资源简介

2024-2025 学年重庆市第一中学校高二下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = 1,2,3,4,5,9 ， = + 1 ∈ ，则 ∩ =( )
A. 1,2,3 B. 3,4,9 C. 1,2,3,4 D. 2,3,4,5
2 1 1 2.已知随机变量 ， 均服从两点分布，若 ( = 1) = 3， ( = 0) = 3，且 ( = ) = 3，则 ( = 0) =( )
A. 2 1 1 43 B. 6 C. 3 D. 9
99
3.若 3 + i = + i，则 + 2 =( )
A. 2100 B. 299 C. 250 D. 249
4.从重量分别为 1，2，3，4，…，10 克的砝码(每种砝码各 2 个)中选出若干个，使其总重量恰为 9 克的方
法总数为 ，下列各式的展开式中 9的系数为 的选项是( )
A. (1 + ) 1 + 2 1 + 3 1+ 10
B. (1 + )(1 + 2 )(1 + 3 ) (1 + 10 )
C. (1 + )2 1 + 2 2 1 + 3 2 1 + 4 2 1+ 10 2
D. (1 + )2 1 + + 2 2 1 + + 2 + 3 2 1+ + 2 + + 10 2
5.已知 = ( , )| = + 2 , 1 ≤ ≤ 2,0 ≤ ≤ 1 是平面直角坐标系中的点集.设 是 中两点间距
离的最大值， 是 表示的图形的面积，则( )
A. = 3， < 1 B. = 3， > 1
C. = 10， < 1 D. = 10， > 1
C0 C1 C2 C296. 29 + 29 291×2 2×3 + 3×4+ +
29
30×31 =( )
A. 2
30 31 31B. 2 32
30
C. 2 31 2
31
D. 32930 930 870 870
7
3+ 3 3+
.已知关于 的方程 3 + + 3 + + 3 = 3 在区间(0,2)上有解，则实数 的最大值为( )
A. 6 4 6 6 69 B. 27 C. 3 D. 2
8.已知实数 ， ， ．
A.若| 2 + + | + | + 2 + | ≤ 1，则 2 + 2 + 2 < 100
B.若| 2 + + | + | 2 + – | ≤ 1，则 2 + 2 + 2 < 100
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C.若| + + 2| + | + – 2| ≤ 1，则 2 + 2 + 2 < 100
D.若| 2 + + | + | + 2– | ≤ 1，则 2 + 2 + 2 < 100
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在 重伯努利试俭中，每次试验事件 发生的概率为 (0 < < 1)，事件 发生的次数超过一半的概率为
( )，下列叙述中正确的是( )
A. 1 1若 = 2 , 为奇数时， ( ) > 2
B.若 = 12 ,
1
为偶数时， ( ) < 2
C. 1若 0 < < 2 , 为奇数时， ( )随着 的增大而增大
D. 1若 0 < < 2 , 为偶数时， ( )随着 的增大而增大
10.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上 下 左 右四个方向移动 1 个单位长度，
移动 6 次，则( )
A. 1蚂蚁始终未远离原点超过 1 个单位长度的概率是64
B. 5蚂蚁移动到点(3,3)的概率为512
C. 25蚂蚁回到原点的概率为256
D. 5蚂蚁移动到直线 = 上的概率为16
11 1.记 为数列

的前 项和，且 1 = 2 , 2 1 = 1( ≥ 2),现定义 (1) = ， ( ) = =1 (
1) ( ≥ 2)，则( )
A. 2 1 1 = 3 1 4 B. 2 (3) = 2
2 + 2 1
+1
C. ( + 2) > ( ) +
A + 1 D. ( + 2) + 1( +2)! ( + 1) = C +
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若数据 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，4，6 的方差为 5，则数据 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，
3，7 的方差为 ．
13.设整数 ≥ 4，从编号 1,2, , 的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号．若 1，2 均出现或
3，4 均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为 ．
