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浙江省Z20联盟(浙江省名校新高考研究联盟)2025届高三第三次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“直线与圆相切”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为：若记年月日西藏日喀则发生里氏级地震释放出来的能量为，年月日四川雅安发生里氏级地震释放出来的能量为，则( )
A. B. C. D.
5.已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，为左顶点，是双曲线在第四象限上一点，的斜率为，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的函数满足，，当时，，则函数在区间内的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量X~N(2,1),则P(X3)>0.5
B. 若随机变量X~N(2,1),则P(3< X<4)< P(1< X<2)
C. 若随机变量X~B(n,),且E(X)=2,则D(X)=1
D. 若随机变量X~B(n,),且D(X)=1,则D(2X-1)=4
10.已知函数，则下列正确的是( )
A. 是的一个周期 B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减
11.设正方体的棱长为，点，分别为棱，上的动点含端点，且，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积有最大值
B. 三棱锥的外接球的体积为定值
C. 三棱锥的体积为定值
D. 三棱锥的外接球的体积有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中的系数为，则实数的值为 ．
13.一个袋中装有大小质地相同的个小球，其中白球个，红球个，黑球个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为 ．
14.已知实数，满足，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，角，，对应的边分别为，，，，，
求角
若点在边上，且，求的面积．
16.本小题分
已知四棱锥中，底面是梯形，，，，，是等腰直角三角形，为棱上一点．
当为中点时，求证：平面
若，当时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
求函数图象在点处的切线方程
若不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为．
求椭圆的方程
点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点．
求的最小值
设，分别为椭圆的左、右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上若是，求出该直线方程若不是，请说明理由．
19.本小题分
若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等比组”现有一个项的正项数列，，，，其共有组相邻三项，记第组相邻三项为，，，，．
若数列满足，，
为“等差组”，为“等比组”，求
为“等比组”，为“等差组”，求．
若数列满足，，且为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数列的个数
若数列满足，，且中恰有组“等差组”和组“等比组”，求的最大可能值．
参考答案
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14.
15.解：因为，所以，
因为，
所以，
又，所以，
所以，即，
所以为等边三角形，则；
因为，
所以，
在中，，即，得，
因为
，
所以的面积为．
16.解：证明：当为中点时，取中点，连接、，
在中，由中位线可得，且，
又由题意可得，且，
可得，且，故四边形为平行四边形，
故ED，又平面，平面，
所以平面；
由题意易得，，，可得平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，易得，，，
由，和余弦定理易得，故，
设，由可得，故，
解得，，，故E，
所以，
设平面的一个法向量为，由
令，可得，由平面与轴垂直，可取平面的一个法向量为，
故平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：，求导，
斜率，
又切线过点，
所以切线方程：，
所以函数图象在点处的切线方程为；
已知恒成立，即在上恒成立，
得在上恒成立，
令，则，，
，
令，则，
因为，所以，即在上单调递增，
又，
当时，，即，那么，在上单调递减；
当时，，即，那么，在上单调递增，
所以在处取得极小值也是最小值，
，
则，
即实数的取值范围是．
18.解：因为椭圆的离心率，且椭圆上任意一点与椭圆的右焦点距离的最大值为，
所以，解得，，因此，所以椭圆的方程为；
因为点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点，
所以点，而，因此，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
因此的最小值为；
因为不垂直轴，且与椭圆交于另一点，
所以设直线的方程为：，，
由得：，则，，
因此，
因为、，所以直线的方程为：，
直线的方程为：，
因为直线与直线交于点，
所以，
即点，
因此直线的方程为与直线联立得，
即，解得，
因为直线与直线的交点为，所以，即点在定直线上．
19.解：由题意，，，故，；
由题意，，，故，；
若为“等差组”，为“等差组”，则；
若为“等差组”，为“等比组”，则；
若为“等比组”，为“等差组”，则；
若为“等比组”，为“等比组”，则
从而有种不同的选择，
而，每个组都有“等差组”，“等比组”两种选择，
故有种不同的选择，从而满足条件的数列有个；
引理：四个连续正数，，成等差组，
成等比组时，成等比组，成等差组时，则，
证明：当成等差组，成等比组时，
当成等比组，成等差组时，，
故，
构造函数，，
故在单调递增，又，从而当时，，
从而由得，即，
当，时，单调递增，
由引理，对任意一个的排列，若存在为等差组，且为等比组，
则将改为等比组，将改为等差组，则变大，从而这样的的排列不能使最大，
若的排列不存在这样的，则的排列只有一种，即为等比组，
为等差组，此时，，，
从而为最大值．
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