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第二章 实数
八上数学 BSD
课时1 二次根式及乘除运算法则
2.3 二次根式
1．了解二次根式的概念.
2．掌握二次根式的乘除法法则.
问题 观察下列代数式：
， ， ，， (其中b=24，c=25).
这些式子它们有什么共同特征呢
它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数.
一般地，形如(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
，，(a≥0)都是二次根式.
二次根式的
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”；
②内在特征：被开方数a≥0.
知识点1 二次根式的概念
二次根式的被开方数a可以是一个非负数，也可以是一个非负的代数式，如(其中m-1≥0即m≥1).
一般地，形如(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
，，(a≥0)都是二次根式.
知识点1 二次根式的概念
跟踪训练 判断下列各式是否一定为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2)；(3) ；(4) +1(a≥0).
解：(1)不是. 因为的根指数是3，所以不是二次根式.
(2)是. 因为不论x为何值，都有+1>0，且的根指数为2，
所以是二次根式.
知识点1 二次根式的概念
跟踪训练 判断下列各式是否一定为二次根式，并说明理由．
(1) ；(2)；(3) ；(4) +1(a≥0).
(3)不一定是. 当-5a ≥0，即a≤0时， 是二次根式；
当a>0时，-5a<0，则不是二次根式.
所以不一定是二次根式.
(4)不是. +1(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式.
知识点1 二次根式的概念
(1)计算下列各式，你能得到什么猜想
= ， = ；= ， = ；
= ，= ；= ，= .
6
6
猜想：
两个正数算术平方根的积（商）等于这两个数积（商）的算术平方根.
知识点2 二次根式的乘除法法则
思考
20
20
(2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证.
与， 与.
相等
相等
知识点2 二次根式的乘除法法则
(3)用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗
· = (a≥0，b≥0)，=(a≥0，b>0).
m， =n，
则m =a，n =b，
所以m n =ab，即(mn) =ab，
所以mn= ，
所以· = .
可证=
知识点2 二次根式的乘除法法则
二次根式的乘法法则和除法法则
· = (a≥0，b≥0)，=(a≥0，b>0).
知识点2 二次根式的乘除法法则
例1 计算：(1) ×； (2) .
解： (1) ×= = =2；
(2) = = = =3.
知识点2 二次根式的乘除法法则
注意：化简时，被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.
例2 计算：
(1) 3×2；(2) ×-5；(3)(+1)2；
(4) (+3)(-3)；(5) (-)×；(6) .
解：(1) 3×2= 3= 3=6；
(2) ×-5= -5 = -5 =6-5=1；
(3) (+1)2= ()2+2+12 =5+2+1 = 6+2；
知识点2 二次根式的乘除法法则
例2 计算：
(1) 3×2；(2) ×-5；(3)(+1)2；
(4) (+3)(-3)；(5) (-)×；(6) .
解：(4) (+3)(-3) = ()2-32 =13-9=4；
(5) (-)×= ×-= -=6-1=5；
(6) = + ==2+3=5.
知识点2 二次根式的乘除法法则
1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
C
2. 计算：
(1) ×； (2) (1+)(2-)；
解：(1) ×= = = ；
(2) (1+)(2-)= 2-+2-3=-1+；
2. 计算：
(3) (2-1)2； (4) (+)×；
解：(3) (2-1)2= (2)2-2×2+12 =13-4；
(4) (+)×= ×+= +=9+1=10；
2. 计算：
(5) ； (6) (-)×.
解：(5) = - = -= =3-2=1；
(6) (-)×= ×-×=-=3- = - .
二次根式
· = (a≥0，b≥0)，
=(a≥0，b>0).
一般地，形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数.
乘除运算法则
定义

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