14.已知 1,2, , 2625 ，且 中任意两个数的差的绝对值不等于 4，也不等于 9，则| |的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
从某台机器一天产出的零件中，随机抽取 10 件作为样本，测得其质量如下(单位：克)：
10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3，记样本均值为 ，样本标准差为 ．
(1)求 , ；
(2)将质量在区间 , + 内的零件定为一等品．
①估计这台机器生产的零件的一等品率；
②从样本中的一等品中随机抽取 2 件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过 0.3 克的概率 ．
16.(本小题 15 分)
2 2 3
已知 ′、 分别是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点，点 1, 2 在椭圆 上，且
′ 3的面积为2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 (4,0)的直线 与线段 相交于 ，与椭圆交于 、 两点.若 = ，求点 的坐标．
17.(本小题 15 分)
设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为 ，这些三角形的个数为 ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)在 1，2，…，100 中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率．
2 2
附：1 + 22 + 32 + … + 2 = ( +1)(2 +1)6 ；1 + 2
3 + 33 + … + 3 = ( +1)4
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e ， ∈ ．
(1)讨论 ( )零点的个数；
(2)若 ( ) > ln + 1 ，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
编号为 1,2,3, , ≥ 2, ∈ 的 个球依次被等可能地涂成黑色或白色，设编号为奇数的黑色球的个数为
，编号为偶数的白色球的个数为 ，记事件“ > ”为 , = ．
(1)求 2, 3, 3| 2 ；
(2)当 = 2 + 1 ∈ 时，求 ；
(3)当 = 2 ∈ 时，设 = + | |，证明： ( ) = 2 1 2 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5.6/285
13.11 12
14.1212
15.(1) = 110 (10.5 + 9.9 + 9.4 + 10.7 + 10.0 + 9.6 + 10.8 + 10.1 + 9.7 + 9.3) =
1
10 × 100 = 10
2 1 = 10 (10.5 10)
2 + (9.9 10)2 + (9.4 10)2 + (10.7 10)2 + (10.0 10)2 + (9.6 10)2
+ (10.8 10)2 + (10.1 10)2 + (9.7 10)2 + (9.3 10)2 = 110 × 2.5 = 0.25，所以 = 0.5．
(2)① , + = (9.5,10.5)，质量在区间(9.5,10.5)内的零件定为一等品，样本中一等品有：
9.9,10.0,9.6,10.1,9.7 5 1共 5 件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为10 = 2；
②从 5 件一等品中，抽取 2 件，分别为(9.9,10.0), (9.9,9.6), (9.9,10.1), (9.9,9.7), (10.0,9.6)，
(10.0,10.1), (10.0,9.7), (9.6,10.1), (9.6,9.7), (10.1,9.7)，共 10 种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对
值不超过 0.3 克的情况为：(9.9,10.0), (9.9,9.6), (9.9,10.1), (9.9,9.7)，(10.0,10.1), (10.0,9.7), (9.6,9.7)共 7 种，
7
这两件产品质量之差的绝对值不超过 0.3 克的概率 = 10．
16.(1)由 ′ 3 1 3的面积为2，得2 × 2 × 2 =
3
2，解得 = 1，所以
2 2 = 1①，
3 2
3 1
