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2024-2025 学年东北师范大学连山实验高中高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
′ ′
A. cos π3 = sin
π 1 1 ′ 1 ′
3 B. = 2 C. log2 = ln2 D. 3 = 3
2.等比数列 的各项均为正数，且 4 7 = 2，则log2 1 + log2 2 + + log2 10 =( )
A. 4 B. 5 C. 10 D. 2 + log25
3.在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数
( 78)2
( ) = 1 e 2 2 2π 的图象拟合，且 (78 ≤ ≤ 120) = 0.42，若参加本次考试的学生共有 10000 人，则
数学成绩超过 120 分的人数约为( )
A. 600 B. 800 C. 1200 D. 1400
4 ( ) = 1.若函数 33
1
2
2 + 在区间(0,1)内为增函数，则实数 的取值范围是( )
A. 2, + ∞ B. (0,2) C. ( ∞,2) D. ( ∞,2]
5.若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，
但记得密码的最后一位是奇数，则不超过 2 次就按对密码的概率是( )
A. 1 B. 25 5 C.
1
10 D.
3
10
6.已知等差数列 和 的前
= +3 项和分别为 和 5 ，且 3 +5，则 2+
=( )
6
A. 14 B. 417 17 C.
3
13 D.
1
5
7.若不等式 ( )2 + ( ln )2 ≥ 对任意 ∈ ， ∈ (0, + ∞)恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1 22 ] B. ( ∞, 2 ] C. ( ∞, 2] D. ( ∞,2]
8.定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ′( ) > + 1，且 e = ln ee+1 ，则不等式 e > e + 的解集为( )
A. (0, + ∞) B. (1, + ∞) C. (2, + ∞) D. e, + ∞
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列 的前 项和为 , 1 < 0, 3 + 13 = 0，则( )
A. 8 = 0 B. +1 <
C. 6 > 9 D.当 > 0 时， 的最小值为 16
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10.一只口袋中装有形状、大小都相同的 8 个小球，其中有黑球 2 个，白球 2 个，红球 4 个，分别用有放
回和无放回两种不同方式依次摸出 3 个球.则( )
A.若有放回摸球，设摸出红色球的个数为 ，则方差 ( ) = 34
B. 3若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率16
C. 3若无放回摸球，设摸出红色球的个数为 ，则期望 ( ) = 2
D. 1若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是 2 红 1 白的概率为3
11.下列说法正确的是( )．
A.函数 ( ) = 2sin 在区间 0, π π的最小值为3 3
B.函数 ( ) = 1 3 2 3 + 1 1, 83 的图象关于点 3 中心对称
C. 1 1已知函数 ( ) = 2ln ，若 2 1 2 > 1 ≥ 2 时，都有 > 成立，则实数 的取值范围为(1, +2 1 1 2
∞)
D.若 e > ln 1恒成立，则实数 的取值范围为 e , + ∞
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 1 + 2 2 + 3 3 + + = 1
+2
2 ∈ N
，求数列 = ．
13.某学校有 ， 两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去 餐厅，那么第二天
去 餐厅的概率为 0.8；如果第一天去 餐厅，那么第二天去 餐厅的概率为 0.6.则张同学第二天去 餐厅用
餐的概率为 ．
14.对任意 > 1， > 1，不等式e ( + 1) + ln + ln ≥ 0 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 1
已知函数 ( ) = 2 + ln 2．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)记 ( )的两个零点分别为 1, 2( 1 < 2)，求曲线 = ( )在点( 2, ( 2))处的切线方程．
16.(本小题 15 分)
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格
品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有
