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第一章 勾股定理
八上数学 BSD
问题解决策略：反思
1.进一步经历对解决问题的过程、方法及问题的变化等进行反思的过程，体会反思在解决类似问题中的价值。
2.知道反思可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，进而丰富解决问题的经验，提高解决问题的能力。
思考
如图，一个圆柱的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少
知识点 问题解决策略：反思
A
B
理解问题
(1)在这个问题中，已知条件有哪些 你认为已知条件足够解决这个问题吗
解：这个问题中，已知条件有圆柱底面的周长、
圆柱的高.
认为已知条件足够解决这个问题.
知识点 问题解决策略：反思
(2)沿侧面爬行的可能路线有哪些 什么情况下路线
最短 请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下.
解：我们不妨做一个模拟实验，取一个圆柱形水杯，
按照上图中的位置在水杯上标上点A和点B，将一根绳子(绳子不能伸缩)的一端固定在点A，绳子绕着水杯经过点B(绳子紧贴杯壁)，通过拉B端绳子来调节路线，可以发现路线有很多，但随着B端不断拉紧绳子，紧贴杯壁的绳子不断变短，直到不能拉动为止，此时路线最短.
知识点 问题解决策略：反思
B
A
拟订计划
(1)以前研究过最短路线问题吗 这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同
解：以前研究过两点之间的最短路线问题、与垂线段最短有关的最短路线问题、将军饮马问题等，
以前研究的这些问题都是在平面上进行研究的，现在这个问题是在立体图形上(即曲面上).
知识点 问题解决策略：反思
(2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 各个点的位置如何确定
解：我们可以将圆柱的侧面展开，展开之前先标记各点或者展开之后根据点相对于剪痕的位置确定.
知识点 问题解决策略：反思
实施计划
(1)如图，将圆柱侧面剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系.
知识点 问题解决策略：反思
B
A
12
侧面展开图
12
A
18
(2)在图中标出点B的位置.
知识点 问题解决策略：反思
9
B
A'
B
A
12
侧面展开图
12
A'
A
18
(3)在图中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度.
由题可知AA'=12 cm，A'B=18÷2=9（cm），
所以AB2=AB2+AB2=122+92=225，
所以AB=15.
知识点 问题解决策略：反思
9
B
A'
12
A
回顾反思
(1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验
解：先类比以前研究过的最短路线问题，比较这些问题之间的不同点，然后根据不同点将现在研究的问题转化为之前研究过的问题(即将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题)，然后借助两点之间线段最短及勾股定理，进而解决问题.
知识点 问题解决策略：反思
(2)这个问题中，影响结果的量有哪些 如果改变有关的量，你还能求解吗 例如，改变圆柱的形状，改变A，B两点的位置，改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题
解：影响结果的量有点B的位置、蚂蚁的爬行方式等.
如点B的位置设置在BB′的处、处或处，
或将爬行路线设置为绕圆柱两圈等.
知识点 问题解决策略：反思
(3)解决这个问题的经验，还可以运用到哪些问题中 例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题
解：还可以解决蚂蚁在圆柱侧面上、楼梯表面上、正方体表面上、长方体表面上等两点之间的爬行路线最短问题.
知识点 问题解决策略：反思
归纳：
几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型
圆柱
知识点 问题解决策略：反思
台阶
归纳：
几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型
知识点 问题解决策略：反思
归纳：
几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型
棱柱
(以长方体为例)
知识点 问题解决策略：反思
归纳：
几何体侧面或表面最短路径问题
解题步骤：
将立体图形展开成平面图形→确定相关点位置→
构造直角三角形→根据勾股定理求解.
知识点 问题解决策略：反思
(4)生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离 举几个实例，并思考解决问题的方案.
解：飞机的飞行路线问题、管道和电缆铺设问题、建筑中圆柱结构装饰彩带问题等.如飞机通常沿着地球表面的大圆航线飞行，这是两点之间的最短路径.
知识点 问题解决策略：反思
跟踪训练 如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m，从A处环绕油罐建梯子梯子的顶端正好到达A点的正上方B点，问所建梯子最短需多长
知识点 问题解决策略：反思
解：连接AB′，线段AB′即为最短路线.
由圆柱的侧面展开图可知 BB′的长即为圆柱底面的周长，
剪痕AB的长即为圆柱的高，
所以BB′=24m，AB=10m.
在Rt△ABB′中，∠B=90°，
由勾股定理，得AB′2=AB2+BB′2=102+242=676，
所以AB′=26 m，
所以所建梯子最短需要 26 m.
知识点 问题解决策略：反思
1. 如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 55cm、10cm、6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少
解：如图所示，将这个台阶展成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长.
在Rt△ABC中，BC=55 cm，
AC=（10+6）×3=48（cm）.
由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=482+552=5 329.
所以AB=73 cm.
因此，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是73 cm.
2. 为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带.已知大厅圆柱的高为6m，底面周长为2m.如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米
解：将圆柱侧面展开如图所示.AB是缠绕圆柱的第一圈
彩带，由题意可知BC=×6=(m)，AC=2 m.
在Rt△ABC中，由股定理得AB2=AC2+BC2=22+() 2=6.25，
所以AB=2.5 m，所以2.5×4=10(m).
所以至少需要彩带 10 m.
3. 如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
解：作A关于EF的对称点A′，连接A′B，过点A′作A′D⊥BE于点D,则A′B即为最短距离，A′D=×32=16(cm)，BD=14-5+3=12(cm)
在Rt△A′BD中，由股定理，得
A′B2= A′D2+BD2=162+122=400，
即AB=A′B=20cm.
所以蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.
3. 如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
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反思：
求立体图形的表面上两点间的最短路径问题时，一般要把立体图形展开成合适的平面图形，然后连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线，进而借助勾股定理等进行求解.

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