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第一章 勾股定理
八上数学 BSD
1.2 一定是直角三角形吗
1．经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用.
2．了解勾股数的概念，掌握常见的勾股数.
问题 将勾股定理的内容反过来，即如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗
下面每组数分别是一个三角形的三边长a，b，c，而且都满足a2+b2=c2：
3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25.
分别以每组数为三边长画出三角形(可借助尺规作图)，它们都是直角三角形吗
知识点1 直角三角形的判定条件
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25
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7
① 3，4，5满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°；
② 5，12，13满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°；
③ 7，24，25满足a2+b2=c2，量得较长边c所对的角的度数为90°；
④ 8，15，17满足a2+b2=c2 ，量得较长边c所对的角的度数为90°.
知识点1 直角三角形的判定条件
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所以以上四种情况都可以构成直角三角形.
如果三角形的三边长 a，b，c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
知识点1 直角三角形的判定条件
符号语言：
在△ABC中，因为a2 +b2 =c2 .
所以△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
C
B
A
a
b
c
勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：
知识点1 直角三角形的判定条件
AC2 +BC2 =AB2
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形的性质
直角三角形的判定
数
形
C
B
A
例1 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？
解：在△ ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，
所以△ ABD是直角三角形，∠A是直角.
在△ BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，
所以△ BCD是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
知识点1 直角三角形的判定条件
4
3
5
13
12
A
B
C
D
跟踪训练 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=15， b=8，c=17；
解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，
由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角.
知识点1 直角三角形的判定条件
跟踪训练 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(2) a=13，b=14，c=15.
解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，
由勾股定理的逆定理可知，这个三角形不是直角三角形.
知识点1 直角三角形的判定条件
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；6，8，10；
7，24，25；8，15，17等.
知识点2 勾股数
注意：勾股数应具备两个条件：
(1)这三个数均为正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.
关于勾股数的重要结论：若a，b，c是一组勾股数，则
①na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数，因此勾股数有无数组；
②以na，nb，nc(n为正数)为边长的三角形一定是直角三角形.
知识点2 勾股数
跟踪训练 下列几组数中是勾股数的是 .(填序号)
① ，，；② 0.3，0.4，0.5；③ 32，42，52；
④ 3，4，5； ⑤ 6，7，8； ⑥ 5，12，13.
知识点2 勾股数
④ ⑥
回顾勾股定理的学习过程，你积累了哪些研究问题的经验和方法
知识点2 勾股数
1. 下列几组数能否作为直角三角形的三边长 说说你的理由.
(1)9，12，15； (2)12，18，22；
(3)12，35，36； (4)15，36，39.
解：因为92+122=152，所以(1)可以作为直角三角形的三边长；
因为122+182≠222，122+352≠362，所以(2)(3)不满足直角三角形的三边关系，所以不能作为直角三角形的三边长；
因为152+362=392，所以(4)可以作为直角三角形的三边长.
2. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形 你是如何判断的
解：有4 个直角三角形.
因为∠A，∠D，∠C都是直角，
所以△ABE，△BCF，△DEF均为直角三角形.
因为BE2=AB2+AE2=42+22=20，
BF2=BC2+CF2=42+32=25，EF2=ED2+DF2=22+12=5，
所以BE2+EF2=BF2，所以△BEF是直角三角形.
A
B
C
D
F
E
3. 如图，有一块空白地，∠ADC=90°，CD=6 m，AD=8 m，AB=26 m，BC=24 m.现计划在该空地上进行绿化，若平均每平方米投资100元，那么该空白地绿化需多少元
思路引导：解题关键是求空地的面积，连接AC后，需先判断△ABC的形状，然后根据空地面积是△ABC与△ADC的面积之差进行求解.
解：连接AC，因为∠ADC=90°，所以△ADC是直角三角形.
由勾股定理，得AD2+CD2=AC2，即82+62=AC2，
所以AC=10米.
又因为AC2+CB2=102+242=676，AB2=262=676，
所以AC2+CB2=AB2，
所以△ACB 是直角三角形，且∠CAB=90°，
所以S四边形ABCD=SRt△ACB-SRt△ACD=×10×24-×6×8=96(m2).
100×96=9 600(元)
答：该空白地绿化需9 600元.
勾股定理的逆定理
判断三角形的形状、解决简单的实际问题
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
测量两边的平方和等于第三边的平方的三角形的内角
内容
应用
探索、验证方法

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