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产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 (0 < < 1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ( )，求 ( )的最大值点 0；
(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 0作为 的值．已知每件产品的检
验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
( )若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ;
( )以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
17.(本小题 15 分)
已知等比数列 的前 项和为 ，且 +1 = 2 + 2 ∈ N ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 +1之间插入 个数，使这 + 2 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在 3 项
， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通 交流乃至整个生活方式. 4 网络虽然解
决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨的需
求，而 5 作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强现实
虚拟现实 超高清(3 )视频等更加身临其境的极致业务体验，更重要的是还可以解决人与物 物与物的通信
问题，从而满足移动医疗 车联网 智能家居 工业控制 环境监测等物联网应用需求，为更好的满足消费者对
5 网络的需求，中国电信在某地区推出了六款不同价位的流量套餐，每款套餐的月资费 (单位：元)与购买
人数 (单位：万人)的数据如下表：
套餐
月资费 (元) 38 48 58 68 78 88
购买人数 (万人)16.818.820.722.424.025.5
对数据作初步的处理，相关统计量的值如下表：
6 6 6 6
2
=1 =1 =1 =1
75.3 24.6 18.3 101.4
其中 = ln , = ln ，且绘图发现，散点 , (1 ≤ ≤ 6)集中在一条直线附近．
(1)根据所给数据，求出 关于 的回归方程；
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(2) ( ) = +36 ( ) ∈ 85 68已知流量套餐受关注度通过指标 来测定，当 7e , 5e 时相应的流量套餐受大众的欢迎
程度更高，被指定为“主打套餐”.现有一家四口从这六款套餐中，购买不同的四款各自使用.记四人中使用
“主打套督”的人数为 ，求随机变量 的分布列和期望．
附：对于一组数据 1, 1 , 2, 2 , , , ，其回归方程 = + 的斜率和截距的最小二乘估计值分

别为 = =1 =1 2
, = ．
19.(本小题 17 分)
已知等比数列 是递减数列，
1
的前 项和为 ，且 、2 2、8 3成等差数列，3 2 = 1 + 2 3，数列 1
满足 +1 = 2 2 + 1， 1 = 3， ∈
(1)求 和 的通项公式；
, 是奇数
(2)若 = (6 +19) ，求数列 的前 2 项和 2 ．
, 是偶数 +2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12 , = 112. 1
2 , ≥ 2
13.0.3
14. 1, e
15.(1) ( ) = 1 1 1 1 2 1函数 2 + ln 2的定义域为(0, + ∞)，求导得
′( ) = 2 2 + = 2 2 ，
1 1
当 ∈ (0, 2 )时，
′( ) < 0；当 ∈ ( 2 , + ∞)时，
′( ) > 0，
所以函数 ( )的单调递减区间为(0, 12 )
1
，单调递增区间为( 2 , + ∞)．
2
(2)由(1)知 ( 1 12 ) = 2 ln2 < 0， (
1
e2 ) =
e 5
2 2 > 0, (1) = 0，
因此函数 ( ) 1有两个零点 1, 2，且 0 < 1 < 2 < 2，即 2 = 1，
1 1 1
则所求切线的切点坐标为(1,0)，斜率 = ′(1) = 2，切线方程为 = 2 2
所以曲线 = ( )在点( 2, ( 2))处的切线方程为 =
1
2
1
2．
16.(1)［方法一］：【通性通法】利用导数求最值
20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ( ) = C220 2 1 18．
因此 ′( ) = C2 18 220 2 1 18 1 17 = 2C220 1 17 1 10 ．
令 ′( ) = 0，得 = 0.1.当 ∈ 0,0.1 时， ′( ) > 0；当 ∈ 0.1,1 时， ′( ) < 0．
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所以 ( )的最大值点为 0 = 0.1；
［方法二］：【最优解】均值不等式
由题可知，20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ( ) = C2 2 1820 (1 ) ．
