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2024－2025学年第二学期高一年级第三次月考
数学试题
试题满分：150分　　　考试时间：120分钟
一、单选题（8小题，每题5分，共40分）
1.已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x等于(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
2.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2.若将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体的体积为(　　)
A. π B. C. D. 2π
4.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(　　)
A. l∥β，l α α∥β　　　　　　　　　B. l∥β，m∥β，l α，m α α∥β
C. l∥m，l α，m β α∥β　　　　　　D. l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M α∥β
5.如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点，则EF的长是(　　)
A. 1 B. C. D.
6.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(　　)
A. 60°　 B. 30°　 C. 45°　 D. 15°
7.已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ）
A. B. C. D.
8.已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
二、多选题（3小题，每题6分，共18分）
9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限　　　B. 若复数，则
C. 若复数满足，则
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10.下列选项中，不正确的是(　　)
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
11.已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论正确的有(　　)
A. a·b＝5　　　B. a的单位向量是　　　C. 〈a，b〉＝ 　D. a与b平行
三、填空题（3小题，每题5分，共15分）
12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1-BD-C的平面角是________，其正切值为________．
13.一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.
14.已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则 　　　　．
四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分）
15.已知平面向量a＝(2,2)，b＝(x，－1)．
(1)若a∥b，求实数x的值；
(2)若a⊥(a－2b)，求向量a与b的夹角的余弦值．
16.已知复数，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
17.如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：
（1）平面PCD；
（2）平面平面PBC.
18.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)求证:BD1⊥平面B1AC;
(2)求点B到平面B1AC的距离.
19.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
平面BDE⊥平面ABC.
高一数学答案
一、单选题
1.已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x等于(　　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】因为b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，
所以b2－4a·b＝0，
即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.
2.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆台上底、下底半径分别为，母线长为，又圆台的侧面展开图是个扇环，则，根据题意知，
所以圆台的高，
则，
故选：B.
3.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2.若将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体的体积为(　　)
A. π B. C. D. 2π
【答案】B
【解析】将直角梯形绕BC边旋转一周，所得几何体如图：
该几何体为组合体，上半部分为圆锥，下半部分为圆柱，圆锥与圆柱的底面半径均为1，高均为1，
则所得几何体的体积为V＝π×12×1＋π×12×1＝.
4.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(　　)
A. l∥β，l α α∥β
B. l∥β，m∥β，l α，m α α∥β
C. l∥m，l α，m β α∥β
D. l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M α∥β
【答案】D
【解析】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB 平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，连接EF，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC，又EF 平面BC1，B1C1 平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD 平面AC，B1C1 平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．
5.如图，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点，则EF的长是(　　)
A. 1 B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，取CB的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即∠EDF＝90°.
在△EDF中，ED＝SB＝1，DF＝AC＝1，所以EF＝＝.
6.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(　　)
A. 60°　 B. 30°　 C. 45°　 D. 15°
【答案】C
【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.故选C.
7.已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，解得，
由圆锥的侧面积为，得，即，所以.
故选：A.
8.已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
【答案】D
【解析】方法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示，建立平面直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，应有A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.
过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.
所以△A′B′C′的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.
方法二　S△ABC＝a2，
又S△A′B′C′＝S△ABC，∴S△A′B′C′＝×a2＝a2.
二、多选题
9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限
B. 若复数，则
C. 若复数满足，则
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
【答案】ABD
【解析】A选项，复数，则，
故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确；
B选项，设，，，
则，即，
故，
两边平方得，
故，所以，
即，故，
其中，故，B正确；
C选项，设复数，满足，
但，C错误；
D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部，
表示原点为圆心，为半径的圆的内部，
则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界），
故面积为，D正确.
故选：ABD.
10.下列选项中，不正确的是(　　)
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
【答案】ABC
【解析】A中的平面不一定平行于底面，故A错；B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错；由棱台的定义知，D正确．
11.已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论正确的有(　　)
A. a·b＝5 B. a的单位向量是
C. 〈a，b〉＝ D. a与b平行
【答案】ABC
【解析】∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，∴a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故A正确；
|a|＝＝，∴a的单位向量是，即，故B正确；
|b|＝＝，cos 〈a，b〉＝＝＝，∵〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝，故C正确；
∵≠，∴a与b不平行，故D错误．
三、填空题
12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1-BD-C的平面角是________，其正切值为________．
【答案】∠C1OC　
【解析】如图二面角C1-BD-C的平面角是∠C1OC；其正切值为.
13.一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.
【答案】9π
【解析】设截面圆半径为r cm，则r2＋42＝52，
所以r＝3.
所以截面圆面积为9π cm2.
14.已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则 ．
【答案】60°或120°
【解析】空间等角定理：空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，
则这两个角相等或互补，
因为空间中角的两边分别平行于角的两边，所以与相等或互补，
因为，所以60°或120°．
故答案为：60°或120°．
四、解答题
15.已知平面向量a＝(2,2)，b＝(x，－1)．
(1)若a∥b，求实数x的值；
(2)若a⊥(a－2b)，求向量a与b的夹角的余弦值．
【答案】解　(1)平面向量a＝(2,2)，b＝(x，－1)，
若a∥b，则2×(－1)－2x＝0，解得x＝－1.
(2)若a⊥(a－2b)，
则a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，
即(22＋22)－2×(2x－2)＝0，
解得x＝3，∴b＝(3，－1)，
∴向量a与b的夹角的余弦值为
＝＝.
16.已知复数，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
【答案】解：（1）根据复数的分类，纯虚数的实部为0，虚部不为0，
因为是纯虚数，
故，解得.
（2）因为在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
故的取值范围为．
17.如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：
（1）平面PCD；
（2）平面平面PBC.
【答案】解：（1）由题知 ABCD为平行四边形，点M分别是PA的中点，
所以N是AC的中点，所以，
又因为平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD；
（2）因为ABCD为平行四边形，所以N是BD中点，
又因为Q是PD中点，
所以NQ∥PB，又由(1)知
又因为PB，PC平面PBC，NQ，MN平面NMQ，
所以平面平面PBC．
18.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)求证:BD1⊥平面B1AC;
(2)求点B到平面B1AC的距离.
【答案】(1)证明：连接BC1,AD1,B1D1.
∵AB⊥B1C,BC1⊥B1C,且AB∩BC1=B,
∴B1C⊥平面ABC1D1.
又BD1 平面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.
∵B1B⊥AC,BD⊥AC,且B1B∩BD=B,∴AC⊥平面BB1D1D.
又BD1 平面BB1D1D,∴AC⊥BD1.
∵AC∩B1C=C,∴BD1⊥平面B1AC.
(2)解:∵O∈BD,∴连接OB1交BD1于点E.
又O∈AC,∴OB1 平面B1AC.
∴BE⊥平面B1AC,BE即为所求距离.
∵△BEO∽△BDD1,
,∴BE=OB=a=a.
19.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【答案】证明　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又PA 平面DEF，DE 平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
因为DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF，
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC，
因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，
又DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.

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