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第二章 实数
八上数学 BSD
课时4 无理数的大小
2.2 平方根与立方根
1.能通过估算检验计算结果的合理性，能用有理数估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小；
2.会用计算器求平方根和立方根，并能探求数学中的规律.
问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.
S=400000
(1)公园的宽大约是多少 它有1 000 m吗
(1)设公园的宽为x m，则长为2x m.
根据题意，得2x2=400 000，即x2 =200 000，
因为5002=250 000，所以x≈500.
故公园的宽大约是500 m，没有1 000 m大.
问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.
知识点1 估算无理数的大小
问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.
知识点1 估算无理数的大小
(2)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少
(2)因为4502=202 500，4452=198 025，
所以445＜x＜450，所以x≈450，
所以结果精确到10 m，它的宽大约是450 m.
(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800m2，你能估计它的半径吗(结果精确到1m)
(3)设圆形花圃的半径为r m.
根据题意，得πr2=800，即r2=，
因为152=225，162=256，所以15＜r＜16，所以r≈16.
估计它的半径是16 m.
知识点1 估算无理数的大小
问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.
思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？
≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 .
≈ 0.066不正确.
因为 0.36<0.43<0.49，
所以0.62<0.43<0.72，
所以在0.6和0.7 之间，不可能是 0.066 .
知识点1 估算无理数的大小
思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？
≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 .
≈96不正确.
因为 729<900<1 000，
所以93<900<103，
所以在9和10之间，不可能是96.
知识点1 估算无理数的大小
思考 (1)下列结果正确吗？你是怎样判断的？
≈ 0.066； ≈96； ≈ 60.4 .
≈ 60.4不正确.
因为2 500 <2 536 <2 601，
所以 502<2 536 <512，
所以在 50 和51 之间，不可能是 60.4 .
知识点1 估算无理数的大小
(2)你能估算的大小吗(结果精确到1)
因为 729<900<1 000，所以93<900<103，所以9<<10.
又因为 9.63<900 <9.73，所以9.6<<9.7，所以 ≈10.
知识点1 估算无理数的大小
要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”.
例1 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约
为梯子长度的，则梯子比较稳定.如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗
知识点1 估算无理数的大小
解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的.
根据勾股定理，有x2+(6) 2=62，
即 x2=32，x= .
因为5.62=31.36<32，所以>5.6.
因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能
抵达5.6 m高的墙头.
知识点1 估算无理数的大小
例1 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约
为梯子长度的，则梯子比较稳定.如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗
跟踪训练的值在( )
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
解析：因为16<24<25，所以<<，
即4<<5.
故的值在4和5之间.
C
知识点1 估算无理数的大小
除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算.
知识点2 用计算器进行开方运算
尝试·思考
(1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键
用计算器求下列各式的值：
(1) (2) (结果精确到0.0001)
解：(1)依次按键 ，显示2.426 932 22，
得到 = 2.426 9.
5
.
8
9
知识点2 用计算器进行开方运算
(2)依次按键 ，显示10.871 789 69，
所以 = -10.871 8.
-
1
2
8
5
(2)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算，随着开方次数的增加，结果有什么规律吗？
用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律.
(2)不管是很大的正数，还是小于1的正数，随着开方次数的增加，所得结果都不断趋近于1.
知识点2 用计算器进行开方运算
跟踪训练 利用计算器比较和的大小.
解：按键： ，显示 1.442 249 57.
按键： ，显示1.414 213 562.
所以， >.
知识点2 用计算器进行开方运算
1. 估算下列各数的大小.
(1)(结果精确到0.1) ，(2) (结果精确到1).
解：(1)因为3.62=12.96，3.72 = 13.69 ，
12.96<13.6< 13.69
所以3.6< <3.7.
又3.682<13.6<3.692，
所以3.68< <3.69，
所以3.7.
1. 估算下列各数的大小.
(1)(结果精确到0.1) ，(2) (结果精确到1).
(2)因为93=729，103=1000，
729<800<1000，
所以9< <10，
又9.23<800<9.33，
所以9.2< <9.3，
所以 9.
2. 通过估算，比较与2.5的大小.
解：因为() 2=6，2.52=6.25，6<6.25，
所以() 2<2.52，
所以<2.5.
3. 用计算器计算：
(1) (2) （精确到 0.01）
(1)按键顺序： ，
7
=
2
2
5
显示：85.
所以=85.
(2)按键顺序： ，
1
=
2
显示：3.464 101 615.
所以3.46.
4. 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3：2.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗
关键要看正方形的边长是否比长方形的各边都长
4. 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3：2.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.
根据边长与面积的关系，得3x·2x=300，即x=.
所以长方形纸片的长为3cm.
因为 50>49，所以>7，
所以3>21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.
解：因为=20，所以正方形纸片的边长只有20cm，
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片.
4. 小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3：2.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗
估算
要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”.
估算无理数的大小并比较大小
用计算器进行开方运算
无理数的大小

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