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2024级高一下学期第二次学情检测
数学试题
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知事件A与事件B互为对立事件，且，则（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
2．给定一组数据：10，12，15，16，18，20，21，则其75%分位数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
3．某公司A，B，C三个部门的员工数量之比为a：3：4，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从B部门抽取员工6名，则从A部门抽取员工的数量为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．在正方体中，直线AC与所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球、3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若a，b是异面直线，则下列结论一定正确的是（ ）
A．存在与a，b都平行的直线 B．存在与a，b都垂直的平面
C．存在过a且与b垂直的平面 D．存在过a且与b平行的平面
7．如图，是用斜二测画法得到的水平放置的的直观图，其中．以BC为轴，将旋转一周得到的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中，
①平面EFG
②平面平面
③所有点P在直线上
④BP与所成的角为，则的最小值是
正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
10．已知一组样本数据，，，，满足，则去掉后的新数据与原数据相比（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差不变
11．在如图所示的三棱锥中，，两两互相垂直，下列正确的为（ ）
A．直线与平面所成的角为45°
B．二面角的正切值为
C．到面的距离为
D．作平面，垂足为，则为的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知数据-1，2，4，x，7，8的众数为4，则其标准差为________．
13．若某正四棱台的上、下底面的边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为________．
14．如图，在三棱锥中，底面ABC是边长为2的正三角形，且PA⊥平面ABC，点M为AB的中点，点N为棱PC上一动点，且．若直线MN与底面ABC所成角的正切值为，则的值为________；在A，M，B，P，N，C6个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）每年的4月23日为“世界读书日”．为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9．求落在样本数据的平均值和方差．
16．（15分）如图，在四棱锥中，，，．
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若，E，F分别为BD，PD的中点，求证：平面平面AEF．
17．（15分）如图，在三棱锥中，，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．（17分）甲、乙两支代表队进行趣味篮球对抗赛，规则如下：对抗赛分为若干局：每局比赛只有胜负两种结果，胜者得1分，负者得0分；积分首先达到3分的代表队赢得对抗赛，对抗赛结束．假定甲代表队每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果互不影响．
（1）求经过3局比赛，对抗赛结束的概率；
（2）求甲代表队赢得对抗赛的概率．
19．（17分）如图，在直三棱柱中，，，P，Q分别为AC，的中点．
（1）求证：平面；
（2）设平面与平面的交线为l，求二面角的正切值；
（3）在线段CQ上是否存在点M，使直线AM与平面所成角的大小为？若存在，求出CM的长度；若不存在，说明理由．
2024级高一下学期第二次学情检测
数学试题参考答案
一、选择题
CDBC ADBC
二、选择题
9．BC 10．ABD 11．ABD
三、填空题
12．3 13． 14．，
四、解答题
15．解：（1）由题意知，， 2分
解得． 4分
（2）根据频率分布直方图，
， 6分
所以． 8分
（3）由频率分布直方图知，落在、的样本数据的频数分别为60，40， 9分
所以， 12分
所以． 15分
16．证明：（1）因为，，所以．
又因为，，平面PAD，平面PAD，
所以CD⊥平面PAD． 4分
又平面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD． 6分
（2）延长AE交CD于G，
因为E，F分别为BD，PD中点，
所以，又平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC． 9分
因为，所以，又E为BD中点，所以，
注意到，所以，所以．
又因为，所以G为CD中点，所以． 12分
又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 13分
因为，平面AEF，平面AEF，
所以平面平面AEF． 15分
17.【详解】（1）因为为正三角形，所以；
因为，所以.
又，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面
（2）过点P作的垂线，垂足为H，连结.
因为平面平面，又平面平面，平面，
故平面.所以直线与平面所成角为
在中，，
由余弦定理得，所以.
所以,又，故，
即直线与平面所成角的正弦值为.
18．解：（1）设事件“甲第i局获胜”，事件A=“经过3局比赛，对抗赛结束”，
由题意知，前3局比赛中，甲全胜或者全负，即，
， 2分 ， 4分
于是，
经过3局，对抗赛结束的概率为． 6分
（2）设事件B=“甲赢得对抗赛”，“经过i局比赛，甲赢得对抗赛”，．
则． 若，则甲、乙的积分之比为3：0，；
若，则甲、乙的积分之比为3：1，即在前三局比赛中，甲胜两局负一局，第四局甲获胜，所以
； 13分
若，则甲、乙的积分之比为3：2，即在前四局比赛中，甲、乙两人各胜两局，第五局甲获胜，所以
； 16分
故． 17分
19．解：（1）设，连接PN，
因为四边形为平行四边形，所以N为中点，
又因为P为AC中点，所以． 2分
因为平面，平面，所以平面， 4分
（2）设平面与平面的交线为l，
又平面，平面，所以． 5分
因为，，，所以BC⊥平面． 5分
设O为AB中点，则，所以PO⊥平面． 6分
因为平面，所以．
过O作，因为，
所以l⊥平面POH．
连接PH，则，
所以为二面角的平面角． 8分
因为，所以，即，所以． 9分
在中，，，所以，
即二面角的正切值为． 10分
（3）设A在面上射影为E，则∠AME为AM与平面所成角． 11分
由，可得． 13分
由，所以． 14分
在中，由余弦定理． 14分
解得， 16分
所以，在线段QC上存在点M，当时，AM与平面所成角大小为． 17分

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