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4.2 全等三角形
【基础堂清】
知识点1　全等三角形的概念及表示
1.下列说法正确的是 (　　)
A.形状相同的两个三角形全等
B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等
D.所有的等边三角形全等
2.如图,△ABN≌△ACM,∠B和∠C是对应角,AB与AC是对应边,则　　　　是对应边,　　　　是对应角.
知识点2　全等三角形的性质
3.如图,△ABC≌△AEF,AB与AE是对应边,AC与AF是对应边,那么∠EAC等于 (　　)
A.∠ACB B.∠BAF
C.∠CAF D.∠BAC
4.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则下列结论中不一定成立的是 (　　)
A.AC=AF B.∠FAB=∠EAB
C.EF=BC D.∠EAB=∠FAC
5.如图,△ABD≌△CBD,若∠A=80°,∠ABC=110°,则∠ADC的度数为　　　　.
6.如图,已知△ABE≌△ACD,AD=3,AC=7,∠ADC=110°,则BD=　　　　,∠BEC=　　　　.
7.如图,△ABC≌△EFD,CE=2.5,CD=2,求AC的长.
8.如图,△ABC≌△BAE,∠ABE=60°,∠E=92°,求∠ABC的度数.
【能力日清】
9.如图,D,E分别是边AC,BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为 (　　)
A.15° B.20° C.25° D.30°
10.如图,将一个正方形分成9个全等的小正方形,连接三条线段得到∠1,∠2,∠3,则∠1+∠2+∠3等于　　　　.
11.如图,已知△ABE≌△ACD,BE,CD相交于点O.
(1)说明:BD=CE.
(2)说明:∠BDO=∠CEO.
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4 cm,已知△BCD≌△ACE,求四边形AECD的面积.
13.如图,△ABD≌△EBC,AB=3 cm,BC=6 cm.
(1)求DE的长.
(2)若A,B,C三点在一条直线上,则DB与AC垂直吗 为什么
14.　如图,△ABC≌△FED,AF=8,BE=2.
(1)说明:AC∥DF.
(2)求AB的长.
【素养提升】
15.　如图,在平面直角坐标系中,已知D(0,0),B(0,4),A(2,0),CE⊥x轴于点E,且△ABD≌△CAE.
(1)求DE的长.
(2)求点C的坐标.
(3)求∠BAC的度数.
参考答案
1.C
2.AN与AM,BN与CM　∠BAN与∠CAM,∠ANB与∠AMC
3.B　4.B
5.90°　6.4　70°
7.解:因为△ABC≌△EFD,
所以AC=DE(全等三角形的对应边相等).
因为DE=CD+CE=2+2.5=4.5,
所以AC=4.5.
8.解:因为∠ABE=60°,∠E=92°,
所以∠BAE=180°-∠ABE-∠E=180°-60°-92°=28°.
因为△ABC≌△BAE,
所以∠ABC=∠BAE=28°.
9.D　10.135°
11.解:(1)因为△ABE≌△ACD,所以AD=AE,AB=AC,所以BD=CE.
(2)因为△ABE≌△ACD,
所以∠ADC=∠AEB,所以∠BDO=∠CEO.
12.解:因为△BCD≌△ACE,
所以S△BCD=S△ACE.
所以S四边形AECD=S△ACE+S△ACD=S△BCD+S△ACD=S△ABC.
又因为∠ACB=90°,AC=BC=4 cm,
所以S△ABC=×4×4=8(cm2),
即S四边形AECD=8 cm2.
13.解:(1)因为△ABD≌△EBC,
所以BD=BC=6 cm,BE=AB=3 cm,
所以DE=BD-BE=3 cm.
(2)DB⊥AC.
理由如下:
因为△ABD≌△EBC,
所以∠ABD=∠EBC.
因为∠ABD+∠EBC=180°,
所以∠ABD=∠EBC=90°,
所以DB⊥AC.
14.解:(1)因为△ABC≌△FED,
所以∠A=∠F,
所以AC∥DF.
(2)因为△ABC≌△FED,
所以AB=EF,
所以AB-EB=EF-EB,
所以AE=BF.
因为AF=8,BE=2,
所以AE+BF=8-2=6,
所以AE=3,
所以AB=AE+BE=3+2=5.
