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八上数学 BSD
第二章 实数
章末小结
学习思路
学习方法
实数
概念
表示
分类
性质
运算
应用
具体到抽象
特殊到一般
归纳思想
类比思想
数形结合
无理数
学习内容
实数
平方根
立方根
二次根式
一、实数
概念：有理数—有限小数和无限循环小数
无理数—无限不循环小数
常见的无理数的三种形式：
(1)开方开不尽的数的方根；如：3，35等；
(2)π及化简后含π的数；如：π2，π+1等；
(3)具有特殊结构的数，如：0.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1).
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一、实数
相关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
实数相关概念的性质
相反数：若a与b互为相反数，则a+b=0.
倒数：若a与b互为倒数，则ab=1.
绝对值：任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|.
一、实数
性质：实数与数轴上的点一一对应
分类：
按概念分：有理数、无理数
按正负性分：正实数、0、负实数
一、实数
运算法则：
先乘方，再乘除，最后再算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的
运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律
1. 如图所示的网格是由16个边长为1的小正方形拼成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到5条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度是无理数的线段有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析：由图可知 CA=4.
根据勾股定理可得CB2=42+12=17，
CD2=42+32=25，CE2=22+22=8，CF2=22+32=13，
所以长度是无理数的线段是CB，CE，CF，共有3条.
B
解：因为a，b互为相反数，所以a+b=0.
因为c，d互为倒数，所以cd=1.
因为m是平方等于本身的数，所以m=0或1.
当m=0时，2a+2b2+cd+m = 2(a+b)2+cd+m=0+1+0=1；
当m=1时，2a+2b2+cd+m = 2(a+b)2+cd+m=0+1+1=2.
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2. a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是平方等于本身的数.
求 2a+2b2+cd+m的值.
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3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A.|a|>4 B.c-b>0 C.ac>0 D.a+c>0
B
二、算术平方根
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根.
特别地，我们规定：0的算术平方根是0.
表示方法：非负数a的算术平方根记作a，读作“根号a”.
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二、算术平方根
性质
①负数没有算术平方根；
②a的双重非负性，即a≥0，a≥0；
③当a≥0 时， a2?=a，(a)2=a；当a<0时， a2?= -a.
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三、平方根
定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根(也叫作二次方根).
表示方法：
正数a的平方根记作±a，读作“正、负根号a”，其中a表示a的算术平方根，-a表示a的负的平方根.
0的平方根为0.
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三、平方根
性质
①一个正数有两个平方根；
②0只有一个平方根，它是0本身；
③负数没有平方根.
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数.
四、立方根
定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作 a的立方根(也叫作三次方根).
表示方法：
每个数a都有一个立方根，记作3a，读作“三次根号a”
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四、立方根
性质
①正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数.
② 3a3?=a，(3a)3=a.
开立方：求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数.
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五、估算无理数的大小
估算的方法：“夹逼法”.
通过估算，可以比较无理数与有理数、无理数与无理数之间的大小.
4. 求下列各式中x的值：
(1)4x2-1=0； (2) (x+1)2=81；
解：(1)原式可变形为x2=14，
因为(±12)2=14，
所以x=±12.
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(2)因为(±9)2=81，
所以x+1=9或x+1=-9，
解方程，得x=8或x=-10.
所以x=8或x=-10.
解：移项，得27(x+1)3=-8，
系数化为1，得(x+1)3=-827，
开立方，得x+1=3?827，
即x+1=-23，
解得x=-53.
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5. 求式中x的值：27(x+1)3+8=0.
解：因为31?2x与33y?2互为相反数，
所以 1-2x和 3y-2互为相反数，
所以(1-2x)+(3y-2)=0，即2x-3y=-1，
所以2（2x-3y）=-2，即4x-6y=-2，
所以4x-6y+2=-2+2=0.
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6. 若31?2x与33y?2互为相反数，求4x-6y+2的值.
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7. 长方形画纸的面积为700cm?，长与宽的比为5∶4，王芳想从中裁出半径为12 cm的圆形画纸，她的想法可行吗?
解：长方形的长与宽的比为5∶4，
可设长方形的长为5x(x＞0)，则宽为4x，
根据题意，得4x·5x=700，所以?????1=6，
长方形的宽为24，长为30，圆的直径为12×2=24，
所以王芳的想法可行.
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分析：根据“8个小正方体的体积之和=原体积-剩余体积”列方程
求解.
8. 已知一个正方体的体积是1 000 cm3，现要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使余下的体积是488 cm3，那么截去的每个小正方体的棱长是多少?
解：设截去的每个小正方体的棱长是x cm.
根据题意，得8x3=1 000-488，即x3=64.
所以x=364=4.
答：截去的每个小正方体的棱长是4 cm.
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解： 因为4?< 7?< 9 ，即2< 7?<3.
所以3< 7?+1<4，0< 7?-2<1，
所以a= 7?+1-3= 7?-2，b=0，
所以a+b- 7?= 7?-2+0- 7?=-2.
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9. 7+1的小数部分为a， 7-2的整数部分为b，求a+b-7的值.
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六、二次根式
概念：形如a(a≥0)的式子叫作二次根式.
性质
ab =?a?· b? (a≥0，b≥0)，ab =?ab?(a≥0，b>0).
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六、二次根式
乘除法法则：a?· b=ab?(a≥0，b≥0)，
ab=ab?(a≥0，b>0).
加减法法则：先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并.
混合运算：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
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六、二次根式
最简二次根式
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式.
二次根式相加减：先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的最简二次根式合并.
对于二次根式的除法，把分母中的根号化去的过程，叫作分母有理化.
2
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10. 己知 12 与最简二次根式 5a+1?可以合并，则a= .
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a+1=3
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a=2
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解：(1)原式= 827×6?-53×6
= 827×6?-53×6
= 43?-152?.
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11. 计算：(827-53?)×6.
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解：因为x= 3?- 2，y= 3?+ 2，
所以xy=(3?- 2)(3?+ 2)=(3) 2-(2) 2=3-2=1，
x+y= 3?- 2?+ 3?+ 2?=23?.
所以x2+y2=(x+y) 2-2xy=(23) 2-2×1=10.
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12. 已知x= 3?- 2，y= 3?+ 2，求x2+y2的值.
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解：(1)因为两个正方形的面积分别为18 dm2和32 dm2 ，
所以这两个正方形的边长分别为32?dm和42?dm，
所以剩余木料的面积为(42?- 32)×32=6(dm2).
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13. 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为18 dm2和32 dm2的正方形木板.
(1)求剩余木板的面积；
(2)剩余长方形木板的宽为 42?- 32?= 2?(dm)，长为32?dm，
因为 1.5×2=3，1.5×3=4.5，4< 32?<4.5 ,且1< 2?<1.5，
所以从剩余的木板中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木板，最多能截出2块这样的木板.
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(2)如果木工想从剩余的木板中截出长为
1.5dm，宽为1dm的长方形木板，最多能
截出几块这样的木板.
2
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