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吉林省2025届高三下学期东北三省高考模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则在复平面上表示的图形是( )
A. 直线 B. 直线 C. 圆 D. 抛物线
3.记为数列的前项和．下列说法正确的是( )
A. 数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
B. 数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有
C. 已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数
D. 已知数列的 前项和，则数列是等比数列的充要条件是
4.满足条件，且的一组为( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜．若甲先抛，则甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
7.设正方体的棱长为，为正方体表面上一点，且点到直线的距离与它到平面的距离相等，记动点的轨迹为曲线，则曲线的周长为( )
A. B. C. D.
8.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，若，则可能为( )
A. B. C. D.
10.设随机变量，且，则( )
A. B.
C. 的方差为 D. 若增大，则增大
11.已知集合，现随机选取集合中个元素组成子集简称元子集，记该子集中的最小数为( )
A. 的最小取值为，最大取值为
B. 集合中以为最小数的元子集共有个
C. 取到“集合中以为最小数的元子集”的概率为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则 ．
13.展开式中的系数为 ．
14.在数列中，，且任意连续三项的和均为，则 ；记数列的前项和为，则使得成立的最大整数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知角，边，且．
证明：；
若点在上，且为角平分线，求的长度．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面分别为的中点．
求证：平面平面；
设，从条件，条件，条件这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．
条件：；
条件：；
条件：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子：四个面，分别标有数字，，，；骰子：四个面，分别标有数字，，，；骰子：六个面，分别标有数字，，，，，；玩家按骰子面数比例随机选择一个骰子即选择概率等于其面数占总面数的比例，然后掷该骰子两次，记录两次结果的最大值．请解答以下问题：
若玩家选择骰子，求两次投掷的最大值为的概率；
求两次投掷的最大值为的概率；
设奖金为最大值的平方单位：元，若玩家获得的奖金超过元，求玩家选择骰子的概率．
18.本小题分
已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点．
求椭圆的方程和离心率；
设过点且斜率不为的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为若直线经过坐标原点，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，其中为常数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：由余弦定理可知，，
即，
又，
所以，解得：．
由及，
可以解得：，
再与联立，解得：，或，，
利用三角形的面积相等公式，即，
，
不妨用，代入可得：，
可得．
所以的长度为．
16.解：证明：因为，平面平面，平面平面，
所以平面，
由分别为中点，得，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
选择条件：
因为，
所以，则，
所以，
由平面，得，
故两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，于是，
易知平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则 ，
所以平面与平面夹角的余弦值为 ，
选择条件；
由平面，得 ，
因为，
所以平面 ，
所以 ，故两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，以下同选条件，
选择条件；
由平面，得 ，
因为，
所以平面 ，
所以，故两两垂直，
又因为，
所以 ，
如图建立空间直角坐标系，以下同选条件．
17.解：骰子的面为，，，，每个面出现的概率为，两次投掷共有种可能的结果组合，
最大值是的情况包括至少有一次掷出，两次都不出现的概率为，
因此至少有一次出现的概率为；
玩家选择骰子的概率分别为骰子、骰子和骰子 ，
计算各骰子最大值为的概率：骰子：概率为，
骰子：两次投掷共有个结果，两次投掷的最大值为的情况是两次结果都不超过且至少有一次为，
共有种情况，，，故概率为，
骰子：没有数字，因此概率为，
总概率为：．
奖金超过元意味着最大值超过，
计算各骰子最大值超过的概率：
骰子：不可能超过，概率为，
骰子：至少有一次掷出或共有种，故概率为，
骰子：共有个结果，至少有一次掷出超过，共有，故概率为，
设最大值超过为事件，选择骰子为事件，
计算全概率：，
则．
18.解：因为直线与坐标轴交点为和，
所以，
由，解得，
所以椭圆的方程为，离心率．
由题意，直线的斜率存在，故设其方程为，
设点，
由得，
所以 ，
所以点的横坐标，纵坐标，
结合直线过坐标原点，可得直线的方程为，
令，得点的坐标为 ，
当时，显然点不在轴上，
则直线：，直线：，
令，得点．
由线段的中点为，得，
整理，得，
即，
化简，得．
由，得．
当时，由题意，点中有一个与点重合不妨设点与点重合，
取为中点，且，
在中，，则直线的方程为，
由的中点为，则，即，故，
所以，当且仅当时等号成立，
综上，的取值范围为．
19.解：当时，，，
，此时，
因此曲线在点处的切线方程为．
函数的定义域为，，
当时，即时，，令，解得，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，中，，
当，即时，
方程在上仅有一个正根，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
方程在上有两个不等正根，
分别为 ，，
，
故，
令得，令得，
此时函数在和上单调递增，
在上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减；
由可知，若函数在区间内存在两个不同的极值点，则 ，
函数的对称轴为，且，
故，且，解得．

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