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2024-2025 学年广西柳州市铁一中学高二下学期 4 月期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = | | < 1 ， = ∣ = e ，则 ∩ =( )
A. B. ( 1,0) C. (0,1) D. ( 1,1)
2.若 1 + i i = 2 i 2，则 =( )
A. 3 4i B. 3 5i C. 5 + 5i D. 3 + 5i
3.已知 tan + π4 =
2 sin cos2
3，则sin cos =( )
A. 1310 B.
10
13 C. 1 D. 3
4.已知圆 : ( 1)2 + 2 = 1 和直线 : = 3 3，则“ > 3 ”是“直线 与圆 有公共点”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知 = e0.1 1， = ln 3， = sin2，则 , , 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.已知向量 ， 满足 2 = 2 = 2，且 = 1，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 1 14 4 2 D. 2
7.已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ， (0,2)，点 在抛物线 上，且 ⊥ ，则| | =( )
A. 4 B. 5 C. 8 D. 9
8.已知数列 的首项为 1，且 +1 = 2 ( ∈ ), = 2log2 + 1 1，设数列 中不在数列
中的项按从小到大的顺序排列构成数列 ，则数列 的前 100 项和为( )
A. 11449 B. 11195 C. 11209 D. 11202
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(1 2 ) = 2 0 + 1 + 2 + + ，展开式中的所有项的二项式系数和为 64，下列说法正确的
是( )
A. = 8 B. 0 = 1
C. 3 = 160 D. 1 + 2 + + 6 = 3 1
10.关于下列命题中，说法正确的是( )
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A.若事件 、 相互独立，则 = ( )
B.数据 63，67，69，70，74，78，85，89，90，95 的第 45 百分位数为 78
C.已知 ( ) = 0.65， ( ) = 0.32，则 = 0.33
D.已知 ～ (0,1)，若 ( ≤ 1) = ，则 ( 1 ≤ ≤ 0) = 12
11.若两曲线 = 2 1 与 = ln 1 存在公切线，则正实数 的取值可能是( )
A. 1 B. e C. 2e D. 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 是公差不为 0 的等差数列，且 1， 2， 4成等比数列.则该等比数列的公比为 ．
13.已知空间四边形 中， = = = 2， = 1， = 3，若二面角 的大小是120°，
则该几何体的外接球表面积为 ．
14.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双
曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知 1, 2
2 2
分别为双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过右支上一点 作双曲线 的切线与 轴交于点 ，
设 2π 为 1 2的内心，且 3 11 = 5 2 , ∠ 1 2 = 3 ，则 =
| |
，
2 | |
= ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 cos + cos = 2 cos ．
(1)求角 ；
(2)若 = 16，求 外接圆面积的最小值．
16.(本小题 15 分)
如图，三棱台 1 1 1中， 是正三角形， 1 ⊥平面 ， = 2 1 = 2 1 1 = 4， ， 分别
为棱 , 1 的中点．
(1)证明： 1 ⊥平面 ；
(2)求直线 1 与平面 所成的角的正弦值．
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17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 : 12 + 4 = 1.斜率为 1 的直线 与椭圆 交于 , 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点为 ( 3,2)．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)求 的面积．
18.(本小题 17 分)
某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和
