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2024-2025 学年湖北省黄冈市浠水县第一中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量 满足 ( ) = 0.01，且 = 10 + 1，则 ( ) =( )
A. 1 B. 0.1 C. 0.01 D. 1.01
2.若C2 4 3 2 = C ，则A C 2 =( )
A. 48 B. 108 C. 114 D. 126
3.已知 5 个成对数据( , )的散点图如下，若去掉点 (4,3)，则下列说法正确的是( )
A.变量 与变量 呈正相关 B.变量 与变量 的相关性变强
C.残差平方和变大 D.样本相关系数 变大
4.在信道内传输 0，1 信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号 0 或 1 有可能被错误地
接收为 1 或 0.已知发送 0 时，接收为 0 和 1 的概率分别为 0.8 和 0.2；发送 1 时，接收为 0 和 1 的概率分
别为 0.1 和 0.9.若接收信号为 1 的概率为 0.76，则发送信号为 1 的概率为( )
A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.9
5.( + 2 1)4的展开式中， 2 的系数为( )
A. 24 B. 24 C. 12 D. 48
6.已知今天是星期三，则经过611 3 天后是( )
A.星期四 B.星期五 C.星期六 D.星期日
7.为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与
生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有
一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为( )
A. 7 B. 7 13 1380 60 C. 80 D. 60
8.已知函数 ( ) = ln ， ( ) = e ，若存在 ∈ (0, + ∞)， 21 2 ∈ R，使得 1 = 2 > 0 成立，则 1
的最大值为( )
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A. 1 B. 1 C. 2 D. 1e e e2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(1 2 )7 = 0 + 1 + 22 + + 77 ，则下列结论正确的是( )
7
A. 0 = 1 B. 0 + 2 + 4 + =
3 1
6 2
C. 12 +
2 6 7
22 + + 26 + 27 = 0 D. 1 + 2 2 + 3 3 + + 7 7 = 14
10.对具有相关关系的两个变量 和 进行回归分析时，下列结论正确的是( )
A.若 ， 两组成对数据的样本相关系数分别为 = 0.97， = 0.99，则 组数据比 组数据的相关性较强
B.若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则决定系数 2的值为 1
C.若样本点的经验回归方程为 = 0.4 + 1.2，则在样本点(2,1.7)处的残差为 0.3
D.以 = e 模型去拟合一组数据时，为求出回归方程，设 = ln ，将其变换后得到线性方程 = 2 + 3，
则 ， 的值分别是e3和 2
11.已知 ( )的定义域为 ，若 ( 3)为奇函数， ( 2)为偶函数，当 ∈ [0,1]时， ( ) = e e ，则( )
A. ( 5) = 0 B. (6) = e
C. ( ) 7 17为偶函数 D. 2 < 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.(2 + 1)(3 2)4展开式中 2的系数为 ．
13.在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为 0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获
胜，则最终比分为 2：0 的概率为 ．

14 .若 > 0，关于 的不等式e2 ≥ 2 ln 4 + 1 恒成立，则正实数 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知二项式(2 1 )
6．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项．
16.(本小题 15 分)
2025 年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截止 3 月 20 日，
该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前 5 周的票房数据如下表：
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周次 第 1 周 第 2 周 第 3 周 第 4 周 第 5 周
周次代码 1 2 3 4 5
票房总额 /亿元 40 35 25 37 7
(1)求 关于 的线性回归方程 = + ；
(2)该机构随机调查了某电影院 2 月 15 日 200 位观影人的购票情况，其中购买《哪吒之魔童闹海》的男性
有 80 人，女性有 70 人，购买其他电影的男性有 30 人，女性有 20 人，完成 2 × 2 列联表，并判断是否有
99％的把握认为是否购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关．
购买《哪吒》 购买其他电影 合计
男性
女性
合计
附：①5 5 2 =1 = 368, =1 = 55，在利用最小二乘法求得的线性回归方程 = + 中， =
=1 , = ;
2 2 =1
2 = ( )
2
② ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
2 ≥ 0 0.100 0.050 0.010
0 2.706 3.841 6.635
17.(本小题 15 分)
我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛
中犯规 4 次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员
3 2
都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为5和5，且球员 每场比赛犯规 4 次以上的概率为
1
4．
(1)求甲班第二场比赛获胜的概率；
(2)用 表示比赛结束时比赛场数，求 的分布列；
(3)已知球员 在第一场比赛中犯规 4 次以上，求甲班比赛获胜的概率．
18.(本小题 17 分)
某市共有教师 1000 名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了 10 名教师利用
“学习 ”学习的时长(单位：小时)：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于 80 小
时的教师评为“研修先进个人”．
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(1)现从该样本中随机抽取 3 名教师的学习时长，求这 3 名教师中恰有 2 名教师是研修先进个人的概率．
(2)若该市所有教师的学习时长 近似地服从正态分布 , 2 ，其中 = 10, 为抽取的 10 名教师学习时长
的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于 50 小时的教师的人数(结果四舍五人到整数)；
②若从该市随机抽取的 名教师中恰有 名教师的学习时长在[50,70]内，则 为何值时， ( = 10)的值最大？
附：若随机变量 服从正态分布 , 2 ，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈
0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973．
19.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = ln + 2 ( + 1) , ∈ R．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)求函数 ( )在区间 2, e 上的最小值；
(3)当 ≤ 1 时，判断函数 ( )的零点个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.24
13.59
14.2e
15.(1) (2 1易得二项式 )6 的通项公式为：
3
= C +1 6(2 )6
1 = ( 1) 26 C