15.解:(1)因为D(0,0),B(0,4),A(2,0),
所以AD=2,BD=4.
因为△ABD≌△CAE,
所以BD=AE=4,
所以DE=AD+AE=6.
(2)因为△ABD≌△CAE,
所以AD=CE=2.
因为DE=6,CE⊥x轴,
所以点C的坐标为(6,2).
(3)因为△ABD≌△CAE,
所以∠ABD=∠CAE.
因为∠BDA=90°,
所以∠ABD+∠BAD=90°,
所以∠CAE+∠BAD=90°,
所以∠BAC=180°-90°=90°.4.3 课时1 “SSS”
【基础堂清】
知识点1　三角形全等的条件——“边边边”(或“SSS”)
1.如图,AB=DC,若用定理SSS证明△ABC≌△DCB,则需要添加的条件是 (　　)
A.OA=OD B.AC=DB
C.OB=OC D.BC=CB
2.如图,在△ABC与△ADC中,AD=AB,在不添加辅助线的前提下,要使△ABC≌△ADC,只需再添加一个条件是　　　　.
3.如图,在△ABC和△DEF中,点B,E,C,F在同一条直线上,若BE=CF,AB=DE,AC=DF,试说明△ABC≌△DEF.
4.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,试说明:AB∥CD.
知识点2　利用“SSS”作全等三角形
5.如图,用直尺和圆规作△O'C'D'≌△OCD,两个三角形全等的依据是　　　　.
知识点3　三角形的稳定性
6.如图,木工师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条(图中的AB,CD两根木条),这样做是运用了三角形的 (　　)
A.全等性 B.灵活性
C.稳定性 D.对称性
7.　[中华优秀传统文化]花楼提花机是我国古代织造技术最高成就的代表,明代《天工开物》中详细记载了花楼提花机的构造.如图,提花机上的一个三角形木框架,它由三根木料固定而成,三角形的大小和形状固定不变.三角形的这个性质叫作三角形的　　　　.
【能力日清】
8.如图,在4×4正方形网格中,与△ABC有一条公共边且全等(不与△ABC重合)的格点三角形(顶点在格点上的三角形)共有 (　　)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
9.如图,AB=AC,BD=CD.
(1)说明:∠B=∠C.
(2)若∠A=120°,∠D=80°,求∠B的度数.
10.如图,B,C分别为射线BA,CD的端点,连接BC,按要求完成下列各小题.(保留作图痕迹,不要求写作法,标明各顶点字母)
(1)在BC的右侧,作∠BCE=∠BCD,交射线BA于点E.
(2)在(1)的条件下,求作△CBF(点F在∠BCD内),使得△CBF≌△BCE.
11.　如图,AB=AC,CG=BF,AG=AF.
(1)试说明∠F=∠G.
(2)∠EAG=∠DAF吗 请说明理由.
【素养提升】
12.　[教材P100第3题变式]在数学活动课上,李老师让同学们试着用角尺平分∠AOB(如图所示).有两组同学设计了如下方案.方案①:将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度位于OA,OB上,且交点分别为M,N,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
方案②:在边OA,OB上分别截取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与点M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
方案①与方案②是否可行 判断并说明理由.
参考答案
1.B
2.CD=CB
3.解:因为BE=CF,
所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(SSS).
4.解:在△ABD和△CDB中,
所以△ABD≌△CDB(SSS),
所以∠ABD=∠CDB,
所以AB∥CD.
5.SSS　6.C　7.稳定性　8.B
9.解:(1)连接AD(图略),证△ABD≌△ACD(SSS),所以∠B=∠C.
(2)因为∠B=∠C,∠B+∠C=160°,
所以∠B=80°.
10.解:(1)如图,∠BCE为所作.
(2)如图,△CBF为所作.
11.解:(1)在△ABF和△ACG中,
因为AB=AC,BF=CG,AF=AG,
所以△ABF≌△ACG(SSS).
所以∠F=∠G.
(2)因为△ABF≌△ACG,
所以∠BAF=∠CAG,
所以∠BAF-∠BAC=∠CAG-∠BAC,
即∠EAG=∠DAF.
12.解:方案①不可行.
