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2024-2025 学年山东省邹城市第一中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.已知集合 = ( , ) 2 = 0 ， = ( , ) 3 + = 0 ，则 ∩ =( )
A. (0,0) B. (0,0) C. = 0, = 0 D. ( = 0, = 0)
2.命题“ > 0，e + 1 ≤ 3 ”的否定是( )
A. ≤ 0，e + 1 > 3 B. > 0，e + 1 ≤ 3
C. > 0，e + 1 > 3 D. > 0，e + 1 > 3
3.某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩 服从正态分布 92, 92 ，将考试成绩从高到低按照 16％、
34％、34％、16％的比例分为 、 、 、 四个等级.若小明的数学成绩为 100 分，则属于等级( )(附： (
< < + ) ≈ 0.68， ( 2 < < + 2 ) ≈ 0.95)
A. B. C. D.
4.某出版社的 11 名工人中，有 5 人只会排版，4 人只会印刷，还有 2 人既会排版又会印刷，现从 11 人中
选 4 人排版，4 人印刷，有( )种不同的选法．
A. 185 B. 216 C. 128 D. 72
5.若函数 ( ) = ln( + )的图象如图， 为常数.则函数 ( ) = e + 的图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知 ( ) = lg(100 + 1) 是偶函数，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
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7.在研究线性回归模型时，若样本数据( , )( = 1,2,3, , )
1
所对应的点都在直线 = 3 + 2 上，则两组
数据 和 ( = 1 , 2 , 3 , , )的线性相关系数为( )
A. 1 B. 1 C. 13 D. 2
8 1.已知函数 ( ) = 2 sin2 cos + 2 在 R 上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. [1, + ∞) B. [ 1,0] C. [ 2,1] D. [ 1,1]
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
9.以下结论正确的是( )
A.若 2 + 2 = 1，则 + 的最大值为 2
B.若( + 1)( + 1) = 4，则 + ≥ 2
C.若 > 0， > 0 1，则 2 + 2 + 的最小值为 2 2
D.若 ∈ 0, π 1 1，则sin2 + cos2 +1 ≥ 2
10.设离散型随机变量 的分布列如下所示，若离散型随机变量 满足 = 2 + 1，则下列说法正确的是( )
0 1 2 3 4
0.4 0.1 2 0.2
A. = 0.1 B. | 2| = 1 = 0.6
C. ( ) = 2, ( ) = 1.8 D. ( ) = 5, ( ) = 8.2
11.已知函数 ( ) = e ∈ R ，则下列结论正确的是( )
A.当 = 0 时， ( )有极大值 B.当 > 0 时， ( 2) < ( 1)
C. ∈ R 4， ( ) ≥ 0 恒成立 D.当 ( )有且仅有两个零点时， = e2
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。

12 e , ≤ 0.已知函数 ( ) = ln , > 0，若 ( ) = e，则实数 = ．
13.哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母、四大龙王共 8 个人物手办，小明随机购买 3 个盲盒(3
个盲盒内人物一定不同)，求其中包含哪吒和至少一位龙王的概率 ；在包含哪吒且不包含敖丙的条件
下，则恰有哪吒父母中的一位的概率为 ．
14.设 ∈ (0,1)，若函数 ( ) = + (1 + ) 在(0, + ∞)上单调递增，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.已知(1 2 ) = 0 + 1 + 22 + + ∈ N 其中 0， 1， 2，…， ∈ R.且(1 2 ) 展开式中
仅有第 5 项的二项式系数最大．
(1)求 值及二项式系数最大项；
(2)求 0 + 1 + 2 + + (用数值作答)；
(3)求 0 + 2 + 4 + 6 + 8的值(用数值作答)．
16 7.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为8，
1 1
当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为2 .已知输入的问题表达不清晰的概率为5．
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 3 个问题(3 个问题相互独立)，设 表示智能客服的回答被采纳的次数.求 的分布列、
期望及方差．
17.研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解 30 40
岁人群的体质健康是否与性别有关，在 3 月感冒易发季节对某社区中该年龄段的 60 位居民进行了检测，将
检测结果制成如下 2 × 2 列联表：
健康状况
性别 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
(1)在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取 9 人，再从这 9 人中随机选取 4 人访谈，记
参与访谈的男性人数为 ，求 的分布列和期望 ( )；
(2)依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，能否据此推断 30 40 岁人群的体质健康与性别有关？若把表
中所有数据扩大到原来的 10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结
论还一样吗？请解释原因．
( )2
附录： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 ， 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并
从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一
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个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；
类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，已知小明能正确回答 类问题的概率为 0.8，能正确
回答 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
19 ( ) = 1.已知函数 + ln(1 + )．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程．
(2)若函数 ( )在(0, + ∞)单调递增，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.e
13. 9 828 ； 15
14. 5 12 , 1
15.解：(1)因为(1 2 ) 展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大，