教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放
市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数 (0 < ≤ 10)
与孩子的喜爱程度 (0 ≤ ≤ 1)进行统计调查，得到如下数据表：
5 6 7 8 9
0.550.500.600.650.70
(1)请根据上表提供的数据，通过计算变量 , 的相关系数 ，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程
度相关性很强(当| | ∈ [0.75,1]时， 与 相关性很强)；
(2)机器人的交互性很强，孩子可以通过输入语音给机器人发布执行指令.机器人执行命令的正确率为 90％，
出错率为 10％.当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为 80％；当机器人执行出错时，使用者满意
的概率为 30％.如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，求机器人实际正确执行命令的概率是多少？
(3)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答 4 个题，若小李答对题数不
小于 3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为 1，答对后两道题的概率均为 2.假设每次答题相互
3
独立，且互不影响，当 1 + 2 = 2时，求小李挑战成功的概率的最大值．

参考公式：相关系数 = =1 ．
2 2 =1 =1
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 cos ( ∈ )
(1)当 = 1 时，求 ( )的零点个数；
(2)若 ∈ , ( ) ≤ 0，求 的最大值；
(3)证明： ∈ , 1 < 1 =1 cos ．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13. 52 52【答案】 9 / 9
14. 5 8【答案】3 ； 7
15.(1)由 cos + cos = 2 cos ，根据正弦定理，
则 sin cos + sin cos = 2sin cos ，
即 sin( + ) = 2sin cos ，由 + + = π，则 sin = 2sin cos ，
由 0 < < π，即 sin > 0，则 cos = 12，解得 =
π
3．
(2)由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ≥ 2 = 16，
当且仅当 = 时，等号成立，则 的最小值为 4，
4 3设 的外接圆的半径为 ，由正弦定理可得 2 = sin ，则 的最小值为 3 ，
16
所以外接圆面积的最小值为 3 π．
16.(1)因为 是正三角形， 为 中点，所以 ⊥ ，
因为 1 ⊥平面 , 平面 ，所以 ⊥ 1 ，
又 1 ∩ = , 1 , 平面 1 1,
所以 CM ⊥平面 1 1,
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又因为 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1 ，
连接 1，易得 1 = 1 = 2 2，
所以 2 = 21 + 21 ，所以 1 ⊥ 1 ，
又因为 1// ，所以 ⊥ 1，
因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ．
(2)取 中点 ，连接 , 1 ，易知 , , 1三条直线两两垂直，
以 为坐标原点， , , 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 1( 3, 1,2), (2 3, 0,0), (0,2,0), 1(0,0,2)，
由(1)知平面 的一个法向量为 1 = ( 3, 1, 2)，又 1 = (0,2, 2)，
1 1 6 3
所以 cos 1 , 1 = = = ， 1 1 2 2 2 2 4
所以直线 1
3
与平面 所成的角的正弦值为4．
17.(1) = 2 3 2 2 6由已知有 ， = 2，故 = 2 2，所以离心率 = = 2 3 = 3 ．
(2)
如图，设 1, 1 ， 2, 2 ， 的中点为
1+ 2 1+ 2
2 , 2 ．
1 = 则由 1 2 = ，可知 1 2 = 1 2．1 2
2 2 2 2
而 1
1 2 2 2 2 2 2
12+ 4 = 1 = 12 + 4，故 0 = 1 2 + 3 1 2 = 1 2 1 + 2 + 3 1 2 1 + 2 = 1
2 1 + 2 + 3 1 + 2 ．
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所以 1 +
+ +
2 + 3 1 + 2 = 0，从而 1 2 , 1 22 2 在直线 + 3 = 0 上.