6
6 2 ， = 0,1,2, , 6．
6 3 令 2 = 0，解得 = 4，
故该二项式的展开式中的常数项为 4 2 45 = ( 1) 2 C6 = 60．
(2)因 = 6，二项展开式共有 7 项，
由二项式定理性质知二项式系数最大的项为第四项，
3×3 3
即 4 = ( 1)3C3 3
6
62 2 = 160 2．
16.(1) 1解：由前 5 周的票房数据，可得 = 5 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3，
= 15 (40 + 35 + 25 + 37 + 7) = 28.8，
5
= =1 5 = 368 5×3×28.8所以 5 2 2 55 5×32 = 6.4，则 = 28.8 ( 6.4 × 3) = 48， =1 5
故所求的线性回归方程为 = 6.4 + 48．
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(2)解：由题意，可得 2 × 2 列联表如下．
购买《哪吒》 购买其他电影
男性 80 30 110
女性 70 20 90
合计 150 50 100
2 = ( )
2
= 200×(80×20 30×70)
2
可得 ( + )( + )( + )( + ) 150×50×110×90 ≈ 0.673 > 6.635，
故没有 99％的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关．
17.(1)设 为“第 场甲队获胜“， 为“球员 第 场上场比赛“， = 1，2，3，
根据全概率公式可得 ( 2) = ( 2) ( 2| 2) + ( 2) (
3 3 3
2| 2) = 4 × 5+ (1 4 ) ×
2 11
5 = 20；
(2)由题意可得 = 2，3，
( 3 11又 1) = 5，由(1)知 ( 2) = 20，
∴ ( 1) =
2
5， ( ) =
9
2 20，
∴ ( = 2) = ( 1 2) + ( 1 2) = ( 1) ( 2) + (
3 11 2 9 51
1) ( 2) = 5 × 20 + 5 × 20 = 100，
∴ ( = 3) = 1 ( = 2) = 49100，
所以 的分布列为：
2 3