理由:因为只有OP=OP,PM=PN,不能判断△OPM≌△OPN,
所以不能判定OP就是∠AOB的平分线.
方案②可行.
理由:在△OPM和△OPN中,
所以△OPM≌△OPN(SSS),
所以∠AOP=∠BOP,
所以OP就是∠AOB的平分线.4.3 课时2 “ASA”
【基础堂清】
知识点1　三角形全等的条件——“角边角”(或“ASA”)
1.如图,∠1=∠2,若用定理ASA证明△ABD≌△ACD,则需要添加的条件是 (　　)
A.∠3=∠4 B.BD=CD
C.∠B=∠C D.AB=AC
2.如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是　　　　.
知识点2　已知三角形的两角及夹边作三角形
3.如图,这是作△ABC与某三角形全等的作图痕迹,则此作图的依据是　　　　.
【能力日清】
4.如图,点A,C,B,D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD=30°,∠A=80°,则∠DBE的度数为　　　　.
5.　[教材P102习题4.7第3题变式]如图,B是AC的中点,∠A=∠C,∠1=∠2,试说明:△ABE≌△CBF.
【素养提升】
6.阅读与思考:
在图形与几何的学习中,常常会遇到一些问题无法直接解答,需要添加辅助线才能解决,比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段,我们可以通过延长垂线段与三角形的一边,两条线相交构造全等三角形,运用全等三角形的性质解决问题.
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠CBA交AC于点D,过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E,若CE=3,求△BDC的面积.
参考答案
1.A
2.ASA　3.ASA　4.110°
5.解:因为B是AC的中点,
所以AB=CB.
因为∠1=∠2,
所以∠1+∠EBF=∠2+∠EBF,
即∠ABE=∠CBF.
在△ABE和△CBF中,
所以△ABE≌△CBF(ASA).
6.解:如图,延长CE,BA,两条线交于点F.
因为BE平分∠CBA,所以∠FBE=∠CBE.
因为CE⊥BE,
所以∠BEF=∠BEC=90°.
在△FBE和△CBE中,
所以△FBE≌△CBE(ASA).
所以EF=CE.
因为CE=3,
所以EF=3,CF=CE+EF=6.
在Rt△BEF中,∠EBF+∠F=90°.
因为∠BAC=90°,
所以∠CAF=90°=∠BAC.
在Rt△CAF中,∠ACF+∠F=90°,
所以∠EBF=∠ACF.
在△BAD和△CAF中,
所以△BAD≌△CAF(ASA),
所以BD=CF=6,
所以S△BDC=×BD×CE=×6×3=9.4.3 课时3 “AAS”
【基础堂清】
知识点　三角形全等的条件——“角角边”(或“AAS”)
1.如图,点D在AB上,点E在AC上,且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是 (　　)
A.AB=AC
B.∠AEB=∠ADC
C.BE=CD
D.AD=AE
2.根据图中所给条件,能够判定全等的两个三角形是 (　　)
(1)　　　　(2)
(3)　　　(4)
A.(1)和(2) B.(2)和(4)
C.(1)和(3) D.(3)和(4)
3.如图,∠B=∠C,AD是△ABC中BC边上的高,则由　　　　可判定△ABD≌△ACD.
4.如图,CA=CD,∠B=∠E,∠BCE=∠ACD.AB与DE相等吗 为什么
【能力日清】
5.如图,AC与BD相交于点E,∠A=∠D,∠1=∠2.
(1)试说明:△ABC≌△DCB.
(2)若∠CED=∠D,∠1=40°,求∠3的度数.
【素养提升】
6.　如图,在△ABC中,AE,BF是△ABC的高,分别交BC,AC于点E,F,AE,BF交于点D.
(1)如图1,若∠ABC<∠C,且∠BAC=45°,∠BDE=75°,求∠BAE的度数.
(2)如图2,若∠ABC=∠C,AF=BF.
①试说明:∠BAE=∠CAE.
②试说明:△ADF≌△BCF.
参考答案
1.B　2.D　3.AAS
4.解:相等.因为∠BCE=∠ACD,
所以 ∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ECA,
所以∠BCA=∠ECD.
又因为CA=CD,∠B=∠E,
所以△ABC≌△DEC(AAS),
所以AB=DE.