由| | = | | 1知 ⊥ ，故 = = 1，结合 ( 3,2)可知直线 的方程为 + = 1．
3 1
所以 是直线 + 3 = 0 和 + = 1 的交点，故 2 , 2 ．
而 = 1，故 的方程为 = + 2，与椭圆联立解得 ( 3, 1)， (0,2)．
3 2 1 1 3 2 9
所以| | = 2 ，| | = 3 2，故 = 2 | | | | = 2 2 3 2 = 2．
18.(1) = 5+6+7+8+9由表知， 5 = 7，
= 0.55+0.50+0.60+0.65+0.705 = 0.6，
5
= (5 7) × (0.55 0.6) + (6 7) × (0.50 0.6)
=1
+(7 7) × (0.60 0.6) + (8 7) × (0.65 0.6) + (9 7) × (0.70 0.6) = 0.45，
5 2 =1 = (5 7)
2 + (6 7)2 + (7 7)2 + (8 7)2 + (9 7)2 = 10，
5
2 = (0.55 0.6)2 + (0.50 0.6)2 + (0.60 0.6)2
=1
+(0.65 0.6)2 + (0.70 0.6)2 = 0.025，
5
则 = =1
= 0.45 = 0.9 ∈ [0.75,1]，
5 =1 2
5 2 10×0.025
=1
由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强．
(2)设事件 1为机器人执行命令正确”，事件 2为“机器人执行命令错误”，
事件 为“使用者不满意”，
则 1 = 90％ = 0.9， 2 = 10％ = 0.1，
1 = 1 80％ = 0.2， 2 = 1 30％ = 0.7，
则 ( ) = 1 1 + 2 2 = 0.9 × 0.2 + 0.1 × 0.7 = 0.25，

所以 = 1 = 1 1 = 0.9×0.21 ( ) ( ) 0.25 = 0.72．
(3)当小李答对题数为 3 时，概率为：
21 C1 1 22 2 1 2 + C2 1 1 1 2 = 2 1 2 1 + 2 2 1 2 = 2
3
1 2 2 2 1 2 ，
当小李答对题数为 4 时，概率为： 21 22，
3
所以小李挑战成功的概率为：2 1 2 2 2 1 2 +
2
1 22 = 3 1 22 + 3 1 2，
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由 1 + =
3
2 2，0 ≤ 1 ≤ 1，0 ≤ 2 ≤ 1，
≤ 1+
2
2 = 9则 1 2 2 16，当且仅当 1 = =
3
2 4时等号成立，
所以 1 2 ∈ 0,
9
16 ，由二次函数的知识可知，
2
当 1 2 =
1 1 1 3
2时，小李挑战成功的概率最大，最大为 3 × 2 + 3 × 2 = 4．
19.(1)当 = 1 时， ( ) = 2 2 cos ，所以 ′( ) = sin 2 ，
令 ( ) = sin 2 ，则 ′( ) = cos 2 < 0，
所以 ( )在 上单调递减，即 ′( )在 上单调递减，
又 ′(0) = 0，则 ′( ) < 0 的解集为(0, + ∞)，则 ′( ) > 0 的解集为( ∞,0)，
所以 ( )在区间(0, + ∞)上单调递减，在区间( ∞,0)上单调递增，
又因为 (0) = 1 > 0, (2) = ( 2) = 2 cos2 < 0，
所以存在 1 ∈ ( 2,0), 2 ∈ (0,2)，使得 1 = 2 = 0，
所以 ( )有两个零点．
(2)由 (0) = 2 1 ≤ 0，得 ≤ 1 12，下证当 = 2时， ∈ , ( ) ≤ 0，
令 ( ) = 1 2 ′2 2 cos ，则 ( ) = sin ，
令 ( ) = sin ，则 ′( ) = cos 1 ≤ 0，
所以 ( )在 上单调递减，又 (0) = sin0 0 = 0，则 ′( ) < 0 的解集为(0, + ∞)，则 ′( ) > 0 的解集为
( ∞,0)，
所以 ( )在区间( ∞,0)上单调递增，在区间(0, + ∞)上单调递减，
所以 ( ) ≤ (0) = 12 × (2 0) cos0 = 0，即 ( ) ≤ 0，
1所以 的最大值为2．
(3)证明：由(2) 1可得 cos ≥ 1 22 ，当且仅当 = 0 时取等号，
1 1 1 2 1 1 2
所以 cos > 1 ，所以 2 2 =1 cos > 2 =1
2
且因为当 ≥ 2 1 1 1 1时， < ( 1) = 1
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 =1 =1 + 22 + 32 + + 2 < 1+ 1 2 + 2 3 + + 1 = 2 < 2，
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所以 2 1 1
2
=1 cos > 2 =1 > 2 2
即 ∈ , 1 < 1 =1 cos ．
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