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2025年春玉林市第一中学高一5月月考数学卷
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
2．下列各组向量中,可以作为基底的是
A． B．
C． D．
3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
5．设为不重合的两平面，为不重合的两直线，则下列说法正确的是（ ）
A．，且，则 B．，则
C．，则 D．，则与不垂直
6．设，，向量，，且，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为内一点，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在平行四边形中，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
10．某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ）
A．样本的众数为70
B．样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03
C．用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人
D．用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5
11．如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．该正四棱台的高为
C．若.，则动点的轨迹长度是
D．过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．是关于的方程的一个根，则实数 .
13．对某校学生体重进行调查，采用按样本量比例分配的分层抽样.已知抽取女生30人，其平均数和方差分别为；抽取男生20人，其平均数和方差分别为，则总样本平均数为 ；总样本的方差为 .
14．在三棱锥中，平面，设三棱锥外接球体积为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）的内角的对边分别为，且满足.
(1)证明：为等腰三角形
(2)若，求的面积.
16．（15分）为备战运动会，射击队的甲 乙两位射击运动员开展了队内对抗赛.在对抗赛中两人各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下：
甲 4 7 6 5 4 9 10 7 8 10
乙 7 5 8 6 7 9 7 6 7 8
(1)求甲运动员的样本数据第85百分位数；
(2)分别计算这两位运动员射击成绩的平均数和方差；
(3)射击队教练希望利用此次射击成绩为依据，挑选一名运动员参加运动会，请你帮助教练分析两个运动员的成绩，作出判断并说明理由.
注：一组数据的平均数为，它的方差为
17．（15分）如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证：
(1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点
(2)平面平面.
18．（17分）四棱锥中，平面，四边形为菱形，为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成的角的正切值；
(3)求二面角的余弦值.
19．（17分）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)点是上的一点，，且，求周长的最小值.
2025年春玉林市第一中学高一5月月考数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A D D C B AC ACD
题号 11
答案 AD
1．C【详解】，虚部为-2，
2．B【详解】由题,作为基底的向量不共线,当,,若,则,
对于选项A,,与任意向量共线,故A错误；对于选项B,,故与不共线,故B正确；
对于选项C,,故,故C错误；对于选项D,,故,故D错误,
3．C【详解】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角，
因为为正三角形，所以与所成的角为，所以异面直线与所成的角为.
4．A【详解】因为的平均数是10，方差是10，
则，，
所以的平均数是，
方差是
5．D【详解】对于A，缺少条件，错误；对于B，与夹角不固定，错误；
对于C，可能会出现，错误；
对于D，若，又，所以，这矛盾，故与不垂直，正确.
6．D【详解】由，则，解得，即，
由，则，可得，解得，即，
由，，则.
7．C【详解】由题意，在中，由余弦定理，；
因为，所以，
在中，由正弦定理，所以，解得，
8．B【详解】因为，所以，
即.方法1：，即，
延长至点，令，即三点共线，则.
方法2：由奔驰定理，，故.
9．AC【详解】
如图，设则
对于A项，故A项正确；
对于B项，由A项可得，，两边取平方，
，则，故B项错误；
对于C项，因，，
则故C项正确；
对于D项，在上的投影向量为故D项错误.
10．ACD【详解】对A,众数为区间的中点横坐标70，A选项正确；
对B,由，得，得分在区间内的学生人数的频率为0.3 ，B选项错误；对C,样本中成绩在80分以上的频率约为，用样本估计总体，
总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为，C选项正确；
对D,样本平均数为，D选项正确.
11．AD【详解】对于选项，因为，所以，
由余弦定理可知，即，解得，
所以，即，同理可得，
又因为，平面，所以平面，故正确；对于选项，如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，因为，所以，为上靠近点的四等分点，所以，故错误；对于选项，由勾股定理得，
故点的轨迹为以为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②，
圆与相交于点，与相交于点，过点作，垂足为，，垂足为，
为上靠近点的四等分点，则，，又，由勾股定理得，
由于，所以，故，故动点的轨迹长度是，故C错误；
对于D选项，如图①，分别在棱上取点，使得，则有，
平面，平面，平面，同理平面，，平面
所以平面平面，所以即为平面截该四棱台所得截面多边形，
，所以，
所以截面多边形的面积为
，故D正确，
12．10【详解】若一元二次方程存在虚数根，则该方程的两个根为共轭复数，
即为该方程的两根，由韦达定理，.故答案为：10.
13． 54 /
【详解】设分别为总样本均值和方差，则，
，故答案为：；.
14．【详解】由于，故.将三棱锥补形为边长分别为的长方体，
则其外接球半径，故.
15．(1)证明见解析
(2)【详解】（1）因为，结合正弦定理边角关系，所以，则.
又，所以，故，即，则为等腰三角形.
（2）由，则，，即，
因为，则，所以.
16．【详解】（1）根据题意可知，把甲的数据按从小到大排列如下：
，
因为所以第9个数据是第85百分位数，所以第85百分位数为10.
（2），，
，
；
（3）由（2）知，
平均数 方差 命中9环及9环以上的次数
甲 7 4.6 3
乙 7 1.2 1
（i）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且，则乙的成绩比甲稳定；
（ii）因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙多，所以，甲爆发力更强.
（iii）乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第六次以后就没有比乙少的情况发生；
故确定人选时，甲更有潜力.
17．【详解】（1）分别是的中点，是的中位线，，且
又在三棱柱中，，且，由平行的传递性，，且，
四点共面；
由上可知四边形是梯形，故与是两条相交的直线，设，下证，
平面，且平面，平面，且平面，
平面平面，，即三线共点.
（2）分别为的中点，，平面平面，平面，
在三棱柱中，，且，，且，
四边形是平行四边形，，平面平面，
平面，，平面，平面平面.
18．【详解】（1）证明：四边形为菱形，，
为等边三角形，，在中，是中点，，
平面平面，平面平面，
平面，平面平面平面.
（2）平面斜线在平面内的射影为，即是与平面所成角的平面角，
平面平面，在中，，
在中，，平面平面，
在中，，与平面所成角的正切值为.　　　　　　　　　
（3）连，交ＡＣ于点Ｏ，四边形ＡＢＣＤ是菱形，　　
　　　又面ＡＢＣＤ　面PAC 　　
过点Ｏ作,连接ＢＨ，面ＢＯＨ
　　　就是二面角的平面角
　ＰＡ=２,　ＡＯ=ＯＣ=１,　ＰＣ=　，
　　　　
　　　在Ｒt中，　
19．【详解】（1）由二倍角公式得，
故由正弦定理得，而，
故，则；
（2）设，设，则，
在中，，即
在中，，即
周长.
令，则
.
即周长最小值为.

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