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八上数学 BSD
第一章 勾股定理
章末小结
学习思路
学习内容
学习方法
直角三角形的性质
直角三角形的判定
应用
勾股定理的应用
勾股定理的逆定理
数形结合思想
勾股定理
特殊到一般
“算两次”
逆向思考
化归思想
一、勾股定理
验证方法：测量、数格子、等面积法
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
符号表示：如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2
勾股定理
A
B
C
∟
a
b
c
较长的直角边
较短的直角边
斜边
勾
股
弦
几何语言：
在Rt△ABC中 ，若∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
则a2+b2=c2.
验证方法(依据面积相等列等式进行验证)
拼接法
=
=
=
割补法
运用勾股定理解决实际问题的一般思路：
实际问题
确定所求线段在直角三角形中
抽象出几何图形
求得线段长
数学建模
确定直角边和斜边
回归
勾股定理
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AC=5，AB=13，求CD的长.
解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠DEA=90°.
因为AD平分∠BAC，所以∠1= ∠2.
在△ADC和△ADE中，
所以△ADC≌△ADE(AAS)，
所以CD=DE，AE=AC=5，
所以BE=AB-AE=13-5=8.
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得
AC2+BC2=AB2，即52+BC2=132，所以BC=12，
所以BD=BC-CD=12-CD.
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，
由勾股定理，得DE2+BE2=BD2，
即CD2+82=(12-CD) 2，所以CD=.
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AC=5，AB=13，求CD的长.
2. 如图所示，在△ABC中，AB=15 cm，AC=13 cm，BC=14 cm，求△ABC的面积.
解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC=90°.
设BD=x cm，则CD=(14-x)cm.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2=132-(14-x) 2.
所以152-x2=132-(14-x) 2，解得x=9.
所以AD2=152-92=144，即AD=12 cm.
所以S△ABC=BC·AD= ×14×12=84(cm2).
3. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m(绳子始终被拉得很直)，求旗杆的高度.
解：如图，过点C作CB⊥AD于点B.
设旗杆的高度为x m，
则AC=AD=x m，AB=(x-2)m.
在Rt△ABC中，BC=8 m，
由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，
即(x-2)2+82=x2，解得x=17.
故旗杆的高度为17 m.
二、勾股定理的逆定理
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数
内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理
勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件
结论
区别与联系 在Rt△ABC中，∠C=90°
在△ABC中，BC2+AC2=AB2
BC2+AC2=AB2
△ABC为直角三角形，且∠C=90°
常见的勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17……
注意两个条件：
(1)这三个数均为正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.
1. 在△ABC中，AB=12，BC=5，AC=13，则△ABC的面积为( )
A. 15 B. 30 C. 60 D. 78
解析：因为AB=12，BC=5，AC=13，
所以AB2=144，BC2=25，AC2=169，
因为169=25+144，所以AC2=AB2+BC2，
所以△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
所以SRt△ABC=AB·BC=×12×5=30.
B
2. 如图，MN为我国领海线，其方向为南北方向，MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切
注意.反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，
A，B两艇的距离是5海里，反走私艇B和走私
艇C的距离是12海里，若走私艇C的速度不变，
最早会在什么时候进人我国领海
解：如图，设MN与AC相交于点E，
则∠BEC=90°.
因为AB2+BC2=52+122=132=AC2，
所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°.
因为MN⊥CE，所以走私艇进入我国领海的最短距离是CE的长.
由S△ABC=AB·BC=AC·BE，得
=·BE，所以BE=海里.
在Rt△BEC中，由CE2+BE2=BC2，得
CE2+（）2=122，所以CE=海里，
所以÷13= ≈0.85(时)=51(分)，
所以走私艇C最早到达点E的时间约为10时41分.
答：走私艇C最早进入我国领海的时间约为10时41分.
3. 观察下面的表格中给出的三个数a，b，c，其中a(1)试找出它们的共同点，你对这三个数有什么猜想，并说明你的猜想；
(2)写出当a=17时，b，c的值.
3，4，5 32+42=52
5，12，13 52+122=132
7，24，25 72+242=252
9，40，41 92+402=412
… …
17，b，c 172+b2=c2
解：(1)以上各组数的共同点可以从以下方面分析：
①以上各组数均满足 a2+b2=c2；
②其中最小的数是奇数，剩下的两个数是连续的正整数；
③最小的数的平方等于另外两个连续正整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41；
……
根据以上特点，我们可猜想：
设m为大于1的奇数，则可将m2拆分为两个连续的正整数之和，
即m2=n+(n+1)(n为正整数)，且m，n，n+1是一组勾股数.