5.解:(1)在△ABC 和△DCB 中,
所以△ABC≌△DCB(AAS).
(2)因为∠1=∠2=40°,
所以∠BEC=180°-∠1-∠2=100°,
所以∠CED=180°-∠BEC=80°,
所以∠D=∠CED=80°,
所以∠3=180°-80°-80°=20°.
6.解:(1)因为BF⊥AC,
所以∠AFB=90°.
因为∠BAC=45°,
所以∠ABF=90°-∠BAC=45°.
因为∠BDE=75°,
所以∠ADB=105°,
所以∠BAE=180°-105°-45°=30°.
(2)①因为AE⊥BC,
所以∠AEB=∠AEC=90°.
因为∠ABC=∠C,AE=AE,
所以△ABE≌△ACE(AAS),
所以∠BAE=∠CAE.
②因为BF⊥AC,AE⊥BC,
所以∠CFB=∠AFD=∠AEC=90°,
所以∠C+∠CAE=90°,∠ADF+∠CAE=90°,
所以∠ADF=∠C.
在△ADF和△BCF中,
所以△ADF≌△BCF(AAS).4.3 课时4 “SAS”
【基础堂清】
知识点1　三角形全等的条件——“边角边”(或“SAS”)
1.下列条件中,不能判定两个三角形全等的是 (　　)
A.两边一角对应相等
B.两角一边对应相等
C.三边对应相等
D.两边和它们的夹角对应相等
2.根据下列各组的条件,能判定△ABC≌△A'B'C'的是 (　　)
A.AB=A'B',AC=A'C',∠C=∠C'
B.AB=A'B',AC=A'C',∠B=∠B'
C.AB=A'B',AC=A'C',∠A=∠A'
D.∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'
3.如图,AB=AC,根据SAS,只需要补充条件　　　　或　　　　,则有△ABE≌△ACD.
4.如图,AB=AD,AC平分∠BAD.试说明:△ABC≌△ADC.
知识点2　已知两边及夹角作三角形
5.已知线段a,c,∠α,求作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
以下是排乱的作图步骤:
①　　　②
③　　　④
正确作图步骤的顺序是 (　　)
A.①②③④ B.①③②④
C.①③④② D.①②④③
知识点3　三角形全等的条件的灵活选用
6.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于点O,已知AB=AC,添加一个条件,仍不能判定△ABE≌△ACD的是 (　　)
A.∠B=∠C B.AD=AE
C.BD=CE D.BE=CD
7.　[开放性问题]如图,AB与OM相交于点A,与ON相交于点B,OP⊥AB,垂足为P,添加一个条件　　　　,使△AOP≌△BOP.
8.如图,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是E,F,DE=CF,AE=BF.说明:AC∥BD.
【能力日清】
9.如图,AB,CD交于点O,且相互平分,则图中全等三角形有 (　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
10.如图,AC和BD相交于点O,AD∥BC,AD=BC,过点O任意作一条直线分别交AD,BC于点E,F,则有下列结论:①OA=OC;②OE=OF;③AE=CF;④OB=OD.其中成立的有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.请完成以下作图,不用写作法,保留合理的作图痕迹.
已知线段a,∠α,求作△ABC,使∠A=∠α,AB=AC=a.
12.如图,从①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE;④∠ADB=∠E;⑤∠BAC=∠DAE五个条件中,选出三个条件,利用全等三角形的判定定理,可使△ABD≌△ACE,你能想出几种方法,罗列出来,并挑选其中一种方法写出理由.
【素养提升】
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB边上,点E在AC边上,AD=AE,BE与CD交于点F.试说明BF=CF.
14.　如图,点A,B,C在同一条直线上,AE与BD相交于点M,CD与BE相交于点N,∠E=∠D,AM=CN,ME=ND.△ABE与△CBD全等吗 为什么
参考答案
1.A　2.C
3.AD=AE　BD=CE
4.解:因为AC平分∠BAD,
所以∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中,
所以△ABC≌△ADC(SAS).
5.B　6.D
7.AP=BP(答案不唯一)
8.解:因为DE⊥AB,CF⊥AB,所以∠DEB=∠AFC=90°.
因为AE=BF,所以AF=BE.
