辽宁省葫芦岛市连山区东北师范大学连山实验高中2024-2025学年高二(下)期中数学试卷(图片版,含答案)

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2024-2025 学年东北师范大学连山实验高中高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
′ ′
A. cos π3 = sin
π 1 1 ′ 1 ′
3 B. = 2 C. log2 = ln2 D. 3 = 3
2.等比数列 的各项均为正数,且 4 7 = 2,则log2 1 + log2 2 + + log2 10 =( )
A. 4 B. 5 C. 10 D. 2 + log25
3.在某市的一次质量检测考试中,学生的数学成绩可认为近似服从正态分布,其正态密度曲线可用函数
( 78)2
( ) = 1 e 2 2 2π 的图象拟合,且 (78 ≤ ≤ 120) = 0.42,若参加本次考试的学生共有 10000 人,则
数学成绩超过 120 分的人数约为( )
A. 600 B. 800 C. 1200 D. 1400
4 ( ) = 1.若函数 33
1
2
2 + 在区间(0,1)内为增函数,则实数 的取值范围是( )
A. 2, + ∞ B. (0,2) C. ( ∞,2) D. ( ∞,2]
5.若银行的储蓄卡密码由六位数字组成,小王在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,
但记得密码的最后一位是奇数,则不超过 2 次就按对密码的概率是( )
A. 1 B. 25 5 C.
1
10 D.
3
10
6.已知等差数列 和 的前
= +3 项和分别为 和 5 ,且 3 +5,则 2+
=( )
6
A. 14 B. 417 17 C.
3
13 D.
1
5
7.若不等式 ( )2 + ( ln )2 ≥ 对任意 ∈ , ∈ (0, + ∞)恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1 22 ] B. ( ∞, 2 ] C. ( ∞, 2] D. ( ∞,2]
8.定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ′( ) > + 1,且 e = ln ee+1 ,则不等式 e > e + 的解集为( )
A. (0, + ∞) B. (1, + ∞) C. (2, + ∞) D. e, + ∞
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.等差数列 的前 项和为 , 1 < 0, 3 + 13 = 0,则( )
A. 8 = 0 B. +1 <
C. 6 > 9 D.当 > 0 时, 的最小值为 16
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10.一只口袋中装有形状、大小都相同的 8 个小球,其中有黑球 2 个,白球 2 个,红球 4 个,分别用有放
回和无放回两种不同方式依次摸出 3 个球.则( )
A.若有放回摸球,设摸出红色球的个数为 ,则方差 ( ) = 34
B. 3若有放回摸球,则摸出是同一种颜色球的概率16
C. 3若无放回摸球,设摸出红色球的个数为 ,则期望 ( ) = 2
D. 1若无放回摸球,在摸出的球只有两种不同颜色的条件下,摸出球是 2 红 1 白的概率为3
11.下列说法正确的是( ).
A.函数 ( ) = 2sin 在区间 0, π π的最小值为3 3
B.函数 ( ) = 1 3 2 3 + 1 1, 83 的图象关于点 3 中心对称
C. 1 1已知函数 ( ) = 2ln ,若 2 1 2 > 1 ≥ 2 时,都有 > 成立,则实数 的取值范围为(1, +2 1 1 2
∞)
D.若 e > ln 1恒成立,则实数 的取值范围为 e , + ∞
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已知 1 + 2 2 + 3 3 + + = 1
+2
2 ∈ N
,求数列 = .
13.某学校有 , 两家餐厅,张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去 餐厅,那么第二天
去 餐厅的概率为 0.8;如果第一天去 餐厅,那么第二天去 餐厅的概率为 0.6.则张同学第二天去 餐厅用
餐的概率为 .
14.对任意 > 1, > 1,不等式e ( + 1) + ln + ln ≥ 0 恒成立,则实数 的取值范围是 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 1
已知函数 ( ) = 2 + ln 2.
(1)求 ( )的单调区间;
(2)记 ( )的两个零点分别为 1, 2( 1 < 2),求曲线 = ( )在点( 2, ( 2))处的切线方程.
16.(本小题 15 分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格
品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有
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产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为 (0 < < 1),且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ( ),求 ( )的最大值点 0;
(2)现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格品,以(1)中确定的 0作为 的值.已知每件产品的检
验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用.
( )若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ,求 ;
( )以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
17.(本小题 15 分)
已知等比数列 的前 项和为 ,且 +1 = 2 + 2 ∈ N .
