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第二章 实数
八上数学 BSD
课时3 立方根
2.2 平方根与立方根
1.了解立方根的概念，知道立方根的性质.
2. 知道平方根与立方根的联系与区别.
3. 会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求一个数的立方根.
问题 如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成.假如要制作一个体积为216 cm3的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少?
设每个小正方体的棱长是a cm，
则(3a)3=216，即a3= 21627=8.
?
此时 a 的值为多少呢？
因为23=8，
所以a=2 cm.
?
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根（也叫作三次方根）.
例如，2 是____的立方根，-23是____的立方根，
0是____的立方根．
?
8
-827
?
知识点 立方根
0
思考
(1)一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢?
一个数的立方根只有一个.
知识点 立方根
(2)求8，0，-27的立方根，
8的立方根是2，0的立方根是0，-27的立方根是-3.
(3)正数有几个立方根?0有几个立方根?负数呢?
(3)正数、0、负数的立方根都只有一个，
每个数a都有一个立方根，记作“3????”，读作“三次根号a”.
?
a 是被开方数
3 是根指数
注意：这个根指数3不能省略！
例如：当x3=7时，x是7的立方根，即x=37；
而23=8，2是8的立方根，即38=2，
?
知识点 立方根
仿照平方根的表示方法，如何表示立方根？
立方根的性质：
正数的立方根是正数，
0的立方根是0，
负数的立方根是负数.
知识点 立方根
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.
类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作开立方.（a叫作被开方数）
知识点 立方根
例1 求下列各数的立方根：
(1)-27；(2)8125；(3)0.216；(4)-5，
解：(1)因为(?3)3?=-27，所以-27的立方根是-3，即3?27=-3；
(2)因为(25)3= 8125?，所以8125的立方根是25，即38125?=25；
(3)因为0.63?=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即30.216?=0.6；
(4)-5的立方根是3?5.
?
知识点 立方根
跟踪训练 判断下列说法是否正确：
2 是 8 的立方根 ；
±4 是 64 的立方根 ；
(3) ?13 是 ?127 的立方根 ；
(4) (-4)3 的立方根是 -4 .
?
4
知识点 立方根
思考
(1)在例1中，一些数的立方根的结果没有?“3?????”了，这些数有什么特点?
这些数都是立方数.
?
知识点 立方根
3?27=-3；38125?=25； 30.216?=0.6；
-5的立方根是3?5.
?
(2)在例1中，3?27=-3，也就是3(?3)3=-3.一般地， 3a3?=a成立吗？
?
知识点 立方根
3(3)3=3，3(0)3=0，
?
3a3?=a成立.
?
(3) (3a)3 =a 成立吗?
?
(38)3 =8，(3-8)3 =-8，(30)3 =0，
?
3a3?=a，(3a)3 =a.
?
(3a)3 =a成立.
?
例2 求下列各式的值：
(1) 3?8；(2) 30.064；(3) -38125；(4) (39)3.
解：(1) 3?8?= 3(?2)3?=-2；
(2) 30.064?= 30.43?=0.4；
(3) -38125?= -3(25)3?=-25；
(4) (39)3 =9，
?
知识点 立方根
平方根
立方根
不同点
性
质
正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围

两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
可以为任意实数
非负数
±a
?
平方根与立方根的不同点
3????
?
知识点 立方根
平方根
立方根
相同点
运算关系
0 的开方
都与相应的乘方运算互为逆运算.
0 的平方根与立方根都是 0.
平方根与立方根的相同点
知识点 立方根
1. 求下列各数的立方根：
(1)-216； (2)12564； (3) 133； (4) -0.008.
?
解：(1) 3?216=-6；
(2)312564=54；
(3)3133=13；
(4)3?0.008 =-0.2.
?
2. 求下列各式的值：
30.008， 3?64， 353，(316)3，
解：30.008?= 30.23?=0.2；
3?64?= 3(?4)3=-4；
353?=5；
(316)3 =16.
?
3. 64的立方根是_____.
?
2
注意： 64?是64的算术平方根，即8，需要先计算出结果再求其立方根.
?
4. 一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少?
解：设这个正方体的棱长为x cm，
根据题意，得x3=8×33，即x3=216，
因为63=216，所以x=6，
所以这个正方体的棱长为6 cm，
立方根
性质
表示
定义
如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根（也叫作三次方根）.
正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数；
一个数a的立方根记为“3????”，读作“三次根号a”.
?
3a3?=a，(3a)3 =a.

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