因为DE=CF,所以△DEB≌△CFA,所以∠A=∠B,
所以AC∥DB.
9.C　10.D
11.解:△ABC即所求三角形.
12.解:可选①②③或①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤.
选①②③,理由如下:
在△ABD与△ACE中,
所以△ABD≌△ACE(SSS).
13.解:因为AB=AC,AD=AE,
所以AB-AD=AC-AE,
即BD=CE.
在△ABE和△ACD中,
所以△ABE≌△ACD(SAS),
所以∠ABE=∠ACD.
在△BDF和△CEF中,
所以△BDF≌△CEF(AAS),
所以BF=CF.
14.解:△ABE≌△CBD.
理由:在△BME和△BND中,
所以△BME≌△BND(AAS),
所以BE=BD.
因为AM=CN,ME=DN,
所以AE=CD.
在△ABE和△CBD中,
所以△ABE≌△CBD(SAS).4.3 课时5 全等三角形判定的综合练习
【基础堂清】
1.如图,AB=DB,∠1=∠2,添加一个条件,仍不能判断△ABC≌△DBE的是 (　　)
A.BC=BE
B.AC=DE
C.∠A=∠D
D.∠ACB=∠DEB
2.如图,AB∥CD,AD∥BC,AC,BD相交于点O,过点O作一直线交AD于点E,交BC于点F,则图中全等三角形共有 (　　)
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
3.如图,从下列四个条件①BC=B'C,②AC=A'C,③∠A'CA=∠B'CB,④AB=A'B'中,任取三个条件,余下的一个为结论,则最多可以构成正确的结论的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,B是AD的中点,BC∥DE,BC=DE.试说明:∠C=∠E.
5.如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD=AE.试说明:BE=CD.
【能力日清】
6.　[教材P106习题4.3第3题变式]已知△ABC的三个内角,三条边长如图所示,则甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的三角形是 (　　)
A.甲和乙 B.乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
7.如图,△ABC的三条边各不相等,现以B,C为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形(不与△ABC重合)与△ABC全等,这样的三角形最多还可以作 (　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.如图,AB=AC,E,F,D分别是AB,AC,BC边的中点,则图中全等三角形的对数为 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
9.如图,AD是△ABC的中线,BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F.试说明:AE+AF=2AD.
10.　如图,在△ABC中,D是边BC的中点,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E.
(1)说明:△ABD≌△ECD.
(2)若AC=3,CE=5,BD的长是偶数,求BD的长.
【素养提升】
11.　如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上.
(1)∠ABE与∠ACE有怎样的关系 判断并说明理由.
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,CE的延长线交AB于点G.EF与EG相等吗 为什么
参考答案
1.B　2.C　3.B
4.解:因为B是AD的中点,
所以AB=BD.
因为BC∥DE,
所以∠ABC=∠D.
在△ABC和△BDE中,
所以△ABC≌△BDE(SAS),
所以∠C=∠E.
5.解:因为BD⊥AC,CE⊥AB,
所以∠ADB=∠AEC=90°.
在△ADB和△AEC中,因为∠ADB=∠AEC,AD=AE,∠A=∠A,
所以△ADB≌△AEC(ASA),
所以AB=AC.
又因为AD=AE,所以AB-AE=AC-AD.
即BE=CD.
6.B　7.B　8.C
9.解:因为AD是△ABC的中线,所以BD=CD.
在△BDE和△CDF中,
∠BED=∠CFD=90°,∠BDE=∠CDF,BD=CD,
所以△BDE≌△CDF(AAS),
所以DE=DF.
因为AE=AD-DE,AF=AD+DF,
所以AE+AF=(AD-DE)+(AD+DF)=2AD.
10.解:(1)因为D是边BC的中点,
所以BD=CD=BC.
因为CE∥AB,
所以∠B=∠DCE,∠E=∠BAD.
在△ABD和△ECD中,
所以△ABD≌△ECD(AAS).
(2)由(1)可知△ABD≌△ECD,
所以AB=CE=5.
在△ABC中,
AB-AC所以2所以1又因为BD=BC,
所以1因为BD的长是偶数,
所以BD=2.
11.解:(1)∠ABE=∠ACE.理由:因为D是BC的中点,
所以BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
所以△ABD≌△ACD(SSS),
所以∠BAD=∠CAD.
