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第二章 实数
八上数学 BSD
课时3 二次根式的四则运算
2.3 二次根式
1.进一步进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算，并解决简单的实际问题.
2.发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生应用法则的灵活性和解决问题的能力.
问题 请你计算： + ， - .
小明是这样计算 + 的：
+ = + = + = .
分子、分母同乘的目的是什么
分子分母同乘的目的是将分母转化为有理数2.
知识点1 分母有理化
计算 -
- = - = 2- = .
方法二 - = - = 2- = .
方法三 - = - = 2- =2- = .
知识点1 分母有理化
例1 计算：
(1) - ； (2) - + ；
解：(1) - = - = - = ；
(2) - += - + = 3- 2+ = ；
知识点2 二次根式的四则运算
例1 计算：(3) (- )÷ ； (4) + - .
(3) (- )÷
= ÷ - ÷
= -
= -
= -
= -
= ；
知识点2 二次根式的四则运算
例1 计算：(3) (- )÷ ； (4) + - .
(4) + -
=
= -
= - .
化成最简二次根式后与，化简后的被开方数不可能相同，因此，结果中可以保留，不必将它化成最简二次根式.
知识点2 二次根式的四则运算
思考 化简( - ) ·，其中a=3，b=2.你是怎么做的
( - ) ·
= · - ·
= -
= -.
把a=3，b=2代入 -中，得原式= - 2.
知识点2 二次根式的四则运算
思考
如图，方格纸中小方格的边长均为 1.
(1)求梯形 ABCD 的周长.
(2)求梯形 ABCD 的面积.
(1)由勾股定理，得AB=，BC=，CD=.
由网格可知 AD=6，
所以梯形 ABCD 的周长为
+ + + 6 = 5 + 2 + +6 =6 + 2 + 6.
知识点2 二次根式的四则运算
思考
如图，方格纸中小方格的边长均为 1.
(1)求梯形 ABCD 的周长.
(2)求梯形 ABCD 的面积.
(2)梯形 ABCD 的面积为
( + )×3 = (5+ )×3 =18.
还可以通过数格子，割补法求梯形 ABCD的面积.
E
知识点2 二次根式的四则运算
思考
如图，方格纸中小方格的边长均为 1.
(1)求梯形 ABCD 的周长.
(2)求梯形 ABCD 的面积.
可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.
S梯形ABCD=S1+S2+S3=×3×1+×3×2+×(3+6)×3=+3+=18.
知识点2 二次根式的四则运算
反思 对比有理数和实数的学习过程，你对“数”的扩充有什么感悟
有理数是可以表示为两个整数之比的数，而实数则包括有理数和无理数，无理数无法表示为两个整数之比，如，π等
但它们的学习思路是相同的，都要学习数的定义、表示、性质、运算及应用.
数的扩充让我们认识到，随着数学问题的复杂化，原有的数系可能无法满足需求，因此需要不断扩展“数”的范围.
知识点2 二次根式的四则运算
1. 计算：
(1) - ； (2) - + ；
(3) (- )× ； (4) 2+ - .
解：(1) - = - = = ；
(2) - + = 2- + = (2-1+)×= ；
1. 计算：
(1) - ； (2) - + ；
(3) (- )× ； (4) 2+ - .
解：(3) (- )× = - = 12-2 = 10；
(4) 2+ - = 10+ 2- 3 = 7+ 2.
2. 已知a= ，b= ，求.
解：因为 a= = =，
b= = =，
所以，=1，
所以 = = = =2.
3. 教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288 cm3，另一张面积为338 cm3.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5 m的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.
解：贺卡的周长为
4×(+)=4×(12+13)=4×25 ≈141.4(cm).
因为150>141.4，
所以李欣的彩带够用.
对于二次根式的除法，把分母中的根号化去的过程，叫作分母有理化
分母有理化
二次根式的四则运算
二次根式混合运算
化简求值
解决实际问题

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