说明：因为m2=n+(n+1)(m为大于1的奇数)，
所以m2+n2=2n+1+n2，
因为(n+1) 2=n2+2n+1，
所以m2+n2=(n+1) 2，
所以 m，n，n+1是一组勾股数.
(2)当a=17时，因为172=289=144+145，
且172+1442=1452，
所以 b=144，c=145.
三、勾股定理的应用
勾股定理的逆定理
勾股定理的应用
勾股定理
判断两直线是否垂直
解决折叠问题、古文化中的数学问题
解决其他的实际问题
是直角三角形
转化
实际问题 数学问题
问题情境
几何图形
抽象
回归
解决
直角三角形
测量三角
形三边长
利用勾股定理求相关线段的长
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形
存在或构建
判定垂直
1. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙脚O处7m.
(1)这架云梯的顶端距地面有多高
解：(1)根据题意，得AB=25m，OB=7m，∠AOB=90°.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA2=AB2-OB2=252-72=576，
所以OA=24 m，
所以这架云梯的顶端距地面24 m.
1. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙脚O处7m.
(2)当云梯的底端从B处水平滑了8m到达B′处时，它的顶端从A处滑动到A′处，云梯顶端在竖直方向滑动的距离也是8m吗
(2)由题可知A′B′=AB=25 m，BB′=8 m，
所以OB′=OB+BB′=7+8=15(m).
在Rt△A′OB′中，由勾股定理，得OA′2=A′B′2-OB′2=252-152=400，
所以OA′=20 m，所以AA′=OA-OA′=24-20=4(m)，
所以云梯顶端在竖直方向滑动的距离不是8m，而是4m.
1. 一架云梯长25m，如图斜靠在一面墙上，当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙脚O处7m.
(3)若保持云梯的底端在B处不动，将云梯的顶端斜靠到另一面墙上的点C处，这两面墙平行且两者之间的距离OM为27m，如图所示，求此时这架云梯的顶端距地面的高度.
(3)因为OM=27 m，OB=7 m，所以BM=OM-OB=27-7=20(m).
在Rt△BMC中，由勾股定理，得
MC2=BC2-BM2=252-202=225，所以MC=15 m，
所以此时这架云梯的顶端距地面的高度为15m.
2. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”出自唐代诗人李颀的《古从军行》，这句诗隐含了一个有趣的数学问题：
如图，A，B两地位于河岸的同侧，两地到河边的距离分别为AC=400 m，BD=200 m，C，D之间的距离为800m.将军在观望烽火之后从A地出发到河边饮马，然后
到B地宿营，试问在何处饮马所走的
路程最短 最短路程是多少
解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，
则在点P处饮马所走的路程最短，
此时PA+PB=PA′+PB=A′B.
如图，过点A′作A′E⊥BD，交BD的延长线于点E.
在Rt△A′BE中，A′E=CD=800 m，
BE=BD+DE=BD+AC=200+400=600(m).
由勾股定理得A′B2=A′E2+BE2=8002+6002=1 0002，所以A′B=1 000 m.
答：在河边的点P处饮马所走的路程最短，最短路程是1 000m.
3. 城市绿化是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业.某区政府在临街的拐角计划建造一块绿地(阴影部分)，如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离便快速确定了∠ABC=90°.
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据.
解：(1)测量的是点A，C之间的距离，
依据是如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形.
(2)居民每天必须从点A经过点B再到点C的位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程
(2)如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=92+122=225，
即AC=15 m，
所以AB+BC-AC=9+12-15=6(m).
答：居民从点A到点C将少走6m的路程.
(3)若平均每平方米空地的绿化费用为250元，试计算绿化这片空地共需花费多少元.
(3)在△ADC中，CD=17m，AD=8m，AC=15m，
因为82+152=289=172，所以AD2+AC2=CD2，
所以△ADC是直角三角形，且∠DAC=90°，
所以S四边形ABCD=S△DAC+S△ACB=AD·AC+AB·BC=
×8×15+×9×12=114(m2)，
所以114×250=28 500(元)
答：绿化这片空地共需花费28 500元.

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