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2024-2025 学年四川省青川县第一高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列 中首项 1 = 2，公差 = 2，则 5 =( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2.记等差数列 的前 项和为 ，若 4 + 7 = 13，则 10 =( )
A. 13 B. 45 C. 65 D. 130
3.若 lim (2+2 ) (2) = 6，则
′(2) =( )
→0
A. 32 B. 6 C. 3 D. 3
4.已知等比数列 的各项均为正数，且 3 7 = 9，则log3 1 + log3 5 + log3 9 =( )
A. 7 B. 9 C. 81 D. 3
5.设等比数列{ }的公比为 ，前 项和为 ，则“ > 0”是“{ }为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知数列 的前 项和为 ，且 +1 = + 2, 5 = 35，则当 取得最小值时， 的值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7 +2 + .已知等差数列 和 的前 项和分别为 ， ，若 =
3 9
3 +4
，则 + + = ( )．4 6 8
A. 13 26 26 13111 B. 37 C. 111 D. 37
8.已知数列{ }的首项 1 = 3，对任意 , ∈ ，都有 = + ，则当 ≥ 1 时，log3 1 + log3 2 + +
log3 2 1 =( )
A. (2 1) B. ( + 1)2 C. 2 D. ( 1)2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 1 + 3 = 5, 4 + 6 = 135，则( )
A. = 1 1 1 1 1 4 B. = 3 C. = 4 × 3 D. = 4 3 1
10.已知函数 ( )的图象如图所示， ′( )是 ( )的导函数，则下列数值的排序正确的是( )
A. ′(3) < ′(2) B. ′(3) < (3) (2)
C. ′(2) < (3) (2) D. (3) (2) < 0
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11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运
算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1 → 4 → 2 → 1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜
想”).比如取正整数 = 8，根据上述运算法则得出 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1.猜想的递推关系如下：已
, 为偶数
知数列 满足 1 = 5， +1 = 2

，设数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是( )
3 + 1, 为奇数
A. 3 = 8 B. 5 = 2 C. 10 = 49 D. 300 = 722
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12 .已知双曲线 : 16 9 = 1，若 上一点 到一个焦点的距离为 5，则 到另一个焦点的距离为 ．
13.已知 是等差数列， 1 = 1，公差 ≠ 0， 为其前 项和，若 1， 2， 5成等比数列，则 8 = ．
14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把
数分成许多类，如图中第一行的 1，3，6，10 称为三角形数，第二行的 1，4，9，16 称为正方形数，第三
行的 1，5，12，22 称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第 5 项是 ，五边形数所构成的数列
的通项公式为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 2 + ( , ∈ )的图象过点(1,2)，且 ′(2) = 4．
(1)求 ， 的值．
(2)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程．
16.(本小题 15 分)
已知数列 为等差数列， 2 = 11， 5 = 5．
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(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 前 项和的最大值．
17.(本小题 17 分)
设数列 的前 项和为 ，已知 + 1 = 2 ∈ ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 = ，数列 的前 项和为 ，求 ．
18.(本小题 17 分)
已知数列 的首项 1 = 3，且满足 +1 = 2 1 ∈ ．
(1)求证：数列 1 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式和前 项和 ；
(3) 1 1记 = log2 1 ，求数列 的前 项和 ，并证明 ≤ < 1． +1 2
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的上顶点为 (0,1)
3
，离心率为 2 , , 是椭圆 上不与点 重合的两点，且
∠ = 90 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证：直线 恒过定点；
(3)求 面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.13
13.64
2
14.25 = 3 ； 2
15.解：(1)因为函数 ( ) = 3 2 + 的图象过点(1,2)，所以 1 + = 2①.
又 ′( ) = 3 2 2 ， ′(2) = 4，所以 ′(2) = 3 × 22 2 × 2 = 12 4 = 4②，
由①②解得： = 2， = 3．
(2)由(1)知 ( ) = 3 2 2 + 3，又因为 (1) = 2， ′(1) = 3 4 = 1，
所以曲线 = ( )在 1, (1) 处的切线方程为 2 = ( 1)，即 + 3 = 0．
16.解：(1)设等差数列 的公差为 ，
1 + = 11则 + 4 = 5，解得 1 = 13, = 2，1
所以 = 13 + ( 1) × ( 2) = 2 + 15．
(2)由 = 2 + 15 ≥ 0，解得 ≤ 7.5，
而 < 0，数列 是单调递减数列，
所以等差数列 的前 7 项为正数，从第 8 项起为负数，
所以 = 7 7×6时，数列 前 项和的最大值为 7 × 13 + 2 × ( 2) = 49．
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17.解：(1)当 = 1 时， 1 = 1；
当 ≥ 2 时， = 1 = 2 2 1即 = 2 1，
而 1 = 1 ≠ 0