又因为点 1, 2 在椭圆 上，所以 2 +
2
2 = 1②，
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2 = 4
2 2
联立①②解得 2 ，所以椭圆 的标准方程为 4 +

3 = 1 = 3
(2)
= + 4
设 ( 1, 1), ( 2, 2), : = + 4，联立方程 2 +
2 ,
4 3 = 1
消 得：(3 2 + 4) 2 + 24 + 36 = 0，直线 与线段 交于 点，则 < 2，
+ = 24 36所以 1 2 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4 ,
+ = 1 + 2 = 1 + 2 1 1 2 1 1+3 2+3
36 24 ，所以∠ = ∠ ，
= 3 1 2+3( 1+ )
3 +3
2 3 2+4 3 2+4
( 2+3)( 1+3)
= ( 2+3)(
= 0
1+3)
= | || | = | || | | | = | |由 得： ，即| | | |，又∠ = ∠ ．
所以 △ ，所以∠ = ∠ ，则 ，
所以∠ = ∠ ，又∠ = ∠ ，
所以∠ = ∠ = ∠ ，所以| | = | |，
3
所以 为线段 的中垂线 = 4与椭圆的交点，
= 34 =
13
2 =
13
由 2 2 2 ，解得： 3或 3 ,
4 + 3 = 1 = 4 = 4
13 3 13 3
因此， 的坐标为( 2 , 4 )或( 2 , 4 )
17.(1)设 ， ， 为满足题意的三角形的边长，不妨设 < < ，则 + > ．
由题意知： 1 = 2 = 3 = 0，
当 ≥ 4 时，且 为偶数时，若 ≤ 2，三角形不存在，
= + 1 = 若 2 ， 2，
若 = 2 + 2， =

2 1,

2 ,

2 + 1．
…，
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若 = 1， = 2，3，…， 2，
2
所以： = 1 + 3 + … + ( 3) = ( 2)4 ．
同理，当 > 4 时，且 为奇数时，可得： = 2 + 4 + + ( 3) =
( 1)( 3)
4 ，
0 ( = 1,2,3)
( 2)2
所以数列{ }的通项公式为 = 4 ( ≥ 4,且 为偶数)．
( 1)( 3)
4 ( ≥ 4,且 为奇数)
(2) 1 1根据求和公式 = 2 2 2100 4 2 + 4 + + 98 + 4 (2 × 4 + 4 × 6 + + 96 × 98)，
1
= 22 + 42 2
1
4 + + 98 +
2 2 2
4 3 1 + 5 1 + + 97 1
1
= 4 1
2 + 22 + 32 + 42 + 52 + + 972 + 982 49
= 1 98×99×1974 6 49 = 79625，
65
所求的概率为 100 = ．
3100 132
18.(1) ( ) = 0 时， = e ，
令 ( ) = e ，则 ′( ) = ( + 1)e ，
所以， < 1 时， ′( ) < 0, ( )在( ∞, 1)上单调递减，
> 1 时， ′( ) > 0, ( )在( 1, + ∞)上单调递增，
又 < 0 时， ( ) < 0, → ∞时， ( ) → 0， = 1 ( ) = ( 1) = 1时， min e，
→+∞时， ( ) →+∞，
1
所以，①当 < e时， ( )无零点，
② = 1e或 ≥ 0 时， ( )有 1 个零点，
1
③当 e < < 0 时， ( )有 2 个零点．
(2)当 ≤ 0 时，由 > 0 得 ( ) > 0，
所以，| ( )| > (ln + 1)等价于 e > (ln + 1)对 ∈ (0, + ∞)恒成立．
e > ln + 1即 + 1 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
令 ( ) = ln + 1 + 1, > 0，则
′( ) = 1 2 ，
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当 ∈ (0,1), ′( ) < 0，当 ∈ (1, + ∞), ′( ) > 0，
∴ ( )在(0,1)内单调递减，在(1, + ∞)内单调递增，
∴ ( ) ≥ (1) = 2，又e > 0
∴ e > ln + 1 + 1 对 ∈ (0, + ∞)恒成立
所以， ≤ 0 时成立，
当 > 0, ∈ 0, 1e 时， (ln + 1) < 0，显然成立．
当 > 0, ∈ 1e , + ∞ 时，
| ( )| > (ln + 1)等价于 e > (ln + 1)或 e < (ln + 1)，
e 1 e
即 > ln + + 1 或 < ln +
1
1
e 1