51 49
100 100
(3) ∵ ( 2) =
1 2
4，此时 ( 3) = 5，
∴ 3 2 3 3 2 2 2 2 56所求概率为： ( 1 2| 2) + ( 1 2 3| 2) + ( 1 2 3| 2) = 5 × 5 + 5 × 5 × 5 + 5 × 5 × 5 = 125．
18.(1)设事件“抽取的 3 名教师中恰有 2 名教师是研修先进个人”为 ．
由题知样本中学习时长不低于 80 小时的人数为 3，时长低于 80 小时的人数为 7，
2 1
则 ( ) = C3C7 = 7
C310 40
，
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7
所以这 3 名教师中恰有 2 名教师是研修先进个人的概率为40．
(2) = 35+43+90+83+50+45+82+75+62+35①由样本数据知， 10 = 60, = 10．
因为 ( ≥ 50) = ( ≥ ) = ( ≤ ≤ + ) 12 + 2 ≈ 0.84135，
所以 0.84135 × 1000 ≈ 841，
所以，学习时长不低于 50 小时的教师人数为 841．
②每名教师的学习时长在[50,70]内的概率为 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，
由题意可知 ( , 0.6827)，则 ( = 10) = C10 × 0.682710 × 0.3173 10，
10 10 9
设 ( ) = C10 × 0.682710 × 0.3173 10( ≥ 10)
( +1) = C +1×0.6827 ×0.3173，则 ( ) C10×0.682710×0.3173 10 =
0.3173 +0.3173
9
．
0.3173 +0.3173 93173 4422
令 9 > 1，得 < 6827 = 13 6827，所以当 ≤ 13 时， ( + 1) > ( )，
0.3173 +0.3173
令 9 < 1，得 > 13
4422
6827，所以当 ≥ 14 时， ( + 1) < ( )，
所以当 = 14 时， ( )最大，即使 ( = 10)最大的 的值为 14．
19.(1)由题意得 ( )的定义域为(0, + ∞)，
则 ′( ) = + ( + 1) =
( )( 1)
, ( > 0)
当 ≤ 0 时， ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，
故 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增；
当 0 < < 1 时，令 ′( ) > 0 可得 > 1 或 0 < < ，令 ′( ) < 0 可得 < < 1，
故 ( )在(0, )和(1, + ∞)上单调递增，在( , 1)上单调递减；
当 = 1 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 1 时，令 ′( ) > 0 可得 > 或 0 < < 1，令 ′( ) < 0 可得 1 < < ，
故 ( )在(0,1)和( , + ∞)上单调递增，在(1, )上单调递减．
(2) 由已知得 ′( ) = + ( + 1) =
( )( 1)
, ( > 0)，
当 ≤ 2 时， ′( ) > 0 在区间[2, e]上恒成立，函数 ( )单调递增，
函数 ( )的最小值为 (2) = ln2 + 2 2( + 1) = ln2 2 ，
当 ≥ e 时， ′( ) < 0 在区间[2, e]上恒成立，函数 ( )单调递减，
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2
( ) (e) = + e e( + 1) = e + e
2
函数 的最小值为 2 2 e，
当 2 < < e 时，列表如下：
(2, ) ( , e)

′( )
+
( )
单调递减 单调递增
2 2
函数 ( )的最小值为 ( ) = ln + 2 ( + 1) = ln

2 ．
综上可得：当 ≤ 2 时，函数 ( )的最小值为 (2) = ln2 2 ，
2
当 ≥ e e时，函数 ( )的最小值为 (e) = e + 2 e，
2
当 2 < < e 时，函数 ( )的最小值为 ( ) = ln 2 ．
(3)当 ≤ 1 时， ′( ) = ( )( 1) ，
①当 0 < < 1 时，由(1)知函数 ( )在( , 1)上单调递减，
在(0, ), (1, + ∞)上单调递增，
1
又因为 ( ) = ( ) = ln 2极大值 2 < 0，而 趋近正无穷时， ( )趋近正无穷，
故 ( )在(0, + ∞)上只有一个零点；
2
②当 = 1 时， ( ) = ln + 2 2 ， ( )在(0, + ∞)上单调递增，且连续不间断，
且 (1) = 32 < 0, (4) = ln4 > 0，故 ( )在(0, + ∞)上只有一个零点．
2
③当 = 0 时，令 ( ) = 2 = 0，解得 = 2，即 ( )在(0, + ∞)上只有一个零点，
④当 < 0 时，令 ′( ) > 0 可得 > 1，令 ′( ) < 0 可得 0 < < 1，
所以函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
当 趋近正无穷时， ( )趋近正无穷，当 趋近 0 时， ( )趋近正无穷，
1 1
若 (1) = 2 > 0，即 < 2时， ( )在(0, + ∞)上无零点．
若 (1) = 12 = 0
1
，即 = 2时， ( )在(0, + ∞)上只有一个零点，
1 1
若 (1) = 2 < 0，即 2 < < 0 时， ( )在(0, + ∞)上有两个零点，
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综上：当 < 12时，函数 ( )无零点，
当 = 12或 0 ≤ ≤ 1 时，函数 ( )的零点个数为 1，
当 12 < < 0 时，函数 ( )的零点个数为 2．
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