在△ABE和△ACE中,
所以△ABE≌△ACE(SAS),
所以∠ABE=∠ACE.
(2)EF=EG.理由:由(1)知△ABE≌△ACE,
所以BE=CE,∠ABE=∠ACE.
在△BEG和△CEF中,
所以△BEG≌△CEF(ASA),
所以EG=EF.4.4 课时1 三角形全等的应用
【基础堂清】
1.如图,要测量湖两岸相对两点A,B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再过点D作出BF的垂线DE,使点A,C,E在一条直线上,这时可得△ABC≌△EDC,用于判定全等的是 (　　)
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
2.　[教材P111随堂练习变式]如图,把两根钢条AB,CD的中点O连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳).只要量得AC之间的距离,就可知工件的内径BD.其数学原理是利用△AOC≌△BOD,判断△AOC≌△BOD的依据是 (　　)
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
3.如图,两棵大树相距13 m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED.已知大树AB的高为5 m,小华行走的速度为1 m/s,小华走BE段耗费的时长是 (　　)
A.13 s B.8 s
C.6 s D.5 s
【能力日清】
4.如图,这是工人师傅用同一种材料制成的金属框架,已知∠B=∠E,AB=DE,BF=EC,其中△ABC的周长为24 cm,CF=3 cm,则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 (　　)
A.45 cm
B.48 cm
C.51 cm
D.54 cm
5.小强为了测量一幢高楼的高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P,测得旗杆顶C的视线PC与地面夹角∠DPC=36°,测得楼顶A的视线PA与地面夹角∠APB=54°,量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等,都等于10米,量得旗杆与楼之间距离DB=36米,试问小强计算楼高AB是多少米
【素养提升】
6.　如图,某校学生为了测量点B到河对岸的目标A之间的距离,他们在点B同侧选择了一点C,测得∠ABC=70°,∠ACB=40°,然后在M处立了一标杆,使∠MBC=70°.
(1)他们还应该怎样做才能测出A,B间的距离
(2)画出完整的图形,并说明理由.
参考答案
1.C　2.A　3.B　4.A
5.解:因为∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,所以∠DCP=∠APB=54°.
在△CPD和△PAB中,
所以△CPD≌△PAB(ASA),
所以DP=AB.
因为DB=36,PB=10,
所以AB=DP=DB-PB=36-10=26(米).
答:楼高AB是26米.
6.解:(1)在M处立了一标杆,使∠CBM=70°,同时需要使∠BCM=40°,再测量BM的长,就能测得A,B之间的距离.
(2)画图如下.理由:在△ABC和△MBC中,
所以△ABC≌△MBC(ASA),
所以AB=BM.4.4 课时2 三角形全等的判定与应用
【基础堂清】
1.小明不慎将一块三角形的玻璃片摔成如图所示的四块(即图中标有1,2,3,4的四块),你认为将其中的哪一块带去,就能配一块与原来一样大小的三角形 应该带 (　　)
A.第1块 B.第2块
C.第3块 D.第4块
2.如图,从小丽家C到学校A和菜市场B的夹角∠ACB是锐角,又知道从小丽家C到学校A和到菜市场B的距离相等,则学校A到路BC的距离AD与菜市场B到路AC的距离BE比较,可得 (　　)
A.AD>BE B.AD=BE
C.AD3.如图,修公路需测量出被大石头阻挡的∠A的大小,为此,小张师傅便在直线AC上取点D使AC=CD,在BC的延长线上取点E,使BC=CE,连接DE,只要测出∠D的度数,则知∠A的度数,请说明理由.
【能力日清】
4.两组相邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图,四边形ABCD是一个“筝形”,其中AD=CD,AB=CB.在探究“筝形”的性质时,得到如下结论:①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③四边形ABCD的面积=AC·BD.其中正确的结论有 (　　)
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
5.如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ADC,点E在线段BD上,∠A=∠DEC=90°,AB=CE.
(1)试说明:△ABD≌△ECD.
(2)当∠ABD=20°,∠DBC=55°时,求∠DCB的度数.
【素养提升】
6.　如图,小明想知道一堵墙上点A的高度(AO⊥OD),但又没有直接测量的工具,于是设计了下面的方案,请你先补全方案,再说明理由.