当 为偶数时，仅有中间一项的二项式系数最大，即2 + 1 = 5，所以 = 8，
故 4 45 = C8 ( 2 ) = 70 × 16 4 = 1120 4．
即 = 8，二项式系数最大项为第 5 项：1120 4；
(2)令 = 1，得 80 1 + 2 + 8 = 3 ，
所以 0 + 1 + 2 + + = 6561．
(3)令 = 1，得 0 + 1 + 2 + + 8 = 1，
令 = 1，得 80 1 + 2 + 8 = 3 ．
1
两式相加可得 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 82 × 3 + 1 = 3281．
16.解：(1)设 =“智能客服的回答被采纳”， =“输入的问题表达不清晰”，
1 4
依题意， ( ) = 5 , ( ) = 5， ( | ) =
1
2 , ( | ) =
7
8，
因此 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 15 ×
1
2 +
4 7 4
5 × 8 = 5，
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4
所以智能客服的回答被采纳的概率为5．
(2) 4依题意， 的所有可能取值为 0，1，2，3， (3, 5 )，
( = 0) = C0( 4 )0( 1 )3 = 1 , ( = 1) = C1( 4 )1( 1 )2 = 123 5 5 125 3 5 5 125，
( = 2) = C2( 4 2 13 5 ) ( 5 )
1 = 48 3 4 3125 , ( = 3) = C3( 5 ) (
1 )0 = 645 125，
所以 的分布列为：

0 1 2 3
1 12 48 64
125 125 125 125
( ) = 3 × 4 = 12 ( ) = 3 × 4 × 1 12数学期望 5 5； 5 5 = 25．
17.解：(1)样本中不感冒的男性有 12 人，女性有 6 人，比例为 2: 1，
2 1
按照性别采用分层抽样的方法抽取 9 人，则抽取男性 9 × 3 = 6 人，女性 9 × 3 = 3 人，
所以随机变量 的所有取值为 1,2,3,4．
C1C3 1 C2C2 5 C3C1
则 ( = 1) = 6 34 = 21， ( = 2) =
6 3 = ， ( = 3) = 6 3 = 10，
C9 C
4
9 14 C
4
9 21
4
( = 4) = C6 = 5
C49 42
，
所以 的分布列为

1 2 3 4
1 5 10 5
21 14 21 42
所以 ( ) = 1 × 1 5 10 5 821 + 2 × 14 + 3 × 21+ 4 × 42 = 3．
(2)提出统计假设 0：30 40 岁人群的体质健康与性别无关．
60×(12×24 6×18)2 20
根据列联表中的数据，经计算得到 2 = 18×42×30×30 = 7 ≈ 2.857，
因为 2.857 < 6.635，假设 0成立，
所以依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，不能据此推断 30 40 岁人群的体质健康与性别有关．
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如果把所有数据都扩大 10 倍后，
2 = 600×(120×240 60×180)
2 200
180×420×300×300 = 7 ≈ 28.57，28.57 > 6.635，
所以依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，能据此推断 30 40 岁人群的体质健康与性别有关．
与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推
断结论发生了变化．
18.解：(1)由题可知， 的所有可能取值为 0，20，100．
( = 0) = 1 0.8 = 0.2；
( = 20) = 0.8(1 0.6) = 0.32；
( = 100) = 0.8 × 0.6 = 0.48．
所以 的分布列为
0 20 100
0.20.320.48
(2)由(1)知， ( ) = 0 × 0.2 + 20 × 0.32 + 100 × 0.48 = 54.4．
若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为 0，80，100．
( = 0) = 1 0.6 = 0.4；
( = 80) = 0.6(1 0.8) = 0.12；
( = 100) = 0.8 × 0.6 = 0.48．
所以 ( ) = 0 × 0.4 + 80 × 0.12 + 100 × 0.48 = 57.6．
因为 54.4 < 57.6，所以小明应选择先回答 类问题．
19. 1解：(1)当 = 1 时， ( ) = 1 ln( + 1)( > 1)，
则 ′( ) = 1 2 × ln( + 1) +
1 1
1 × +1，
据此可得 (1) = 0, ′(1) = ln2，
所以函数在 1, (1) 处的切线方程为 0 = ln2( 1)，即 ln2 + ln2 = 0．
(2)由函数的解析式可得 ′( ) = 1 2 ln( + 1) +
1
+ ×
1
+1 ( > 1)，
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满足题意时 ′( ) ≥ 0 在区间(0, + ∞)上恒成立．
1令 2 ln( + 1) +
1 1
+ +1 ≥ 0，则 ( + 1)ln( + 1) + +
2 ≥ 0，
令 ( ) = 2 + ( + 1)ln( + 1)，原问题等价于 ( ) ≥ 0 在区间(0, + ∞)上恒成立，
则 ′( ) = 2 ln( + 1)，
当 ≤ 0 时，由于 2 ≤ 0, ln( + 1) > 0，故 ′( ) < 0， ( )在区间(0, + ∞)上单调递减，
此时 ( ) < (0) = 0，不合题意;
令 ( ) = ′( ) = 2 ln( + 1) 1，则 ′( ) = 2 +1，
当 ≥ 12，2 ≥ 1
1
时，由于 +1 < 1，所以
′( ) > 0, ( )在区间(0, + ∞)上单调递增，
即 ′( )在区间(0, + ∞)上单调递增，
所以 ′( ) > ′(0) = 0， ( )在区间(0, + ∞)上单调递增， ( ) > (0) = 0，满足题意．
当 0 < < 12时，由
′( ) = 2 1 1 +1 = 0 可得 = 2 1，
∈ 0, 1 1当 2 1 时，
′( ) < 0, ( )在区间 0, 2 1 上单调递减，即
′( )单调递减，
1
注意到 ′(0) = 0，故当 ∈ 0, 1 时， ′( ) < ′2 (0) = 0， ( )单调递减，
由于 (0) = 0，故当 ∈ 0, 12 1 时， ( ) < (0) = 0，不合题意．
1
综上可知：实数 得取值范围是 | ≥ 2 ．
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