(1)求数列 的通项公式;
(2)在 与 +1之间插入 个数,使这 + 2 个数组成一个公差为 的等差数列,在数列 中是否存在 3 项
, , (其中 , , 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的 3 项;若不存在,请说明理由.
18.(本小题 17 分)
当前移动网络已融入社会生活的方方面面,深刻改变了人们的沟通 交流乃至整个生活方式. 4 网络虽然解
决了人与人随时随地通信的问题,但随着移动互联网快速发展,其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需
求,而 5 作为一种新型移动通信网络,不但可以解决人与人的通信问题,而且还可以为用户提供增强现实
虚拟现实 超高清(3 )视频等更加身临其境的极致业务体验,更重要的是还可以解决人与物 物与物的通信
问题,从而满足移动医疗 车联网 智能家居 工业控制 环境监测等物联网应用需求,为更好的满足消费者对
5 网络的需求,中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐,每款套餐的月资费 (单位:元)与购买
人数 (单位:万人)的数据如下表:
套餐
月资费 (元) 38 48 58 68 78 88
购买人数 (万人)16.818.820.722.424.025.5
对数据作初步的处理,相关统计量的值如下表:
6 6 6 6
2
=1 =1 =1 =1
75.3 24.6 18.3 101.4
其中 = ln , = ln ,且绘图发现,散点 , (1 ≤ ≤ 6)集中在一条直线附近.
(1)根据所给数据,求出 关于 的回归方程;
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(2) ( ) = +36 ( ) ∈ 85 68已知流量套餐受关注度通过指标 来测定,当 7e , 5e 时相应的流量套餐受大众的欢迎
程度更高,被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中,购买不同的四款各自使用.记四人中使用
“主打套督”的人数为 ,求随机变量 的分布列和期望.
附:对于一组数据 1, 1 , 2, 2 , , , ,其回归方程 = + 的斜率和截距的最小二乘估计值分

别为 = =1 =1 2
, = .
19.(本小题 17 分)
已知等比数列 是递减数列,
1
的前 项和为 ,且 、2 2、8 3成等差数列,3 2 = 1 + 2 3,数列 1
满足 +1 = 2 2 + 1, 1 = 3, ∈
(1)求 和 的通项公式;
, 是奇数
(2)若 = (6 +19) ,求数列 的前 2 项和 2 .
, 是偶数 +2
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参考答案
1.
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4.
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10.
11.
12 , = 112. 1
2 , ≥ 2
13.0.3
14. 1, e
15.(1) ( ) = 1 1 1 1 2 1函数 2 + ln 2的定义域为(0, + ∞),求导得
′( ) = 2 2 + = 2 2 ,
1 1
当 ∈ (0, 2 )时,
′( ) < 0;当 ∈ ( 2 , + ∞)时,
′( ) > 0,
所以函数 ( )的单调递减区间为(0, 12 )
1
,单调递增区间为( 2 , + ∞).
2
(2)由(1)知 ( 1 12 ) = 2 ln2 < 0, (
1
e2 ) =
e 5
2 2 > 0, (1) = 0,
因此函数 ( ) 1有两个零点 1, 2,且 0 < 1 < 2 < 2,即 2 = 1,
1 1 1
则所求切线的切点坐标为(1,0),斜率 = ′(1) = 2,切线方程为 = 2 2
所以曲线 = ( )在点( 2, ( 2))处的切线方程为 =
1
2
1
2.
16.(1)[方法一]:【通性通法】利用导数求最值
20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ( ) = C220 2 1 18.
因此 ′( ) = C2 18 220 2 1 18 1 17 = 2C220 1 17 1 10 .
令 ′( ) = 0,得 = 0.1.当 ∈ 0,0.1 时, ′( ) > 0;当 ∈ 0.1,1 时, ′( ) < 0.
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所以 ( )的最大值点为 0 = 0.1;
[方法二]:【最优解】均值不等式
由题可知,20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ( ) = C2 2 1820 (1 ) .
20 20
( ) = 2 220 (1 )18 =
190
81 (9 )(9 )(1 )
18 ≤ 190 9 +9 +18(1 ) 190 1881 20 = 81 20 ,当且仅当 9 = 1 ,
= 1即 10可得所求.
(2)由(1)知, = 0.1.
( )令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数,依题意知 180,0.1 , = 20 × 2 + 25 ,即 = 40 +
25 .所以 = 40 + 25 = 40 + 25 = 490.
