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第二章 实数
八上数学BSD
课时2 平方根
2.2 平方根与立方根
1. 了解平方根的概念，并理解平方与开平方互为逆运算.
2. 知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.
问题 (1)3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗
-3的平方也是9.
(2)平方等于的数有几个 平方等于0.64的数呢
平方等于的数有两个，是±；
平方等于0.64的数也有两个，是±0.8.
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）.

例如：3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.
知识点 平方根
思考 (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点
知识点 平方根
平方根 算术平方根
区别 定义
个数
结果
一般地，如果一个数x的平方等于 a，即x2=a那么这个数x叫做 a 的平方根或二次方根.
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根.
一个正数的平方根有两个.
一个正数的算术平方根只有一个.
正数的平方根一正一负.
正数的算术平方根一定是正数.
平方根与算术平方根的联系
平方根 算术平方根
联系 具有包含关系 存在条件相同 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的平方根.
只有非负数才有平方根和算术平方根.
知识点 平方根
思考
(2)一个正数有几个平方根 0有几个平方根 负数呢
知识点 平方根
平方根的性质：
1.一个正数有两个平方根（它们互为相反数）；
2.0只有一个平方根，它是0本身；
3.负数没有平方根.
根号
被开方数
（a 是非负数）
读作“正、负根号 a”
正平方根：
负平方根：
读作“根号 a”
读作“负根号 a”
知识点 平方根
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是-,它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作：
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数.
知识点 平方根
+1
-1
+2
-2
+3
-3
平方
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
观察下图，你发现了什么
平方与开平方互为逆运算
想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它
知识点 平方根
例1 求下列各数的平方根：
(1)64；(2) ；(3)0.000 4；(4)(-25)2；(5)11.
解：(1)因为(±8)2=64，
所以64的平方根是±8，即±=±8；
(2)因为(±)2=，
所以的平方根是±，即±=±；
(3)因为(±0.02)2=0.000 4，
所以0.000 4的平方根是±0.02，即±=±0.02；
知识点 平方根
例1 求下列各数的平方根：
(1)64；(2) ；(3)0.000 4；(4)(-25)2；(5)11.
解：(4)因为(±25)2=(-25)2，
所以(-25)2的平方根是±25，即±=±25；
(5)因为(±)2=11，
所以11的平方根是±.
知识点 平方根
跟踪训练 下列各数有平方根吗
(1) 0.36； (2) -5； (3) (-4)2.
解：(1)因为0.36是正数，
所以0.36有两个平方根，即±=±0.6.
(2)因为-5是负数，所以-5没有平方根；
(3)因为(-4)2=16是正数，
所以(-4)2有两个平方根，即±=±4.
知识点 平方根
例2 求下列各式的值：
(1) ；(2) -；(3) .
解：(1) = =15；
(2) -= -=- ；
(3) =8.
知识点 平方根
1. 求下列各数的平方根：
1.44，0，8，，441，196，10-4.
解：因为(±1.2)2=1.44，所以1.44的平方根是±1.2，即±=±1.2；
0的平方根是0；
8的平方根是±；
因为(±)2=，所以的平方根是±，即±=±；
1. 求下列各数的平方根：
1.44，0，8，，441，196，10-4.
解：因为(±21)2=441，所以441的平方根是±21，即±=±21；
因为(±14)2=196，所以196的平方根是±14，即±=±14；
因为(±10-2)2=10-4，所以10-4的平方根是±10-2，
即±=±10-2；
2. 填空：
(1) 25的平方根是 ； (2) = ；
(3) ()2= ； (4) -()2 = .
5
5
-5
±5
3. 当a=5，b=12时，求的值.
解： == =13.
解：因为一个正数的两个平方根是2a-1和a-5，
则有(2a-1)+(a-5)=0，
解得a=2.
所以2a-1=3，
所以这个正数为32=9.
4. 已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，求这个正数.
互为相反数
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x =a，那么这个数x叫作a的平方根（也叫作二次方根）.
±（a≥0）
表示
(1)一个正数有两个平方根（它们互为相反数）；
(2)0只有一个平方根，它是0本身；
(3)负数没有平方根.
开平方（开平方与平方互为逆运算）
运算
概念
性质

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