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2024-2025 学年河北省邢台市翰林学校高二下学期第四次质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.盒子中有 5 个大小和形状均相同的小球，其中白球 3 个，红球 2 个，每次摸出 2 个球.若摸出的红球个数
为 ，则 ( ) =( )
A. 45 B.
6 9
5 C. 5 D. 2
2.学校要从 8 名候选人中选 4 名同学组成学生会．已知恰有 3 名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相
同的机会被选中，则甲班恰有 2 名同学被选中的概率为( )
A. 14 B.
2
3 C.
3
7 D.
4
15
3.若(1 + )9 = + + 20 1 2 + + 9 9，则 1 + 2 + 3 + + 9 =( )
A. 1 B. 513 C. 512 D. 511
4.某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了 5 件产品来检测，现
已知这 5 件产品中有 3 件正品，2 件次品，从中不放回地取出产品，每次 1 件，共取两次.已知第一次取得
次品，则第二次取得正品的概率是( )
A. 1 B. 14 3 C.
3 2
4 D. 3
6
5.(2 3)2 1 1 2 的展开式中，含 项的系数为( )
A. 430 B. 435 C. 245 D. 240
6.甲、乙等 5 名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中
随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为( )
A. 3 9 6 1220 B. 50 C. 25 D. 25
7.为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取 ( ∈ N )包食盐，并测量其质量
(单位： ).由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差，已
知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布 ( , 2).假设生产状态正常，记 表示每天抽取
的 包食盐中质量在( 3 , + 3 )之外的包数，若 的数学期望 ( ) > 0.03，则 的最小值为( )附：若随
机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( 3 < < + 3 ) ≈ 0.9973．
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
8.某地区居民的肝癌发病率为 0.1％，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是可能存有误差
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的．已知患有肝癌的人其化验结果 99.9％呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果 0.1％呈阳性，现在某人的
化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是( )
A. 0.999 B. 0.9 C. 0.5 D. 0.1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A.若随机变量 的数学期望 ( ) = 4，则 (2 1) = 7
B.若随机变量 的方差 ( ) = 3，则 (2 + 5) = 6
C.将一枚硬币抛掷 3 次，记正面向上的次数为 ，则 服从二项分布
D.从 7 男 3 女共 10 名学生中随机选取 5 名学生，记选出女生的人数为 ，则 服从超几何分布
10.已知随机变量 的分布列为
4 910
0.30.1 0.2
若 ( ) = 7.5，则下列结论正确的是( )
A. = 7.5 B. = 0.4 C. ( ) = 52.5 D. ( + ) = 7.9
11.已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩 服从正态分布 (100,100)，其中 90 分为及格线，120 分为
优秀线，则下列说法正确的是( )附：随机变量 服从正态分布 , 2 ，则 ( < < + ) ≈ 0.683，
( 2 < < + 2 ) ≈ 0.954， ( 3 < < + 3 ) ≈ 0.997
A.学生数学成绩的期望为 100 B.学生数学成绩的标准差为 100
C.学生数学成绩及格率不超过 0.9 D.学生数学成绩的优秀率约等于 0.023
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 20.已知随机变量 (4, )，若 ( ) + ( ) = 9，则 ( ≥ 1) = ．
15
13.二项式 3 1 的常数项为 (用具体数值表示)．
14.设函数 ( ) = ( 1) e e ， ( ) = ln + ，若 2 ∈ (0, + ∞)， 1 ∈ ，使得 1 ≤ 2 ，
则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 5
在二项式 + 的展开式中
(1)求各二项式系数的和；
(2)求含 2的项的系数．
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16.(本小题 15 分)
在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品，有二等奖奖券 3 张，
每张可获价值 10 元的奖品，其余 6 张没有奖品．顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 的分
