资源简介

2024-2025 学年江西省崇义中学高二下学期质检
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = 1,0,1,2,3 ， = { ∣ 1 ≤ < 2}，则 ∩ =( )
A. 1,0 B. 0,1,2 C. 1,0,1 D. 1,0,1,2
2.已知 、 、 ∈ ，则“ = ”是“ 2 = 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知等差数列 的前 项和为 , 1 = 1, 9 = 6 5 + 27，则 5 =( )
A. 25 B. 27 C. 30 D. 35
4.函数 ( ) = 4 3 2 2 + 2 在 = 1 处有极小值 3，则 的值等于( )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
5.若函数 ( ) = log ( + 1) + 2( > 0 且 ≠ 1)
2
的图象恒过定点 ( , )，则函数 ( ) = e( +1) 的单调
递增区间为( )
A. (1, + ∞) B. ( ∞,1) C. ( ∞, 1) D. ( 1, + ∞)
6 1 1.已知非负实数 , 满足 + = 1，则 + 1+ 的最小值为( )
A. 73 B. 2 C.
9 D. 45 3
7.已知 ′( )为函数 ( )的导函数，当 > 0 时，有 ( ) ′( ) > 0 恒成立，则下列不等式一定成立的是
( )
A. 1 12 > 2 4 B.
1
2 < 2
1
4
C. 12 > (1) D.
1
2 < (1)
8.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个
常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列 是由正数组成的等方差
1
数列，且方公差为 2， 13 = 5，则数列 的前 项和 =( ) + +1
A. 2 +1 12 B.
2 1 1
2 C. 2 + 1 1 D. 2 1 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中不正确的是( )
第 1页，共 6页
′
A. 3 ′ = 3 ln3 B. log ′ =
ln ′ 1 1 1
C. 3 = 3 D. 3 = 3 2
10.数列 的前 项和为 ，已知 = 2 + 7 3，则( )
A. 10 = 12 B. 是递减数列
C.当 > 4 时， < 0 D.当 = 3 或 4 时， 取得最大值
11.定义在(0, + ∞)上的函数 ( ) 满足：对于定义域上的任意 1, 2，当 1 ≠ 2时，恒有 2 1 1 2 > 0，1 2
则称函数 ( )为“理想函数”.给出下列四个定义域为(0, + ∞)的函数，其中能被称为“理想函数”的有( )
A. ( ) = 1 B. ( ) = 2 C. ( ) = 2 + 1 D. ( ) = 2 +
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 ∈ R, < 2 + 1，则实数 的取值范围是 . (用区间表示)
13.已知函数 ( ) = 3 ′(1) 2 + ln + 1 ( ′2 ( )是 ( )的导函数)，则 (1) = ．
14.将正方形 分割成 2 ≥ 1, ∈ 个全等的小正方形(图 1、图 2 分别给出了 = 2,3 的情形)，在每
个正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形 的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等
9
差数列.若顶点 , , , 处的四个数互不相同且和为 1，记所有顶点上的数和为 ( )，则有 (2) = 4，
(3) = ，…， ( ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)计算：lg5 + lg22 + lg2 lg5 + log225 log254；
4 1
3 3 3
(2) ÷ 1 化简： 2 2 ×
3
3+3 + 3
16.(本小题 15 分)
6
已知首项不为 1 的正项数列 ，其前 项和为 ，且点 , +2 在直线 = + 1 上.
(1)求数列 的通项公式；
(2) 1设 = + ，求数列 的前 项和．
17.(本小题 15 分)
第 2页，共 6页
已知函数 ( ) = 3 2( ≠ 0)，且 ′(1) = 1，求：
(1) 的值；
(2)曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(3)函数 ( )在区间[0,2]上的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知 e 是自然对数的底数， ( ) = e + e , ∈ R．
(1)若 ( )是偶函数，求实数 的值；
(2)在(1)的条件下，用单调性定义证明函数 ( )在[0, + ∞)上是增函数；
(3)在(1)(2)的条件下解不等式 (2 ) ≥ ( + 1)
19.(本小题 17 分)
已知集合 = 1, 2, , ， ∈ N ， ≥ 3，若 ∈ ， ∈ ， + ∈ 或 ∈ ，则称集合 具有“包
容”性．
(1)判断集合 1,1,2,3 和集合 1,0,1,2 是否具有“包容”性；
(2)若集合 = 1, , 具有“包容”性，求 2 + 2的值；
(3)若集合 具有“包容”性，且集合 的子集有 64 个，1 ∈ ，试确定集合 ．
第 3页，共 6页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞,1)
13.1
2
14. ( +1)4；
4
15.解：(1)原式= lg5 + lg2 lg2 + lg5 + ln25 2ln2ln2 × ln25 = lg5 + lg2 + 2 = 1 + 2 = 3．
1 1 1 2 1 1 2
1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 1
3
(2) = ( )
3 3 1 + + 3 1
原式 2 1 1 2 ÷ 1 × 3 =