20 20
( ) = 2 220 (1 )18 =
190
81 (9 )(9 )(1 )
18 ≤ 190 9 +9 +18(1 ) 190 1881 20 = 81 20 ，当且仅当 9 = 1 ，
= 1即 10可得所求．
(2)由(1)知， = 0.1．
( )令 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 180,0.1 ， = 20 × 2 + 25 ，即 = 40 +
25 .所以 = 40 + 25 = 40 + 25 = 490．
( )如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元．
由于 > 400，故应该对余下的产品作检验．
17.(1)由题意知当 = 1 时， 1 = 2 1 + 2①，
当 = 2 时， 21 = 2 1 + 1 + 2②，
联立①②，解得 1 = 2， = 3；
所以数列 1 的通项公式 = 2 × 3 ．
(2)由(1)知 = 2 × 3 1， +1 = 2 × 3 ，
4×3 1
所以 +1 = + ( + 2 1) ，可得 = +1 +1 = +1 ；
设数列 中存在 3 项 ， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列，则 2 = ，
4×3 1 2 4×3 1 4×3 1 16×32 2 16×3 + 2
所以 +1 = +1 +1 ，即 ( +1)2 = ( +1)( +1)；
又因为 ， ， 成等差数列，所以 2 = + ，
所以( + 1)2 = ( + 1)( + 1)，化简得 2 + 2 = + + ，即 2 = ；
又 2 = + ，所以 = = 与已知矛盾；
所以在数列 中不存在 3 项 ， ， 成等比数列．
18.(1)因为散点 , (1 ≤ ≤ 6)集中在一条直线附近，设回归方程为 = + ，
1 6 6
由 = 6
6
=1 = 4.1, =
16 = 3.05，则 =
=1 = =1 6 6 =1 6 2 6 2 2 =
75.3 6×4.1×3.05 1
=1 6 101.4 6×4.1×4.1
= 2，
=1
= 3.05 12 × 4.1 = 1
1
，故变量 关于 的回归方程为 = 2 + 1.又 = ln , = ln ，
1
故 ln = 12 ln + 1, = e 2，
1
综上， 关于 的回归方程为 = e 2；
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1
(2) ( ) = +36 = +36 = 1 + 36 ∈ 85 , 68 85
1
由 1
2
e 1 7e 5e ，解得 7 < 2 +
36 68
1 < ，
e 2 2 2 5
85 36 68 36
而 7 = 7 + 7 , 5 = 10 + 10，所以 = 58,68,78,88 即 为“主打套餐”．
则四人中使用“主打套餐”的人数 服从超几何分布，又：一共只有 6 种套餐，一家 4 口选择不同的套餐，
所以 的取值只能是 = 2,3,4，
2 2 1 3 0 4
且 ( = 2) = C2 C4 = 24 5 , ( = 3) =
C2 C4
4 =
8
15 , ( = 4) =
C2 C4 1
C C C4
= ，
6 6 6 15
分布列为

2 3 4
2 8 1
5 15 15
∴期望 ( ) = 2 × 2+ 3 × 8 + 4 × 1 85 15 15 = 3．
3 2 = 1 + 2 3 3 1 = 1 + 2 1 2
19.(1)设等比数列 的公比为 ，由题意可得 4 = 1 + 8 ，则 4 + = 1 + 8 2 ,2 31 1 1 11
1 1
因为数列 是等比数列，解得 1 = = 2，所以， =
1
1 = 2 ，
因为 +1 = 2 2 + 1，所以， +1 2( + 1) 1 = 2 2 1 ，
因为 1 = 3，则 1 2 × 1 1 = 0，所以， 2 1 = 0，故 = 2 + 1．
(2) 2 +1当 为奇数时， = 2 ，令 = =1 2 1，
则 = 3 7 11 4 1 21 + 23 + 5 + +2 22 1，
1
所以，4 =
3
2 +
7 4 5 4 1
23 + + 22 1 + 22 +1，
1 1
3 = 3 4 4 4 4 1 3 2
1
4 1 4 1两个等式作差可得4 2 + 23 + 25 + + 22 1 22 +1 = 2 + 1 1 22 +14
= 13 12 +136 6 4 ，
= 26 12 +13化简得 9 9 22 1；
= 6 +19 4(2 +5) (2 +1) 1 1当 为偶数时， 2 (2 +1)(2 +5) = 2 (2 +1)(2 +5) = (2 +1) 2 2 (2 +5) 2 ，
令 = =1 2 ，则 =
1 1 1 1 1 1
5 20 9 22 + 9 22 13 24 + + (4 +1) 22 2 (4 +5) 22
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= 1 15 (4 +5) 22 ，
故 2 = + =
139 12 +13 145 9 22 1 (4 +5) 22 ．
第 8页，共 8页

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