布列．
17.(本小题 15 分)
解答下列问题，要求列式并计算结果：
(1)某影城有一些电影新上映，其中有 2 部科幻片 3 部文艺片 2 部喜剧片，小明从中任选 1 部电影观看，
不同的选法种数有多少种；
(2)用 0 6 这 7 个自然数，可以组成多少个没有重复数字的三位数；
(3)有 9 本不同的语文书，7 本不同的数学书，4 本不同的英语书，从中选出不同学科的 2 本书，则不同的
选法有多少种；
(4)3 个不同的球放入 5 个不同的盒子，每个盆子放球的数量不限，共多少种放法？
18.(本小题 17 分)
某闯关游戏共设置 4 道题，参加比赛的选手从第 1 题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答
2
完所有题目．设选手甲答对第 1 题的概率为3，甲答对题序为 的题目的概率 = ， ∈ 1,2,3,4 ，各题回答
正确与否相互之间没有影响．
(1)若甲已经答对了前 3 题，求甲答对第 4 题的概率；
(2)求甲停止答题时答对题目数量 的分布列与数学期望．
19.(本小题 17 分)
( ) = cos 已知函数 e +1．
(1)若 = 1，求 ( )的单调递增区间．

(2)当 ∈ 0, + ∞ 时， ( ) ≤ e + e +1恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6581
13.5005
14.[ 1, + ∞)
15.【详解】(1)二项式系数的和为：C0 15 + C5 + C25 + C3 + C4 5 55 5 + C5 = 2 = 32；
2 3 (2)二项展开式的通项为： = C 5 = C 2 5 +1 5 5 2 ，
依题意，令 5 3 2 = 2，解得 = 2，则有
2 2 2 2
3 = C52 = 40 ，
故 2的系数为 40．
16.【详解】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 的取值只有 1 和 0 两种情况．
1
( = 1) = C41 =
4
10 =
2
，
C10 5
则 ( = 0) = 1 ( = 1) = 1 2 = 35 5．
因此 的分布列为：
0 1
3 2
5 5
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17.【详解】(1)小明从中任选 1 部电影观看，则小明可以选择科幻片 文艺片或喜剧片，
不同的选法种数有 2 + 3 + 2 = 7 种；
(2)百位数字有 6 种不同的选法，十位有 6 种不同的选法，个位有 5 种不同的选法，
由分步计数原理可得共有 6 × 6 × 5 = 180 种；
(3)从语文和数学中选择有 9 × 7 = 63，从语文和英语中选择有 9 × 4 = 36，从数学和英语中选择有 4 × 7 =
28，
总共有 63 + 36 + 28 = 127 种不同的选择；
(4)每个球可以放入 5 个盒子中的任何一个盒子有 5 种放法，
故由分步计数原理可得共有 5 × 5 × 5 = 125 种不同的放法．
18. 2 2 2【详解】(1)解：因为选手甲答对第 1 题的概率为3，所以 = 3，即 = 3 ，
1
所以若甲已经答对了前 3 题，则甲答对第 4 题的概率为6．
(2) = 2 = 1 = 2 = 1解：由题意得 1 3， 2 3， 3 9， 4 6．
随机变量 可取 0,1,2,3,4，
1
则 ( = 0) = 3， ( = 1) =
2 × 2 = 43 3 9， ( = 2) =
2 × 1 × 7 143 3 9 = 81，
( = 3) = 23 ×
1
3 ×
2
9 ×
5 10
6 = 243， ( = 4) =
2
3 ×
1 2 1 2
3 × 9 × 6 = 243．
所以随机变量 分布列如下：
0 1 2 3 4
1 4 14 10 2
3 9 81 243 243
所以 ( ) = 0 × 1 4 143+ 1 × 9 + 2 × 81 + 3 ×
10
243 + 4 ×
2 230
243 = 243．
19.【详解】(1) = 1 时， ( ) = cos ′e +1 ( ) =
sin cos
e +1 ，
令 ′( ) > 0 sin cos = 2sin + π4 > 0，
+ 2 < + π4 < 2π + 2kπ， ∈ Z
3
4π + 2 < <
7
4 π + 2 π, ∈ Z．
则 ( ) 3 7的单调递增区间为： 4π + 2 π, 4π + 2 π , ∈ Z．
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(2) ( ) ≤ e + cos e + e +1 e +1 ≤ e +1 e + cos ≥ 0，
e
则 ∈ 0, + ∞ + 时， ( ) ≤ e +1恒成立，
等价于 ∈ 0, + ∞ 时，e + cos ≥ 0 恒成立．
令 ( )= e + cos , ∈ [0, + ∞)，则 ′( )= e + + sin , ∈ [0, + ∞)
令 ( )= e + + sin , ∈ [0, + ∞)，则 ′( )= e + cos ≥ e 1 > 0，
即 ( )在[0, + ∞)上单调递增，且 (0) = + 1，则 ( ) ≥ + 1，即 ′( ) ≥ + 1．
当 ≥ 1 时， ′( ) ≥ 0，则 ( )在[0, + ∞)上单调递增．
又 (0) = 0，则 ≥ 1 时， ( ) ≥ 0.即 ∈ 0, + ∞ 时e + cos ≥ 0 恒成立．
当 < 1 时， ′(0) = + 1 < 0，
则存在 ′0 ∈ (0, + ∞)，使得 ( ) < 0 在 0, 0 上恒成立，故 ( )在 0, 0 上单调递减，
则 0 < (0) = 0 不符题意．
e +
综上可知，当 ∈ 0, + ∞ , ( ) ≤ e +1恒成立时， ≥ 1．
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