2 1 1 2 1 1 3 = ．
3+ 3 3+ 3 3 3+ 3 3+ 3 3 3
16.解：(1) 6 由题意得 +2 = 1 + ，所以 6 = 1+ 2 + ，
故当 ≥ 2 时，6 1 = 1+ 1 2 + 1 ，两式相减得，6 = 3 3 2 2 1 + 1，
整理化简得，3 + 1 = + 1 1 ，因为 + 1 ≠ 0，所以 1 = 3，
因为 6 1 = 1 + 1 2 + 1 = 6 1，解得 1 = 2 或 1 = 1(舍去)，
故数列 为首项为 2，公差为 3 的等差数列，所以 = 2 + 3( 1) = 3 1；
2
(2) ( 1) 3 + 1 2 2 1 1由(1)得 = 2 + 2 × 3 = 2 ，所以 = + = 3 ( +1) = 3 +1 ，
2 1 1 1 1 1 2 1 2 所以数列 的前 项和 = 3 1 2 + 2 3 + + +1 = 3 1 +1 = 3( +1)．
17.解：(1) ∵ ( ) = 3 2，∴ ′( ) = 3 2 2
第 4页，共 6页
∴ ′(1) = 3 2 = 1，解得： = 1
(2)由(1)知 ( ) = 3 2，所以 (1) = 0，
曲线 = ( )在点 1, (1) 处的斜率为 = ′(1) = 1，
所以切线方程 (1) = ( 1)，即 = 1，
即 1 = 0．
(3)由(1)可知： ( ) = 3 2， ′( ) = 3 2 2 ，
令 ′( ) = 3 2 2 = 0 2，解得 1 = 0, 2 = 3，
故当 ∈ 0, 23 时，
′( ) < 0，所以 ( )单调递减；
2
当 ∈ ′3 , 2 时， ( ) > 0，所以 ( )单调递增；
所以 ( )区间[0,2]内，当 = 0 或 = 2 时可能取最大值，
又 (0) = 0, (2) = 23 22 = 4，
所以 ( )最大值为 (2) = 4．
18.解：(1)由 ( )是偶函数，得 ( ) = ( )，即e + e = e + e ，
整理得 (e2 1) = e2 1，而e2 1 不恒为 0，
所以 = 1．
(2)由(1)知， ( ) = e + e ，任取 1, 2 ∈ [0, + ∞), 1 < 2,
2 1
则 ( ) ( ) = e 1 + e 1 (e 2 + e 2) = e 1 2 1 e 2 +
e e 1 2
1
e 1 e 2 = (e e )(1 e 1 e 2 )，
由 0 ≤ 1 < 2，得 1 ≤ e 1 < e 2，即e 1 e 2 < 0,1
1
e 1 e 2 > 0，则 ( 1) ( 2) < 0，
因此 ( 1) < ( 2)，所以函数 ( )在[0, + ∞)上是增函数．
(3)由(1)知，不等式 (2 ) ≥ ( + 1)化为： (|2 |) ≥ (| + 1|)，
由(2)知，|2 | ≥ | + 1| 3 2 2 1 ≥ 0，解得 ≤ 13或 ≥ 1，
所以原不等式的解集为( ∞, 13 ] ∪ [1, + ∞)．
19.解：(1)(Ⅰ)集合 1,1,2,3 中的 3 + 3 = 6 1,1,2,3 ，3 3 = 0 1,1,2,3 ，
所以集合 1,1,2,3 不具有“包容”性．
第 5页，共 6页
集合 1,0,1,2 中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合 1,0,1,2 ，
所以集合 1,0,1,2 具有“包容”性．
(2)(Ⅱ)已知集合 = 1, , 具有“包容”性，记 = max 1, , ，则 ≥ 1，
易得 2 1, , ，从而必有 0 ∈ 1, , ，
不妨令 = 0，则 = 1,0, ， ≠ 0 且 ≠ 1，
则 1 + , 1 ∩ 1,0, ≠ ，
且 1 + , 1 ∩ 1,0, ≠ ，
①当 1 + ∈ 1,0, 时，若 1 + = 0，得 = 1，此时 = 1,0, 1 具有包容性；
若 1 + = 1，得 = 0，舍去；若 1 + = ，无解；
②当 1 + 1,0, 时，则 1 , 1 1,0, ，由 ≠ 0 且 ≠ 1，可知 无解，
故 = 1,0, 1 ．
综上， 2 + 2 = 1．
(3)(Ⅲ)因为集合 的子集有 64 个，所以集合 中共有 6 个元素，且 0 ∈ ，又 1 ∈ ，且 中既有正数也有
负数，
不妨设 , 1, , 1, 0, 1, 2, , ，
其中 + = 5，0 < 1 < < ，0 < 1 < < ，
根据题意{ 1 , , 1 } { , 1, , 1}，
且{ 1, 1 1, , 2 1} { 1, 2, , }，
从而( , ) = (2,3)或(3,2)．
①当( , ) = (3,2)时， 3 1, 3 2 = 1, 2 ，
并且由{ 3 + 1, 3 + 2} = { 1, 2}，得 3 = 1 + 2，由 2 1 ∈ { 1, 2}，得 2 = 2 1，
由上可得( 2, 1) = ( 3 1, 3 2) = ( 2, 1) = (2 1, 1)，并且 3 = 1 + 2 = 3 1，
综上可知 = 3 1, 2 1, 1, 0, 1, 2 1 ；
②当( , ) = (2,3)时，同理可得 = { 2 1, 1, 0, 1, 2 1, 3 1}．
综上， 中有 6 个元素，且 1 ∈ 时，符合条件的集合 有 5 个，
1
分别是 2, 1,0,1,2,3 ， 1, 2 , 0,
1 , 1, 32 2 ，
2 1 1 2
3 , 3 , 0, 3 , 3 , 1 ，
3, 2, 1,0,1,2 3或 2 , 1,
1
2 , 0,
1
2 , 1 ．
第 6页，共 6页

展开更多......

收起↑