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第二章 实数
八上数学 BSD
课时2 实数及相关概念
2.1 认识实数
1.了解无理数的概念，会判断一个数是不是无理数.
2.了解实数的概念，类比有理数，能按要求对实数进行分类.
3.了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值.
4.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，并能比较两个实数的大小.
问题 不是有理数的数都是无限不循环小数吗?
把下列有理数表示成小数，你发现了什么共同特征?
3，45，59，-845，211.
?
3=3.0，45=0.8，59 =0.5，-845 =0.17，211 =0.18.
?
.
.
. .
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
知识点1 无理数
那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，
无限不循环小数不是有理数.
无限不循环小数称为无理数.
无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.
知识点1 无理数
上一节课得到的a2=2,b2=5中，a,b都是无理数.
还有我们十分熟悉的圆周率π=3.141 592 65...也是一个无理数.
再如0.585 885 888 588 885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，
也是无理数.
知识点1 无理数
例1 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数?
3.14，-43，0.57，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
解：有理数有：3.14，-43，0.57.
无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).
?
知识点1 无理数
(1)π及化简后含π的数，如π2，π+1等；
(2)具有特殊结构的数，如0.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1 )；
(3)开方开不尽的数的方根，如3，35等.（下节课学）
?
常见的无理数的三种形式
知识点1 无理数
跟踪训练 下列各数：3.1415926，17，1.212212221...(相邻的两个1之间依次多一个2)，2-π，-2032中，无理数的个数为______.
?
解析：根据无理数的定义可知1.212 212 221...(相邻的两个1之间2的个数逐次加1) ，2-π是无理数.
2
知识点1 无理数
有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数.
知识点2 实数
注意：(1)在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数.
(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究问题或计算时，若没有特殊说明，则应在实数范围内进行.
思考 无理数和有理数一样，也有正负之分.
(1)请你把3.14，－43，0.57，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)填入下面相应的集合内.
?
正数集合
3.14，0.57，
0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)
…
?
负数集合
－43
…
?
知识点2 实数
(2)还记得有理数的分类方法吗?你能用类似的方法对实数进行分类吗?
①按概念分类：
实数
有理数
无理数
正整数
负整数
0
正无理数
负无理数
整数
分数
正分数
负分数
知识点2 实数
(2)按正负性分类：
实数
正实数
负实数
正有理数
正无理数
0
负有理数
负无理数
正整数
正分数
负整数
负分数
知识点2 实数
跟踪训练 把下列各数填入相应的集合内.
0，15，0.43，-π3，2，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，-|-3|，-127，3.14，10.
(1)非负有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{
…}；
(4)负实数集合：{ …}；
?
0，15，0.43，2，3.14，10
?
-π3，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
?
知识点2 实数
15，0.43，2，3.010 010 001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，3.14，10
?
-π3，-|-3|，-127
?
知识点3 实数的相关概念
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
{BDBED569-4797-4DF1-A0F4-6AAB3CD982D8}
表示
性质
相反数
实数a的相反数是-a
a，b互为相反数 a+b=0
绝对值
实数a的绝对值是|a|
|a|=a，(a>0)0，(a=0)?a，(a<0)?
倒数
非零实数a的倒数为1a
a，b互为倒数 ab=1
{BDBED569-4797-4DF1-A0F4-6AAB3CD982D8}
表示
性质
相反数
实数a的相反数是-a
a，b互为相反数 a+b=0
绝对值
实数a的绝对值是|a|
倒数
a，b互为倒数 ab=1
思考
(1)2相反数是_____，-π的相反数是_____，0的相反数是_____；
(2)|2|=_____，|-π|=_____，|0|=_____.
?
?2
?
π
0
2
?
π
0
知识点3 实数的相关概念
思考 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间要如何计算？
知识点4 实数的运算
实数的运算:
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
例2 计算:-12024+(12)-2-(π-3.14)0.
解:(1)原式=-1+4-1=2.
?
知识点4 实数的运算
思考 前面课程讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2=2，b2=5.
(1)如图，OA=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数?
因为OA2=OB2=12+12=2=a2，
所以OA=a，所以点A 即为无理数a在数轴上对应的点.
知识点5 实数与数轴上点的关系
(2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗?
能.实数b在数轴上对应的点为点C，如图所示.
知识点5 实数与数轴上点的关系
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，
从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上
的一点由原点O到达点O′，点 O′对应的数π.
知识点5 实数与数轴上点的关系
看一看如何在数轴上表示π？
事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
实数和数轴上的点一 一对应
知识点5 实数与数轴上点的关系
跟踪训练 下列说法正确的有( )
①数轴上任意一点都表示一个有理数；②任意一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；③任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；④有理数与数轴上的点一一对应.
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个
B
知识点5 实数与数轴上点的关系
1.把下列各数分别填在相应的集合里：
0.125，π，-24，0，10099，-5.12， 0.131 333 133 333 1…(相邻两个1之间3的个数逐次加2).
?
负实数：
…
无理数：
…
非负有理数：
…
π， 0.131 333 133 333 1…(相邻两个1之间3的个数逐次加2)
0.125?，0，10099
?
-24，-5.12
2. 将-2，13，0，-π与图中数轴上标有字母的点对应起来，
并用“<”连接这些数.
?
解:-2对应点B，13对应点D，
0对应点C，-π对应点A.
由图可知-π<-2<0<13.
?
3. 计算: (?12)2×π+(2π)-1+|1?π|÷(?2).
解:原式= 14×π+π2+(π?1)÷(?2)
= π4+π2?π?12
= π4+2π4?2π?24
= π+2π?2π+2?4
???????????????= π+24.
?
4. 已知b2=5，且b<0，请在数轴上画出表示实数b的点，且比较b与-3的大小.
解:b2=5=1+4=12+22，
先在数轴上构造直角边长分别为1，2的直角三角形，然后以原点为圆心，该直角三角形的斜边为半径画弧，与数轴相交于点A，则点A即为表示实数b的点，如图所示。
点A在表示-3的点的右边，所以b>-3.
实数
按概念分类：有理数、无理数
无理数：无限不循环小数
有理数和无理数统称实数
分类
概念
按正负性分类：正实数、0、负实数
相反数、倒数、绝对值
相关概念
与有理数一样能进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则、运算律对实数仍然适用
实数和数轴上的点是一一对应的
运算
性质

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