第一步:找一根长度大于OA的直杆,使直杆靠在墙上,且顶端与点A重合,记下直杆与地面的夹角∠ABO.
第二步:使直杆顶端竖直缓慢下滑,直到∠　　　　=∠　　　　,标记此时直杆的底端点D.
第三步:测量　　　　的长度,即为点A的高度.
参考答案
1.B　2.B
3.解:在△ABC和△DEC中,
因为AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC,
所以△ABC≌△DEC(SAS),
所以∠A=∠D.
4.D
5.解:(1)因为BD平分∠ADC,
所以∠ADB=∠EDC.
在△ABD和△ECD中,
所以△ABD≌△ECD(AAS).
(2)因为△ABD≌△ECD,
所以∠DCE=∠ABD=20°.
因为∠DEC=90°,
所以∠BEC=90°.
因为∠DBC=55°,
所以∠BCE=90°-55°=35°,
所以∠DCB=20°+35°=55°.
6.解:OCD;ABO;OD.
理由:在△AOB与△DOC中,
所以△AOB≌△DOC(AAS),
所以OA=OD.问题解决策略:特殊化
1.如果从1,2,3,…,m这m个连续的自然数中选择n个连续的自然数(n≤m),有多少种不同的选择方法
[问题探究]
为发现规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从最简单的问题入手,再逐次递进,最后得出一般性的结论.
探究一
如果从1,2,3,…,m这m个连续的自然数中选择2个连续的自然数,会有多少种不同的选择方法
当m=3,n=2时,显然有1,2;2,3这2种不同的选择方法;
当m=4,n=2时,有1,2;2,3;3,4这3种不同的选择方法;
当m=5,n=2时,有　　　　种不同的选择方法;
……
由上可知:从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数,有　　　　种不同的选择方法.
探究二
如果从1,2,3,…,100这100个连续的自然数中选择3个,4个,…,n(n≤100)个连续的自然数,分别有多少种不同的选择方法
我们借助下面的框图继续探究,发现规律并应用规律完成填空:
1 2 3 … 93 94 95 96 97 98 99 100
从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数,有　　　　种不同的选择方法.
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数,有　　　　种不同的选择方法.
由上可知:如果从1,2,3,…,100这100个连续的自然数中选择n(n≤100)个连续的自然数,有　　　　种不同的选择方法.
问题解决
如果从1,2,3,…,m这m个连续的自然数中选择n个连续的自然数(n≤m),有　　　　种不同的选择方法.
2.如图1,直线a∥b,∠ABC=100°,BD平分∠ABC交直线a于点D,线段EF在线段AB的左侧,线段EF沿射线AD的方向平移,在平移的过程中BD所在的直线与EF所在的直线交于点P.问∠1的度数(∠1≤90°)与∠EPB的度数有怎样的关系
图1
【特殊化】
(1)如图2,当∠1=40°时,交点P在直线a,b之间,求∠EPB的度数.
(2)当∠1=70°时,求∠EPB的度数.
图2
备用图
【一般化】
(3)当∠1=n°时,求∠EPB的度数(直接用含n的代数式表示).
参考答案
1.解:探究一:4;(m-1).
探究二:98;97;(101-n).
问题解决:(m-n+1).
2.解:(1)因为BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠DBC=∠ABC=50°.
因为∠EPB+∠FPB=180°,∠PFB+∠PBF+∠FPB=180°,
所以∠EPB=∠PFB+∠PBF=∠1+(180°-50°)=170°.
(2)①当交点P在直线b的下方时,如图1,∠EPB=180°-∠2-∠3=180°-(180°-∠1)-50°=∠1-50°=20°;
图1
②当交点P在直线a,b之间时,如图2,易得∠2=180°-∠1,所以∠BPF=180°-(180°-∠1)-∠PBF=∠1-50°,所以∠EPB=180°-(∠1-50°)=160°;
图2
图3
③当交点P在直线a的上方时,如图3,易得∠EPB=∠1-50°=20°.
(3)①当交点P在直线a,b之间时,∠EPB=230°-n°;
②当交点P在直线a的上方或直线b的下方时,∠EPB=n°-50°.

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