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第二章 实数
八上数学 BSD
课时1 算术平方根
2.2 平方根与立方根
1. 了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根，知道0的算术平方根是0；
2. 了解算术平方根的非负性.
问题 根据下图填空：
x2＝____，y2＝____，
z2＝____，w2＝____．
2
3
4
5
思考
x，y，z，w 中哪些是有理数，哪些是无理数 你能表示它们吗
z是有理数，x，y，w 是无理数.
x2＝____，y2＝____，
z2＝____，w2＝____．
2
3
4
5
知识点1 算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作,读作“根号a”.
特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即=0.
知识点1 算术平方根
根号
被开方数
a的算术平方根
知识点1 算术平方根
举例：32=9，所以9的算术平方根是3.
在x2＝2，y2＝3，z2＝4，w2＝5中，正数x，y，z，w 可表示为x=，y= ，z=2，w= .
例1 求下列各数的算术平方根：
(1)900；(2)1；(3) ；(4)14.
解：(1)因为 302=900，所以900的算术平方根是30，即=30；
(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即=1；
(3)因为() 2= ，所以的算术平方根是，即= ；
(4)14的算术平方根是.
知识点1 算术平方根
跟踪训练 求下列各数的算术平方根：
(1)0.64； (2)； (3)(-9)2.
解：(1)=0.8；
(2)=；
(3)=9.
为什么不是-9呢？
知识点1 算术平方根
思考
(1)在上面例1中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点
这些数都是平方数.
=30；=1；= ；
14的算术平方根是.
知识点2 算术平方根的性质
是什么数？其中a可以取任何数吗？
a 的算术平方根
≥0，是非负数
a≥0，被开方数a是非负数
算术平方根的双重非负性
知识点2 算术平方根的性质
(2)在上面例1中，=30，也就是=30.一般地，当a≥0时，=a成立吗 a<0时，=a还成立吗
当a≥0时，=a；当a<0时，=-a.
即对于任意数a，=|a|.
知识点2 算术平方根的性质
=9
(3)()=a成立吗 这里的a是什么数
负数没有算术平方根，被开方数a是非负数.
当a≥0时，() =a
知识点2 算术平方根的性质
辨析 ()与的相同点与不同点
()
表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示数a的平方的算术平方根
包含的运算顺序 先求算术平方根再平方 先平方再求算术平方根
a的取值范围 a≥0 a为任意数
结果的表达形式 () =a(a≥0) =|a|
知识点2 算术平方根的性质
()与的相同点与不同点
相同点 ()和的结果都是非负数，
且当a≥0时，()=
知识点2 算术平方根的性质
例1 由静止自由下落的物体下落的距离s(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系为s=4.9t2.有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间
解：将s=19.6代入公式s=4.9t2，
得t2=4，
所以t==2.
因此，铁球到达地面需要2 s.
知识点2 算术平方根的性质
1. 求下列各数的算术平方根：
36，，17，0.81，.
答：6， .
2. 若|a-1|+ +(c+4) =0，则(a+b+c) = .
-1
几个非负数的和为0 每个非负数都为0 结果
转化
计算
解析：|a-1|+ +(c+4) =0，|a-1| ≥0， ≥0，(c+4) ≥0，
所以|a-1| =0， =0，(c+4) =0，
所以a-1=0，b-2=0，c+4=0，
所以a=1，b=2，c=-4,
所以(a+b+c) =(1+2-4) =(-1) =-1.
思路引导：
3. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=5，求 AB 的长.
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=5,
由勾股定理，得，
4. 如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子 AC固定帐篷.若绳子的长度为8 m，地面固定点C到帐篷支撑竿底部 B 的距离是 6.4 m，则帐篷支撑竿的高是多少？
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8m,BC=6.4m,由勾股定理，得
所以帐篷支撑竿的高是4.8 m.
A
B
C
算术平方根
性质
定义
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根.
1.负数没有算术平方根.
2.具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0；
② 是非负数，即≥0.
3.当a≥0 时， =a，() =a；
当a<0时，=-a.

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