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2024-2025学年广东省江门市培英高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
2.随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
4.若函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( )
A. B. C. D.
6.九章算术中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这人分成组派去三地执行公务每地至少去人，则不同的方案有种．
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B. C. D.
10.设等差数列的前项和为，若，则( )
A. B.
C. 最大时， D. 的整数的最大值为
11.已知函数在上可导且，其导函数满足，设函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上为单调增函数 B. 是函数的极大值点
C. 函数至多有两个零点 D. 时，不等式
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 用数字作答
13.如图所示，在，间有四个焊接点，，，，若焊接点脱落导致断路则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 种
14.某次考试共道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给分，答错或不答的扣分，每个人的基本分为分．已知赵，钱，孙，李，周，吴人的作答情况及前个人的得分情况如下表，则吴的得分为 ．
人题号 赵 钱 孙 李 周 吴
得分
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校的高二年级有名数学老师，其中男老师人，女老师人．
如果任选人参加校级技能大赛，所选人中女老师人数为，求的分布列；
如果依次抽取人参加市级技能大赛，求在第次抽到男老师的条件下，第次抽到也是男老师的概率．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数、为实数的图象在点处的切线方程为．
求实数、的值；
求函数的单调区间和极值．
18.本小题分
为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立．
若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值；
若，用表示前次甲投篮的次数，求数学期望；
在的条件下，设第次是甲投篮的概率为，求证明：
19.本小题分
阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利的儿子丹尼尔伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式阅读以上材料后请完成以下问题：
求出、、的值；
写出的泰勒展开式至少有项；
设，，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.分
15.解：由题可知的所有可能取值为，，，
依题意得：，，，
的分布列为：
设第次抽到男老师为事件，第次抽到男老师为事件，则第次和第次都抽到男老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．

16.解：由题意，
在等差数列中，设公差为，
由，得，则，
又，，成等比数列，
，，成等比数列，得，即，得，
，，
数列的通项公式为：．
由题意及得，，
在数列中，，
在数列中，，
，
，
，
两式相减得
．

17.解：因为，该函数的定义域为，，
因为函数、为实数的图象在点处的切线方程为，
则，解得．
解：由可得，该函数的定义域为，，
由可得，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值．

18.解：已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况：
情况：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为．
情况：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为
所以．
对于二次函数，图象开口向下，对称轴为，
所以在处取得最大值，．
已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，．
当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则
；
当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为，
第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为，
第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为，
所以，
当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为，
第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为，
第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为，
所以，
当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则，
所以．
已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为．
那么第次是甲投篮有两种情况：
第次是甲投篮且没投进，概率为．
第次是乙投篮且投进，概率为．
所以．
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，即．
当为奇数时，，，单调递增，，且．
当为偶数时，，，单调递减，，且．
综上，．

19.解：由题意可得，，
．
设，则，，，，
以此类推可知，对任意的，，则，
所以，
．
对任意的，要证明，即证，
即证，
令，其中，
则，
所以，函数在上单调递增，
故当时，，即，故原不等式得证．

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