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第一章 勾股定理
八上数学 BSD
1.3 勾股定理的应用
1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题.
2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题.
问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB.
D C
A B
思考
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗
(1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长，
然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
(2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗
(2)边AD垂直于边AB.
因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500，
所以AD2+AB2= BD2，
所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°，
所以AD⊥AB.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗
(3)他能检验边AD是否垂直于边AB.
如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度，
若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB；
否则，边AD不垂直于边 AB.
同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB.
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
B′
D′
跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？
知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直
解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ，
所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形.
思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗
知识点2 勾股定理的应用
A E D
F
G
B C
解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm.
因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm.
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3，
所以DF的长为3 cm.
例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)
题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。
知识点2 勾股定理的应用
解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺.
由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺.
在Rt△OAC中，由勾股定理，得
AC +OA =OC ，
即 5 +x =(x+1) .
解得 x=12.
12+1=13.
因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.
知识点2 勾股定理的应用
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
(1)读懂题意，分析已知、未知间的关系；
(2)构造直角三角形；
(3)利用勾股定理等列方程；
(4)解决实际问题.
知识点2 勾股定理的应用
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地面的高度为 尺.
知识点2 勾股定理的应用
解析：设折断处离地面的高度AC为x尺，则AB=(10-x)尺.
由题意可得AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC +BC =AB ，
即x +4 =(10-x) ，解得x=，
所以折断处离地面的高度为尺.
知识点2 勾股定理的应用
跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何
题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高 则折断处离地
面的高度为 尺.
知识点2 勾股定理的应用
1. 小明家新买了一个长方体形状的鱼缸，如图所示，小明想要检测鱼缸的边DA是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，量得DA长60 cm，AB长80 cm，点B，D之间的距离是100 cm，边DA垂直于边AB吗 为什么
解：边DA垂直于边AB.理由：连接BD，如图.
因为DA +AB =60 +80 =10 000，BD =10 =10 000，
所以DA +AB =BD ，
所以△ABD是直角三角形，且∠DAB=90°，
所以边DA垂直于边AB.
2. 如图，一座城墙高11.7 m，墙外有一个宽为9 m的护城河，那么一个长为15 m的云梯能否到达墙的顶端？
解：设这个梯子能够到达的墙的最大高度是h m，
根据勾股定理得h2＝152-92＝144.
所以h=12＞11.7.
所以15 m长的云梯能达到墙的顶端.
3. 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.
解：设滑道AC=x m，则AB=x m，AE=(x-1)m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理，得AE2+CE2=AC2，
即(x-1)2+32=x2，解得x=5.
故滑道AC的长度为5 m.
A
E
B
C
D
4. 为了推广城市绿色出行，某市交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点.该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB=3km，CA=2km,DB=1.6km，试问该单车停放点E应建在距点A多远处，才能使它到两广场的距离相等.
解：设AE为x m，因为CE=DE，
所以由勾股定理可得CA2+AE2=BD2+EB2.
即22+x2=1.62+(3-x) 2，解得x=1.26.
所以该单车停放点E应建在距离A点1.26 km
处，才能使它到两广场的距离相等.
勾股定理的应用
解决其他的实际问题
解决折纸问题、古文化问题
判断两直线是否垂直
勾股定理
勾股定理的逆定理

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