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建平中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模
2025.5
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．复数，则 ．
2．已知集合，则 ．
3．展开式中的常数项为 ．
4．若，且，则的最小值为 ．
5．如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为 ．
6．三角形中，，则 ．
7．已知抛物线的焦点为，点在上且位于第一象限，过点作直线垂直于的准线，垂足为，若直线的倾斜角为，则 ．
8．若随机事件满足：，则 ．
9．在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 ．
10．定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位＂稳定数＂，则所有三位＂稳定数＂的个数为 ．
11．如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为 ．
12．已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．设，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
14．已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）.
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
15．在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
16．设数列的各项均为非零的整数，其前项和为.设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ）.
A．0 B．22 C．26 D．31
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）与平面所成角的正弦值．
18．设且，已知函数．
（1）判断是否为偶函数，并说明理由；
（2）令函数，解关于的不等式．
19．轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展。某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表。
（1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；
（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，.求的分布列与期望；
（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，求小李晚餐选择低卡甜品的概率．
参考公式：.
附：
20．已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为.
（1）求直线在轴上的截距之和；
（2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值；
（3）若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围.
21．设函数的定义域为,给定闭区间，若存在，使得对于任意，
①均有，则记；②均有，则记．
（1）设，求；
（2）设。若对于任意，均有，求的取值范围；
（3）已知对于任意与均存在,证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂.
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】如右图，设，则，
所以直角三角形的面积为，
当且仅当时取等号，此时点到的距离为，可以保证点在半圆形材料内部，因此按照此方案得到直角三角形的最大面积为；
如右图，设，则，所以,
设，
则，
当时，递减；时，递增；
所以时，的面积最大值为．
因为，所以截得的直角三角形面积最大值为．故答案为：．
12．已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【解析】依题意，函数，正数数列满足且
所以，即，所以，
所以不等式恒成立等价于恒成立，
由得，
令，则，则恒成立．
令）
所以函数表示双曲线在第一象限的一部分，
双曲线的渐近线为，所以对应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是，即的取值范围是，所以的最小值为．
故答案为：．
二、选择题
13.D 14.C 15.B 16.B
15．在中，为边的中点，对于所在直线上的任意点，均有，则的形状一定是（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】以为原点，直线为轴，建立如图平面直角坐标系，
设，
则
上式为开口向上的二次函数，当时，
因为
又因为，所以
解得，即，故，所以两点的横坐标相同，故，
所以为直角三角形．故选：．
16．设数列的各项均为非零的整数，其前项和为.设为正整数，若为正偶数时，都有恒成立，且，则的最小值为（ ）.
A．0 B．22 C．26 D．31
【答案】B
【解析】因为，所以互为相反数，不妨设，
为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，
由题意知，满足，取的最小值为，
满足,因为，故取的最小值，
满足,因为,，故取的最小值，
同理，取的最小值，所以
满足，取的最小值，
满足,因为,所以，取的最小值，
满足,因为,所以，取的最小值，
同理，取的最小值，所以
所以，
因为数列的各项均为非零的整数，，所以当时，有最小值22．
故选：．
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1）偶函数，理由略 （2）
19.（1）有关 （2）分布列如下， （2）
20．已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线的斜率分别为.
（1）求直线在轴上的截距之和；
（2）若四边形为菱形，证明：直线之间的距离为定值；
（3）若成等比数列，射线分别交椭圆于两点，求四边形面积的取值范围.
【答案】（1）0 （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）设两条平行线的方程分别为
，，联立，
消去并整理得,
此时，解得，
由韦达定理得，
所以
同理得，因为四边形为平行四边形，
所以，即，解得，所以，
所以两条平行线在轴上的截距之和为0；
（2）证明：若四边形为菱形，此时，所以，
由（1）知关于原点对称，所以点与点，点与点关于原点对称，
此时
，所以，
则直线之间的距离；
（3）由（2）知，所以且，
因为，所以，设直线的方程为，
联立，解得，联立，解得，
所以，同理得，
所以，即，
此时，解得，
所以
则．
故四边形面积的取值范围为．
21．设函数的定义域为,给定闭区间，若存在，使得对于任意，
①均有，则记；②均有，则记．
（1）设，求；
（2）设。若对于任意，均有，求的取值范围；
（3）已知对于任意与均存在,证明：＂为上的严格增函数或严格减函数＂的充要条件为＂对于任意两个不同的与中至少一个成立＂.
【答案】（1）； （2）
（3）证明见解析
【解析】（1）因为，求导得，
所以在上为单调递增函数，因此；
（2）因为，所以，而，
因为，表示过点，
斜率为的直线，故是在处的切线，
而存在极值点，又因为，所以，
当或时，，当时，,
则函数在上单调递减，在上单调递减，
当时，此时与在上均为单调递增函数，
因此当时，恒成立，
即，
当时，则有，显然成立，当时，则有，
因为，所以；
当时，此时
此时，不符题意舍去；
综上，实数的取值范围为；
（3）证明：先证明必要性（）：
若为上的单调递增函数，则任取，
由题意可得，
因为，所以或或或，
因为为上的单调递增函数，
所以或或或，
所以，所以或成立．
同时对为上的单调递减函数，同理可证．
下面证明充分性（）：
当与其中一式成立时，不可能为常值函数，
先任取，总有或
假设存在，使得，
记，则，
因为存在，则或，
不妨设，则，否则当，
此时，，矛盾；
进而可得，则，,因此①．
最后证明为上的单调递减函数，任取，且，需考虑如下情况：
情况一：若，同上述可得，，），
所以．
情况二：若，则，
否则，，由此矛盾，
因为，同情况一可得矛盾，
所以，．
情况三：若，则，否则，
记,否则，
记min，
则，,
同理若，，所以，
由①可得：．
情况四：若，同上述可得，，.
综上，恒成立．（当为上的单调递增函数时，同理可证）

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