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第二章 实数
八上数学 BSD
课时2 二次根式的性质、加减运算
2.3 二次根式
1．掌握二次根式的性质.
2．能将二次根式(根号下仅限于数)化为最简二次根式.
3．会进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算.
问题 前面我们学习了，二次根式的乘除法法则.
若将· = (a≥0，b≥0)，=(a≥0，b>0)
等号的左边与右边交换，就得到
=· (a≥0，b≥0)， =(a≥0，b>0)，
以上等式是否依然成立？
=· (a≥0，b≥0)， =(a≥0，b>0).
积的算术平方根=各因数(式)算术平方根的积，
商的算术平方根=各因数(式)算术平方根的商.
知识点1 二次根式的性质
二次根式的性质有什么作用呢？
利用二次根式的性质可将根号内含有开得尽方的数开方到根号外.
如化简.
= = ×=10.
知识点1 二次根式的性质
例1 化简：
(1) ； (2) ；(3) .
解：(1) = ×= 9×8= 72；
(2) = ×=5；
(3) = = .
知识点1 二次根式的性质
被开方数中都不含分母，
也不含能开得尽方的因数
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式.
知识点2 最简二次根式
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
例2 化简：
(1) ； (2) ；(3) .
解：(1) = = = 5；
(2) = = = ；
(3) = = = .
5是哪个数的算术平方根
知识点2 最简二次根式
思考
(1)你是怎么发现含有开得尽方的因数的 你是怎么判断是最简二次根式的
因为被开方数50可写成25×2的形式，25=52，即25是一个完全平方数，是能开得尽方的因数.
中根号内不含有能开得尽方的因数，分母中又不含根号，
所以是最简二次根式.
知识点2 最简二次根式
(2)将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会
①要找准被开方数是否有开得尽方的因数或者被开方数是否含有分母；
②通过将被开方数拆成几个整数的积来找开得尽方的因数；
③被开方数含有分母时，要对分子分母同时乘某一个数，使得分母变为开得尽方的整数.
知识点2 最简二次根式
二次根式之间能进行加减运算吗？
知识点3 二次根式的加减法运算法则
二次根式也可以进行加减运算，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.
如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并.
例3 计算：
(1)+；(2) - ；(3) (+)×.
解：(1)+ = + = += 4+= 5 ；
(2) - = - = - = ；
(3) (+)×= += += 2+= 5.
知识点3 二次根式的加减法运算法则
二次根式的加减运算法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并.
知识点3 二次根式的加减法运算法则
将其系数相加，被开方数不变，所得的和与被开方数相乘，如2+3=(2+3)=5
1. 化简：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .
解： (1) = = 4；
(2) = = ；
(3) = ；
(4) = = = ；
(5) = .
2. 下列计算是否正确
(1) + = ；(2)2 + = 2；(3) = .
解：(1)(2)(3)的计算均不正确.
3. 计算： - + .
解： - +
= - +
= - +
= - +
= -.
4. 计算： + .
解： +
= 3+
= 3+
= 3+
= +.
二次根式
=· (a≥0，b≥0)， =(a≥0，b>0)
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式
性质
加减运法则
最简二次根式

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