，故 ≠ 0， = 2， 1
所以 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
所以 = 2 1,经验证 1 = 1 满足通项，所以 = 2 1 ．
(2)由(1)得 = = 2 1，
则 = 1 + 2 + + = 1 × 20 + 2 × 21 + + × 2 1，
2 = 1 × 21 + 2 × 22 + + ( 1) × 2 1 + × 2 ，

两式做差可得 = 1 × 20 + 1 × 21 + + 1 × 2 1 × 2 = 1× 1 2 1 2 × 2
，
所以 = ( 1) × 2 + 1．
18.解：(1)证明：因为数列 满足 +1 = 2 1 ∈ ，
可得 +1 1 = 2( 1)，又因为 1 = 3，可得 1 1 = 2，
从而可得 1 ≠ 0
1
，即 +1 1 = 2，
所以数列 1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
(2)解：由(1)知，数列 1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
可得 1 = 2 2 1 = 2 ，所以 = 2 + 1，

则数列 的前
2(1 2 )
项和为 = + = 2 +1 1 2 + 2．
(3)解：由(2)知： 1 = 2 ，可得 = log2 1 = log22 = ，
1 1 1
所以 = ( +1) =
1
+1， +1
所以 = 1 + 2 + + = (1
1 1 1 1 1 1
2 ) + ( 2 3 ) + ( 3 4 ) + + (
1
+1 ) = 1
1
+1，
当 ∈ N 时，易知 = 1
1
+1关于 是单调递增数列，
当 = 1 1时， 取得最小值，最小值为 1 = 2，
1 1
又因为 +1 > 0，可得 < 1，所以2 ≤ < 1．
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= 1,
19. 3解：(1)依题意有 = 2 ,解得 = 2, = 3，
2 = 2 + 2,
∴
2
椭圆 的方程为 24 + = 1．
(2)
如图，当直线 的倾斜角为90 时，显然不合题意；
设直线 的方程为： = + ( ≠ 1), 1, 1 , 2, 2 ．
= + ,
联立 2 消去 得 4 2 + 1 2 + 8 + 4 2 4 = 0．
4 +
2 = 1,
∴ Δ = 64 2 2 4 4 2 + 1 4 2 4 = 16 4 2 + 1 2 > 0，即 4 2 + 1 > 2．
2
∴ 1 + 2 =
8 4 4
4 2+1 , 1 2 = 4 2+1．
∵ ∠ = 90 ，∴ = 0
又∵ = 1, 1 1 , = 2, 2 1 ，
∴ 1 2 + 1 1 2 1 = 1 2 + 1 + 1 2 + 1 = 0，
∴ 2 + 1 1 22 + ( 1) 1 + 2 + 2 + 1 = 0，
2
2 + 1 4 4 + ( 1) 8 即 24 2+1 4 2+1 + 2 + 1 = 0，
∴ 5 2 2 3 = 0 3，解得 = 5或 = 1(舍)．
∴ = 3直线 的方程为： 5，即直线 过定点 0,
3
5 ．
(3) ∵点 8到直线 的距离 = ，
5 1+ 2
| | = 1 + 2 1 2 ，
∴△ = 1 | | = 1 × 8的面积 × 1 + 2 2 2 5 1+ 2 1
2
4 4
= 5 1 =
2
2 5 1 + 2 4 1 2
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4 8 2 4 2 4
= 5 4 2 +1 4 4 2 +1
4 2 +16
16 25
= 5 × 4 2 +1
4 2 + 16令 25 =
4
，则 ≥ 5，
∴ 16 16 1 = 5 × = × ， 2+ 9 5 925 +25
因函数 = + 9 3 325 在 0, 5 上单调递减；在 5 , + ∞ 上单调递增，
4 9 5 9 5
所以当 = 5时， = + 25 取得最小值为4，即 + 25 ≥ 4，
= 16 × 1 ≤ 64故 5 + 9 25，25
即 64面积的最大值为25．
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