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2024-2025 学年河南省项城市第三高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有甲、乙等 5 人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有( )
A. 24 B. 36 C. 48 D. 60
2.若C310 = C 10，则 =( )
A. 4 B. 7 C. 3 或 7 D. 4 或 7
3.已知随机变量 ， 满足 = 3 + 1，且 ( ≥ 2) = 0.9，则 ( < 7) =( )
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.1 D. 0.2
5
4. 2 1 的展开式中
3项的系数为( )
A. 55 B. 64 C. 80 D. 124
5.如果随机变量 ～ (3, 2)，且 ( > 1) = 0.72，则 ( ≥ 5) =( )
A. 0.28 B. 0.36 C. 0.72 D. 0.56
6.若变量 与 之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为 = 2 + ，样本点中心为
(3,6.5)，则样本点(2.5,7)的残差为( )
A. 1.5 B. 1.5 C. 0.5 D. 0.5
7.一箱猕猴桃共有 20 个，其中有若干个为烂果(烂果率低于 50%)，从这一箱猕猴桃中任取 2 个，恰有 1
42
个烂果的概率为95，则这箱猕猴桃的烂果个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.设2 = 6 ln3，40.5 = 2e 1， = log2(4 ln2)，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于随机变量 ，下列说法正确的有( )
A.若 ( ) = 1，则 (2 1) = 1 B.若 ( ) = 1，则 (2 1) = 4
C.若 (2,4)，则 ( ) = 4 D.若 (10,0.5)，则 ( ) = 5
10.下列说法正确的是( )
A.残差的平方和越小，模型的拟合效果越好
B. 2 1若随机变量 ～ 3, 3 ，则 + 3 = 1
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C.数据 2，3，5，8，13，21，34 的第 80 百分位数是 21
D.一组数 ， ，…， ( ∈ 1 2 )的平均数为 ，若再插入一个数 ，则这 + 1 个数的方差不变
11.已知函数 ( ) = 2 3 + ln ，则( )
A. ( )的极小值为 2
B. ( )有两个零点
C.存在 使得关于 的方程 ( ) = 有三个不同的实根
D. 2 > ( )的解集为(1, + ∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关
系数分别为 1 = 0.96, 2 = 0.92, 3 = 0.89，则这三人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高．
13 5 3 1.已知 ( ) = 8 , ( | ) = 5 , | = 3，则 ( ) = ．
14 .若对任意的 , ∈ ( , + ∞)，不等式 1ln 2 2ln 11 2 1
> 3 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
求值：(用数字作答)
A5
(1) 123 2C
4
A 77
(2)C3 3 33 + C4 + + C12
16.(本小题 15 分)
新高考“3 + 3”模式中，考生除语文、数学、外语 3 门必考科目外，需从物理、化学、生物、政治、历史、
地理这 6 门中自主选择 3 门作为选考科目，某研究机构为了解学生对全文(政治、历史、地理)的选择是否
与性别有关，从某学校高一年级的 1000 名学生中随机抽取男、女生各 25 人进行模拟选科.经统计，选择全
文的男生有 5 人，选择全文的女生有 15 人．
(1)估计高一年级的男生选择全文的概率；
(2)请完成下面的 2 × 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为选择全文与性别有
关．
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选择全文 不选择全文 总计
男生
女生
总计
附表：
2 ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
( ( )
2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + )
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln 2 ．
(1)求曲线 = ( )在点 1, (1) 处切线的方程；
(2)求函数 ( ) = ( ) + 3 4ln 2 的极值．
18.(本小题 17 分)
某景区经过提质改造后统计连续 5 天进入该景区参观的人数(单位：千人)如下：
日期 3 月 5 日3 月 6 日3 月 7 日3 月 8 日3 月 9 日
第 天 1 2 3 4 5
参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9
(1)建立 关于 的回归直线方程，预测第 10 天进入该景区参观的人数；
(2) 3 1该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为4、4，且出景区与进
1 4
入景区选择相同的门的概率为5，出景区与进入景区选择不同的门的概率为5 .假设游客从东门，西门出入景
区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率．
附：参考数据：5 5 2 =1 = 72, =1 = 55, = 4．

参考公式：回归直线方程 = + ，其中 = =1 2 2 ， = ． =1
19.(本小题 17 分)
11 分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得 1 分，先得 11 分且至少 2
