC下方的抛物线上一动点，当点P到直线AC的距离最大时，求出最大距离及点P的坐标.
图Z2-12 已知AC是定线段，当△ACP的面积最大时，也就是点P到直线AC的距离最大
图Z2-12
类型 常考问题设计 解题通用技法
二次函数与
面积 （12）如图Z2-13，在抛物线上是否存在点P，使S△PBC=2S△ACD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
图Z2-13
图Z2-13
答图Z2-4
图Z2-14
答图Z2-5
（2）若△OAB的内切圆半径为1，求此抛物线的函数表达式；
答图Z2-6
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答图Z2-7
题型二：二次函数与特殊四边形、面积
例2.如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的四边形称为这条抛物线的“抛物四边形”.
如图Z2-15①，抛物线y=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于A，C两点，B为抛物线的顶点，点D在抛物线的对称轴上，则四边形ABCD为“抛物四边形”，已知A（-1，0），C（3，0）.
（1）若图Z2-15①中的“抛物四边形”ABCD
为菱形，且∠ABC=60°，则顶点B的坐标
为　 ；
图Z2-15
（2）如图Z2-15②，若“抛物四边形”ABCD为正方形，边AB与y轴交于点E，连接CE.
①求这条抛物线的函数解析式；
图Z2-15
②P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
图Z2-15
答图Z2-8
③如图Z2-15③，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD？若存在，请直接写出点Q的横坐标：若不存在，说明理由.
图Z2-15
图Z2-16
图Z2-16
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
答图Z2-9
答图Z2-9
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由.
图Z2-16

答图Z2-10
答图Z2-11
1. （2024·海南）如图Z2-17①，抛物线y=-x2+bx+4经过点A（-4，0），
B（1，0），交y轴于点C（0，4），P是抛物线上一动点.
（1）求该抛物线的函数表达式；
图Z2-17
解：（1）由题意，得y=-（x+4）（x-1）= -（x2+3x-4）=-x2-3x+4.
（2）当点P的坐标为（-2，6）时，求四边形AOCP的面积；
答图Z2-12
（3）当∠PBA=45°时，求点P的坐标；
（3）当∠PBA=45°时，则直线BP的表达式为y=±（x-1）.
联立上式和抛物线的表达式，得-x2-3x+4=x-1或-x+1=-x2-3x+4.
解得x=-5或-3或1（舍去）.
∴点P的坐标为（-5，-6）或（-3，4）.
图Z2-17
（4）过点A，O，C的圆交抛物线于点E，F，如图Z2-17②.连接AE，AF，EF，判断△AEF的形状，并说明理由.
（4）△AEF为等边三角形.理由如下：
如答图Z2-12②，连接AC，由于∠AOC=90°，则AC为圆的直径.连接EC，EA，则∠AEC=90°.
过点E作x轴的平行线交y轴于点N，交过点A和y轴的平行线于点M.
设点E（m，-m2-3m+4），
则EN=-m，ME=m+4，AM=-m2-3m+4，CN=-m2-3m+4-4=-m2-3m.
答图Z2-12
答图Z2-12
图Z2-18
图Z2-18
（2）P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
答图Z2-13
②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
②存在.
∵∠PDB=∠ADE，∠ADE=∠ACO，
∴∠BDP=∠ACO.
∵△AOC是直角三角形，
∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD
是直角三角形就可以.
答图Z2-13
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，如答图Z2-14.
∴∠BPD=∠AOC=90°.
此时BP∥x轴，B，P关于对称轴对称，∴P（3，3）；
答图Z2-14
答图Z2-15
3. （2024·济南）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y=x2-2mx+m2-m+2（m≠1），顶点为Q.
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
图Z2-19
（2）如图Z2-19①，连接AD，E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
答图Z2-16
图Z2-19
答图Z2-16
（3）如图Z2-19②，连接BD，DQ，M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值.
答图Z2-17
图Z2-19
答图Z2-17

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