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山东省潍坊市部分县区联考2025届高三下学期5月高考模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
5.已知直线与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，点，分别在上、下底面圆周上，且，，则与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.某烘培店制作了种面包、种蛋糕，现从中选取两种面包和一种蛋糕搭配成套餐售卖，若，必须搭配在一起，，不能搭配在一起，则不同的搭配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知数列中，，，，则( )
A. B. C. D. 无法判断大小
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据如下：，，，，，则下列说法中正确的是( )
A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的方差为
C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第百分位数为
10.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点在第四象限，为的准线，则( )
A. 的方程为 B.
C. 以为直径的圆与相交 D. 为钝角三角形
11.在棱长为的正方体中，点为正方形内的动点包含边界，点为的中点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若，则动点的轨迹长度为
C. 若点在线段上不包含端点，则四棱锥存在外接球
D. 若点为的中点，则过，，三点的平面与该正方体的截面周长为
三、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
12.已知是等差数列的前项和，若，，则 ．
已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ．
一个不均匀的骰子，掷出，，，，，点的概率依次成等差数列独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为，若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
如图，直四棱柱中，，，．
若，证明：平面
若，且，求二面角的余弦值．
14.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，点在上，且，．
判断的形状
若四边形满足，求四边形面积的最大值．
15.本小题分
已知函数
当时，求在点处的切线方程
若在区间上有零点，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知双曲线左、右顶点分别为，，过点的直线交于，两点．
若的一条渐近线方程为，求的方程
连接并延长交于点．
设点在第一象限，若，，求点的坐标
若，求的取值范围．
17.本小题分
对于有限正整数数列，，，，若存在连续子列，，，和符号序列，，，，使得，其中，，，则称数列存在平衡连续子列．
写出数列，，，的一个平衡连续子列
设对任意正整数，定义函数为满足的非负整数，其中为奇数，令证明：数列，，，不存在平衡连续子列
设数列的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，存在平衡连续子列．
参考答案
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13.解：证明：因为为直四棱柱，故 EA底面，所以，
因为，，，所以，所以，
因为，所以，
又因为，
所以平面，
又，所以平面；
以为原点，、、分别为轴、轴、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面法向量为，，，
，取，
设平面法向量为，，，
，取，
则 ，
故二面角的余弦值为．
14.解：由题得，
因为，所以，
所以，
所以，
由正弦定理，
得，，
因为，，
所以，所以，
所以，所以，
从而是等腰直角三角形；
结合可得，
在中，由余弦定理可得，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
故AE，
所以，
四边形面积，
所以四边形面积的最大值为．
15.解：因为，
所以，
即，
所以切线的斜率为，
又，
所以切线方程为，即；
，
则，
当时，在上，，，
所以在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上无零点；
当时，令，
则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
即，
时，，在区间上单调递增，
即在区间上恒成立，
所以在区间上无零点；
(ⅱ)当时，，
又，
所以存在，使得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
即当时，取得最小值，
因为，
所以，
因为，
所以当时，，
此时，在区间上恒成立，
在区间上无零点；
当时，，
故存在，使得，
所以实数的取值范围是．
16.解：根据题意得，故，故C的方程为；
根据双曲线对称性知，故，
所以，故，
设，则，又，
解得，从而；

由题知，，
当直线的斜率为时，此时，不合题意，则，
则设直线，设点，，
根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，
联立有，
显然二次项系数，其中，
，，
，，则，
因为，在直线上，则，，
即，即，
将代入有，
即，
化简得，
所以，代入到，得，所以，
且，解得，
又因为，则，
综上知，，

17.解：，，，或者，，；
证明：因为，，，是奇数，故，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以数列，，，，，，，
因为，，，，
所以与奇偶性相同，
当或时，因为，，，中，为奇数，其余各项均为偶数，
所以为奇数，
所以，
当取，，，，，时，
由可知，
综上：该数列不存在平衡连续子列；
证明：设，，
则，，，是整数数列，
下面证明对任意，均有，
显然满足，
假设结论不成立，则存在，使得或，且当时都有，
若，当时，，
因为，所以，矛盾；
当时，，
因为，所以，矛盾；
若，当时，，
因为，所以，矛盾；
当时，，因为，，
又是整数，所以，矛盾，
综上，对任意，，，，均有，
若存在，，，，使得，
则存在且，，，，使得，
此时数列存在平衡连续子列，
若任意，，
因为，，，，，，，中共个非零整数，
当时，数列，，中存在，且，使得，
从而存在，，，使得，
此时数列存在平衡连续子列，
综上：当时，数列存在平衡连续子列．
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