( )如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.
由于 > 400,故应该对余下的产品作检验.
17.(1)由题意知当 = 1 时, 1 = 2 1 + 2①,
当 = 2 时, 21 = 2 1 + 1 + 2②,
联立①②,解得 1 = 2, = 3;
所以数列 1 的通项公式 = 2 × 3 .
(2)由(1)知 = 2 × 3 1, +1 = 2 × 3 ,
4×3 1
所以 +1 = + ( + 2 1) ,可得 = +1 +1 = +1 ;
设数列 中存在 3 项 , , (其中 , , 成等差数列)成等比数列,则 2 = ,
4×3 1 2 4×3 1 4×3 1 16×32 2 16×3 + 2
所以 +1 = +1 +1 ,即 ( +1)2 = ( +1)( +1);
又因为 , , 成等差数列,所以 2 = + ,
所以( + 1)2 = ( + 1)( + 1),化简得 2 + 2 = + + ,即 2 = ;
又 2 = + ,所以 = = 与已知矛盾;
所以在数列 中不存在 3 项 , , 成等比数列.
18.(1)因为散点 , (1 ≤ ≤ 6)集中在一条直线附近,设回归方程为 = + ,
1 6 6
由 = 6
6
=1 = 4.1, =
16 = 3.05,则 =
=1 = =1 6 6 =1 6 2 6 2 2 =
75.3 6×4.1×3.05 1
=1 6 101.4 6×4.1×4.1
= 2,
=1
= 3.05 12 × 4.1 = 1
1
,故变量 关于 的回归方程为 = 2 + 1.又 = ln , = ln ,
1
故 ln = 12 ln + 1, = e 2,
1
综上, 关于 的回归方程为 = e 2;
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1
(2) ( ) = +36 = +36 = 1 + 36 ∈ 85 , 68 85
1
由 1
2
e 1 7e 5e ,解得 7 < 2 +
36 68
1 < ,
e 2 2 2 5
85 36 68 36
而 7 = 7 + 7 , 5 = 10 + 10,所以 = 58,68,78,88 即 为“主打套餐”.
则四人中使用“主打套餐”的人数 服从超几何分布,又:一共只有 6 种套餐,一家 4 口选择不同的套餐,
所以 的取值只能是 = 2,3,4,
2 2 1 3 0 4
且 ( = 2) = C2 C4 = 24 5 , ( = 3) =
C2 C4
4 =
8
15 , ( = 4) =
C2 C4 1
C C C4
= ,
6 6 6 15
分布列为

2 3 4
2 8 1
5 15 15
∴期望 ( ) = 2 × 2+ 3 × 8 + 4 × 1 85 15 15 = 3.
3 2 = 1 + 2 3 3 1 = 1 + 2 1 2
19.(1)设等比数列 的公比为 ,由题意可得 4 = 1 + 8 ,则 4 + = 1 + 8 2 ,2 31 1 1 11
1 1
因为数列 是等比数列,解得 1 = = 2,所以, =
1
1 = 2 ,
因为 +1 = 2 2 + 1,所以, +1 2( + 1) 1 = 2 2 1 ,
因为 1 = 3,则 1 2 × 1 1 = 0,所以, 2 1 = 0,故 = 2 + 1.
(2) 2 +1当 为奇数时, = 2 ,令 = =1 2 1,
则 = 3 7 11 4 1 21 + 23 + 5 + +2 22 1,
1
所以,4 =
3
2 +
7 4 5 4 1
23 + + 22 1 + 22 +1,
1 1
3 = 3 4 4 4 4 1 3 2
1
4 1 4 1两个等式作差可得4 2 + 23 + 25 + + 22 1 22 +1 = 2 + 1 1 22 +14
= 13 12 +136 6 4 ,
= 26 12 +13化简得 9 9 22 1;
= 6 +19 4(2 +5) (2 +1) 1 1当 为偶数时, 2 (2 +1)(2 +5) = 2 (2 +1)(2 +5) = (2 +1) 2 2 (2 +5) 2 ,
令 = =1 2 ,则 =
1 1 1 1 1 1
5 20 9 22 + 9 22 13 24 + + (4 +1) 22 2 (4 +5) 22
第 7页,共 8页
= 1 15 (4 +5) 22 ,
故 2 = + =
139 12 +13 145 9 22 1 (4 +5) 22 .
第 8页,共 8页

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