对于 < ln + 1，取 = 1
e
，得 < 0，与 > 0 矛盾，故不成立，
ln +1e +1
对于 > ln +
1
+ 1
1 1
，即 > e ，对 ∈ e , + ∞ 恒成立，
1
ln +1+1 1 ln 1
令 ( ) = ′e , ∈ e , + ∞ ，则 ( ) =
2
e < 0，
∴ ( ) 1在 e , + ∞ 内单调递减，
∴ ( ) ≤ 1 1
1 1
= e ，所以，0 < < e 1e ，
1
综上，实数 的取值范围是 ∞, e 1 ．
19.(1) 1记事件“编号为 的球被涂黑色”为 ，则 = 2
2 = 1 2，且 1,
1
2相互独立，所以 2 = 2 = 4，
同理，可得 3 = 1 2 3 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3 ∪ 1 2 3，
= 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 1 + 1 × 1 × 1 + 1 × 1 1所以 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 × 2
事件 2 3 = 1 2 3 ∪ 1 2 3，
所以 2 =
1 1 1 1 1 1 1
3 2 2 2 + 2 2 2 = 4，
| = 2 故 33 2 = 1．2
(2)记事件“编号为奇数的 + 1 个球中，被涂成黑色的球的个数为 ”为 ，
事件“编号为偶数的 个球中，被涂成白色的球的个数小于 ”为 ，
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则 2 +1 = 1 1 ∪ 2 2 ∪ ∪ +1 +1，
且 1 1, 2 2, , +1 +1两两互斥，
所以 2 +1 = 2 +1 = 1 1 ∪ 2 2 ∪ ∪ +1 +1
设 = C1 0 +1C + + C +1 C0 + C1 + + C 1 0 1 + + C +1 C + + C ，
则 = C1 0 1 +1 C + + C + + C
+1 0 1
+1 C + C + + C
1
+ + C 0 +1C ，
故 2 = C1 + + C + + C C0 + + C 1 + C = 2 +1 +1 +1 +1 2 2 ，
2
从而 = 2 2 1
2 2 +2 1
，所以 2 +1 = 22 +1 = 2．
(3)设 = ，则 可取 0, ± 1, ± 2, , ± ，故 可取 , + 1, + 2, , 2 ，
根据对称性 ( = ) = ( = ), = 1,2, , ，
C0C +C1C +1+ +C
且 ( = ) =
C
22 ，
根据组合数的对称性C = C , = 1,2, , ，
C C +C 1 +1 C + +C
C C
+
可得 ( = ) = = 2 22 22 ，
因为(1 + )2 展开式中 + 的系数为C + 2 ，
(1 + ) (1 + ) 展开式中 + 的系数为C C + C 1 +1 C + + C
C ，
故C C + C 1C +1 + + C C = C + 2 ，
C +
故 ( = ) = 2 22
从而 ( ) = ( = ) + ( + 1) ( = + 1) + + (2 ) ( = 2 )，
2C +
整理，得 ( ) = ( = ) + ( + ) 2 =1 22
2
= ( = ) + 2 ( + )C
+
2 2
=1
又 C =
( 1)( 2) ( +1)
!
= ( 1)( 2) ( 1) ( 1)+1( 1)! = C
1
1，
所以 C = C 1 1，
所以 ( ) = ( = ) + 2×2 22
+ 1
=1 C2 1 = ( = ) +
+ 1
22 1 =1 2C2 1 ，
又 + 1 +1 2 1 =1 2C2 1 = 2 C2 1 + C2 1 + + C2 1
= C02 1 + C1 1 2 1 + + C2 1 + C2 1 + C
+1
2 1 + + C
2 1
2 1
根据C0 + C1 + … + C = 2 ，可得
+ 1 2 1
=1 2C2 1 = 2 ．
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可得 ( ) = ( = ) + 22 122 1 = ( = ) + ．
记“偶数号白球个数与奇数号黑球个数相等”为事件 2 ，其概率为 2
由(2)知 2 = | | = 0 = ( = )，所以 ( ) = 2 + ，
又由(2)知 2 2 + 2 = 1，可得 2 = 1 2 2 ，
所以 ( ) = 1 2 2 + = 2 1 2
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