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第一章 勾股定理
八上数学 BSD
课时1 探索勾股定理
1.1 探索勾股定理
1. 了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系.
2. 能够运用勾股定理进行简单的计算.
问题 我们知道，任意三角形的三条边必须满足：三角形的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关系？
思考
从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？
为了解决这个问题，我们今天要研究
直角三角形三边之间的数量关系.
知识点1 探索勾股定理
在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系.
知识点1 勾股定理
事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.
思考 (1)在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入表中.看看三边长的平方之间有怎样的关系？
知识点1 勾股定理
3 5
4
5
12
13
6
8
10
可以发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
知识点1 勾股定理
a b c a2，b2，c2之间关系
3 4 5 3 +4 =5
5 12 13 5 +12 =13
6 8 10 6 +8 =10
(2)如图，每个方格代表一个单位面积，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗
知识点1 勾股定理
观察图1,正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
9
9
9
知识点1 勾股定理
割：分割为四个直角三角形和一个小正方形
补：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
(2)如图，每个方格代表一个单位面积，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗
知识点1 勾股定理
观察图1，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积.
正方形B的面积是 个单位面积.
正方形C的面积是 个单位面积.
9
9
9
18
该直角三角形三边长的平方分别是9,9,18，即9+9=18.
知识点1 勾股定理
A
B
C
图2
如图2，正方形A，B，C的面积分别是4，4，8，所以该直角三角形三边长的平方分别是4，4，8，即4+4=8.
这两个直角三角形的三边长均满足上面所猜想的数量关系：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)如图，每个方格代表一个单位面积，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗
(3)图中的直角三角形是否也具有这样的关系
知识点1 勾股定理
9
16
25
9
1
10
上面所猜想的数量关系仍然成立.
如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　
知识点1 勾股定理
2.4
1.6
上面所猜想的数量关系仍然成立.
将该直角三角形放在方格中，一个方格的边长为0.2个单位长度，用同样的方法即可验证
通过上面的活动，可以发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
知识点1 勾股定理
A
B
C
∟
a
b
c
较长的直角边
较短的直角边
斜边
勾
股
弦
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.
因此，人们把上面的结论称为勾股定理.
a
A
B
C
b
c
∟
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
几何语言：
如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
所以a2+b2=c2.
知识点1 勾股定理
例1 从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索离地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2,
即62+82=AB2，
所以AB=10 m.
所以需要10 m长的钢索.
知识点1 勾股定理
跟踪训练 1.求下列直角三角形中未知边的长.
知识点1 勾股定理
8
x
17
12
5
x
解：(1)由勾股定理，得
82+ x2=172，
即x2=172-82，
x=15.
(2)由勾股定理，得
52+ 122= x2，
即x2=52+122，
x=13.
(1)
(2)
1. 求图中字母所代表的正方形的面积.
A
解：A 所代表的正方形的面积是；
B 所代表的正方形的面积是．
2.小明家买了一台 55 in的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 121.5 cm长和 68.5 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了.你同意他的想法吗 你能解释这是为什么吗 (in表示英寸，1 in=25.4 mm)
解：不同意.电视机屏幕的对角线长为55 in=139.7 cm，
因为121.52+68.52=19 454. 5，139.72=19 516.09，
所以121.52+68.52≈139.72，
因为测量过程中一般存在误差，
所以售货员没搞错.
3. 如图所示，在锐角三角形ABC中，AB=30，
AC=25，BC边上的高AD=24.求 BC 的长.
解：因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°.
在RtΔABD中，∠ADB=90°，由勾股定理，得
BD2=AB2-AD2=302-242=182，所以BD=18.
在RtΔACD中，∠ADC=90°，由勾股定理，得
CD2=AC2-AD2=252-242=72，所以CD=7.
所以BC=BD+CD=18+7=25.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
利用勾股定理进行简单计算.
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