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专练一　一次函数与反比例函数综合题
一次函数与反比例函数综合常考题型与方法总结
类型 常考问题设计 解题通用技法
母题 由点A的坐标求出m的值，得出反比例函数的解析式；从而求出点B的坐标，再由待定系数法求出一次函数的解析式即可
图Z1-1
以下对于上述母题设计若干常考问题，并进行分析
类型 常考问题设计 解题通用技法
求自变量的
取值范围 由两个函数图象及交点坐标即可得出答案
解：观察图象可得，04.
图Z1-1
类型 常考问题设计 解题通用技法
求点的坐标 （2）如图Z1-1，在第一象限双曲线上找一点P，使点P到x轴、y轴的距离相等.求点P的坐标.
图Z1-1
类型 常考问题设计 解题通用技法
求点的坐标 （3）如图Z1-1，若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标.
由点P到x轴、y轴距离相等，可设P（d，d），再把点P的坐标代入直线CD的解析式即可求解
解：设点P（d，d）.
将点P的坐标代入y=-x+5，
得d=-d+5.
解得d=2.5.
∴点P的坐标为（2.5，2.5）.
图Z1-1
类型 常考问题设计 解题通用技法
交点问题 联立解析式，解方程求得点E的横坐标，根据题意求得点G的横坐标，将其代入反比例函数的解析式求得点G的坐标，然后根据平移得到直线FG的解析式为y=x+b，最后将点G的坐标代入即可求得b的值

图Z1-2
类型 常考问题设计 解题通用技法
求三角形的
面积 （5）如图Z1-3，过点A作y轴的垂线，垂足为M，连接BM.求△ABM的面积.
　
直接利用三角形的面积公式求解即可
图Z1-3
类型 常考问题设计 解题通用技法
求三角形的
面积 （6）如图Z1-4，求△AOB的面积.
　
利用面积的和差关系S△AOB=S△AOC-S△BOC，即可求出△AOB的面积
图Z1-4
类型 常考问题设计 解题通用技法
求三角形的
面积 先求出点E，F的坐标，再利用面积的和差关系S△AEO=S△EOF+S△AOF，即可求出△AEO的面积
图Z1-5
类型 常考问题设计 解题通用技法
求三角形的
面积
答图Z1-1
类型 常考问题设计 解题通用技法
k的几何
意义 （9）如图Z1-7，P是线段AB上的点（不与点A，B重合），过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别是E，F，G，连接OA，OB，OP，设△AOE面积是S1，△BOF面积是S2，△POG面积是S3，比较S1，S2，S3的大小关系.
　图Z1-7 根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得三个三角形面积的关系
解：如答图Z1-2，设PG交反比例函数图象于点H，连接OH.
∵点A，B，H都在反比例函数图象上，
∴S△AOE=S△BOF=S△HOG，
即S1=S2=S△HOG. 　
∵PG>HG，
∴S△POG>S△HOG，即S3>S△HOG.
∴S1=S2答图Z1-2
类型 常考问题设计 解题通用技法
单动点与面
积问题 （10）如图Z1-8，点E的坐标是（3，0），P为线段AB上一动点，当点P运动到什么位置时，△POE的面积为3？
　图Z1-8
先利用三角形面积公式求出点P的纵坐标，再代入一次函数的解析式求出点P的横坐标，从而得到点P的位置
图Z1-8
类型 常考问题设计 解题通用技法
单动点与面
积问题 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（11）如图Z1-9，P为线段AB上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP.求△POQ面积的最大值.
　图Z1-9
图Z1-9
类型 常考问题设计 解题通用技法
单动点与面
积问题 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（12）如图Z1-10，M为线段AB上一动点，过点M作MN⊥y轴于点N，交反比例函数的图象于点F，连接OF，OM，求△MOF的最大面积.
　
图Z1-10
图Z1-10
类型 常考问题设计 解题通用技法
路径最短
问题 　　　　　　 　　　　　　　　　　
（13）如图Z1-11，试在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值以及点P的坐标.
　图Z1-11 作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点P，点P即为所求，进而求解即可
答图Z1-3
答图Z1-3
图Z1-12
图Z1-12
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在第二象限内，当y1（3）请根据图象求出不等式y1>y2的解集；
（2）在第二象限内，当y1图Z1-12
（4）连接OA，OB，求△AOB的面积；
图Z1-12
（5）点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P的坐标；
答图Z1-4
（6）在（5）的条件下，设AP与反比例函数图象交于点N，若点M为x轴上一点，当MA+MN的值最小时，直接写出点M的坐标.
答图Z1-4
答图Z1-4
图Z1-13
图Z1-13
（1）如图Z1-13①，若点A的坐标为（-2，3）.
①求一次函数和反比例函数的解析式；
答图Z1-5
答图Z1-5
图Z1-13
答图Z1-6
答图Z1-6

答图Z1-6
图Z1-14

图Z1-14
（1）如图Z1-14①，若点D是CB的中点，求点E的坐标；
（2）如图Z1-14②，若直线DE与x轴、y轴分别交于点M，N，连接AC.
①求证：DE∥AC；

图Z1-14
②求DM·EN的值；
图Z1-14
（3）如图Z1-14③，将△BDE沿DE折叠，点B关于DE的对称点为B'.
①当点B'落在矩形OABC内部时，求k的取值范围；
答图Z1-7
图Z1-14
答图Z1-7
②连接CB'，求CB'的最小值.
②如答图Z1-8，连接AC，BB'.
由①知∠B'BC=∠BAC，∴∠B'BC的度数为定值.
由①知BB'⊥AC，
∴点B'在经过点B且与AC垂直的直线上运动.
∴当CB'的值最小时，点B'落在AC上，此时CB'⊥BB'，即∠BB'C=90°.
答图Z1-8
图Z1-14
答图Z1-8
图Z1-15
（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是☉P中弦AB所对的圆周角，
∴线段AB是☉P的直径.
（2）求证：OA·OB是定值；
答图Z1-9
图Z1-15


图Z1-15
图Z1-16
图Z1-16
（1）求证：四边形PAOB的面积是定值；
图Z1-16
（3）若点P的坐标为（5，2），△OAB，△ABP的面积分别记为S△OAB，S△ABP.设S=S△OAB-S△ABP.
①求k1的值；
解：①由题意，得k1=xPyP=5×2=10.
图Z1-16
图Z1-16
②当k2为何值时，S有最大值，最大值为多少？
图Z1-17
图Z1-17
　图Z1-18
（2）把点D（4，1）代入y=x+m，得1=4+m.
解得m=-3.
把点E（2，2）代入y=x+m，得2=2+m.
解得m=0.
∴m的取值范围是-3≤m≤0.
　图Z1-18
（3）连接OE，OD，求四边形BEOD的面积S.
　图Z1-18
图Z1-19
（2）P是直线x=-2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标；
答图Z1-10
答图Z1-11
图Z1-20
解：（1）把点A（2，a）代入y=2x，得a=2×2=4.
∴A（2，4）.
把点A（2，4）代入y=-x+m，得4=-2+m.
解得m=6.
∴直线AB的解析式为y=-x+6.
把点B（b，0）代入y=-x+6，得0=-b+6.
解得b=6.
∴a的值为4，b的值为6，m的值为6.
（2）若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值；
图Z1-20
图Z1-20
（3）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值.
答图Z1-12
答图Z1-12

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