分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成 10：10 后，每一球交换发球权，领先 2 分者胜，该局比赛结
束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币
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3 2
来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为4，乙发球时乙得分的概率为3，各球的比赛结果相互独立，
且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为 10：10，且接下来轮到甲发球．
(1)求再打两个球甲新增的得分 的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率 0；
(3)现用 0估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.甲
13.12/0.5
14.[ 4, + ∞)
5
15.(1) A12 2C4 = 12×11×10×9×8 7×6×5×4 2678
A3 77 7×6×5
2 × 4×3×2×1 = 7 ．
(2)C3 + C33 4 + + C312
= C4 + C34 4 + + C312
= C45 + C35 + + C312
= = C4 = 13×12×11×1013 4×3×2×1 = 715．
16.(1)由题意可知抽取的 25 名男生中，选择全文的有 5 人，
5 1
故高一年级的男生选择全文的概率为：25 = 5．
(2)列联表如下：
选择全文 不选择全文 总计
男生 5 20 25
女生 15 10 25
总计 20 30 50
50(5×10 15×20)2
根据列联表中的数据得， 2 = 25×25×30×20 ≈ 8.333 > 7.879，
所以在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为选择全文与性别有关．
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17.(1) 1函数 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 2，
所以 ′(1) = 1，又 (1) = 2，
所以 = ( )在点 1, (1) 处切线的方程为： ( 2) = ( 1)( 1)，
化简得： + + 1 = 0．
(2)由题意， ( ) = ( ) + 3 4ln 2 = 3ln
2
， ∈ (0, + ∞)．
3 2 2 ′( ) = 1 + = 3 +2 ( 1)( 2) 2 2 = 2 ，
令 ′( ) = 0，解得 = 1 或 = 2，列表如下：
(0,1) (1,2) (2, + ∞)
1 2
′( ) + +
( )
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可知，函数 ( ) 2的极大值为 (1) = 1 3ln1 1 = 1；
极小值为 (2) = 2 3ln2 22 = 1 3ln2．
18.(1) 1+2+3+4+5依题意， = 5 = 3，而
5 5 2
=1 = 72, =1 = 55, = 4，
5 = =1 = 72 5×3×4则 5 = 1.2， = 4 1.2 × 3 = 0.4， =1 2
2 2
55 5×3
因此 = 1.2 + 0.4，当 = 10 时， = 1.2 × 10 + 0.4 = 12.4，
所以 关于 的回归直线方程为 = 1.2 + 0.4，第 10 天进入该景区参观的人数约为 12.4 千人．
(2)记“甲从西门进入景区”为事件 ，“甲从西门出景区”为事件 ，“乙从西门出景区”为事件 ，
( ) = 14 , ( ) =
3
4， ( | ) =
1
5 , ( | ) =
4
5，
1 1 3 4 13 13
由全概率公式得 ( ) = ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = 5 × 4 + 4 × 5 = 20，同理 ( ) = 20，
( ) = ( ) ( ) = 169所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率 400．
19.(1)依题意知， 的所有可能取值为 0，1，2；
( = 0) = 1 × 24 3 =
1
6， ( = 1) =
3 × 2 + 1 1 7 3 1 14 3 4 × 3 = 12， ( = 2) = 4 × 3 = 4，
所以 的分布列为：
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0 1 2
1 7 1
6 12 4
1 7 1 13的均值为 ( ) = 0 × 6 + 1 × 12 + 2 × 4 = 12；
(2)设第一局比赛甲获胜为事件 ，平局后每次再打两个球后甲新增的得分为 ，
则 ( | = 0) = 0， ( | = 1) = ( )， ( | = 2) = 1；
由(1)知， ( = 0) = 16， ( = 1) =
7 1
12， ( = 2) = 4，
由全概率公式得， ( ) = ( = 0) ( | = 0) + ( = 1) ( | = 1) + ( = 2) ( | = 2)
= 16 × 0 +
7
12 ( ) +
1
4，
3 3
解得 ( ) = 5，即第一局比赛甲获胜的概率 0 = 5；
(3) 3 3由(2)知 0 = 5，所以估计甲每局获胜的概率均为5，
根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为 ，
因为每局的比赛结果相互独立，所以 的所有可能取值为 3，4，5，
3
( = 3) = 3 = 27
3 3 2
所以 ， ( = 4) = C1 × 3 × 2 = 162， ( = 5) = C2 3 2 6485 125 3 5 5 625 4 × 5 × 5 = 3125；
2133
所以该场比赛甲获胜的概率为 = ( = 3) + ( = 4) + ( = 5) = 3125．
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