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2024-2025学年吉林省吉林市田家炳高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.篮球比赛中每次发球命中得分，不中得分已知某运动员罚球命中率为，则他一次罚球得分的期望为( )
A. B. C. D.
2.名同学去个十字路口作交通协管志愿者，每名同学可自由选择个十字路口，不同选择方法的种数是( )
A. B. C. D.
3.学校运动会，高二年级某班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，则不同参赛方案总数是( )
A. B. C. D.
4.一组样本数据，，，，的平均数为，方差为，则由这组样本数据得到的新样本数据，，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
5.一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球；进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出个球，记取到黄球的个数为，期望方差分别为，；试验二：逐个有放回地随机摸出个球，记取到黄球的个数为，期望和方差分别为，，则下列判断错误的是( )
A.
B.
C.
D. 变量分布列是，
6.为了把田园餐厅打造成“味蕾的乐园”，特举办菜品评选活动已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数比为，由评委团对号菜品和号菜品进行投票每人只能投一票且必须投一票若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有的人投票给号菜品，教工代表中有的人投票给号菜品，从评委团中随机选一名代表、已知他投票给号菜品那么他是学生代表的概率为( )
A. B. C. D.
7.某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额单位：百万元与其年销售量单位：千件的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合与关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述与之间关系的函数为( )
参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为．
参考数据：令
A. B. C. D.
8.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同棣莫弗在年证明了的特殊情形，年，拉普拉斯对一般的进行了证明现抛掷一枚质地均匀的硬币次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过次的概率为 附：若，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 回归直线恒过点，且至少过一个样本点
B. 根据列联表中的数据计算得出，而，则在犯错误的概率不超过的前提下认为两个分类变量有关系
C. 成对样本数据的线性相关性越强，样本相关系数越接近于
D. 某项测量结果服从正态分布，若，则
10.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析后得出坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图，如果某天有可用，根据图中信息李明选择坐公交去学校，取值可以是( )
A. B. C. D.
11.下列命题正确的是( )
A. 的展开式中常数项是
B. 的展开式的中间一项是
C. 的展开式的各二项式系数的和等于
D. 的末尾三位数字是“”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班有团员男生名、女生名，从这人中选出名代表，记选出的代表中男生的人数为，则 ．
13.如图，随机闭合两个开关使电路从处到处只有一条支路接通，可以有 种不同的闭合方法．
14.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型对应的残差如图所示，下列表述正确的有 填序号
变量和之间关系可以用一元线性函数模型描述．
模型误差满足一元线性回归模型的的假设．
模型误差不满足一元线性回归模型的的假设．
模型误差不满足一元线性回归模型的和的假设．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若展开式前三项的二项式系数之和为．
求展开式中二项式系数最大的项及所有二项式系数和；
求展开式中的常数项．
16.本小题分
中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了人，并将结果整理如下：
单位：人
年龄段 态度 合计
不喜欢喝茶 喜欢喝茶
岁以上含岁
岁以下
合计
依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄有关？
以样本估计总体，用频率代替概率该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出人参加茶文化艺术节抽取的人中，岁以下的人数记为，求的分布列与期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
17.本小题分
是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高的应用能力，某公司组织，两部门的名员工参加培训．
此次培训的员工中共有名部门领导参加，恰有人来自部门．从这名部门领导中随机选取人，记表示选取的人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；
此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
(ⅰ)求每位员工经过培训合格的概率；
(ⅱ)经过预测，开展培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润公司年利润员工创造的利润其他成本和费用．
18.本小题分
近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了年月日到日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：
由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到；
该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满元可减元；方案二：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折．某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据：．
附：相关系数．
19.本小题分
某学校有甲、乙两个图书馆假设同学们可以任意选择其中一个图书馆借阅，也可选择不借阅，一天最多借阅一次，一次只能选择一个图书馆若同学们每次借阅选择去甲或乙图书馆的概率均为，每次选择相互独立设王同学在某周的三天内去图书馆借阅的次数为，已知的分布列如下：其中
记事件表示王同学在这三天内去图书馆借阅次，事件表示王同学在这三天内去甲图书馆借阅的次数大于去乙图书馆借阅的次数当时，试根据全概率公式求的值；
是否存在实数，使得，若存在，求的值：若不存在，请说明理由；
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可知，，即，
得或舍，
则展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第项，
即，
所有二项式系数和为．
，
令，得，则，
故展开式中的常数项为．

16.解：零假设为：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系．
根据列联表中的数据，可以求得．
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，据此推断该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系．
由题意可知，的取值可能为．
则．
所以的分布列为
所以的期望为．

17.解：的所有可能取值为，，，且服从超几何分布．
的分布列为
的数学期望．
记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”，
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．
即每位员工经过培训合格的概率为．
(ⅱ)记两部门开展培训后合格的人数为，则，
，则万元
即估计两部门的员工参加培训后为公司创造的年利润为万元．

18.解：由表中数据可得，
，
所以，
所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．
而，
则所以
令，可得，所以月日到该专营店购物的人数约为．
若选方案一需付款元．
若选方案二设需付款元，则的取值可能为，
则，
，
所以，
因此选择方案二更划算．

19.解：当时，，
则，解得；
由题意，得，
，
，
由全概率公式，得
．
由，
得，
假设存在，使，
将上述两式左右分别相乘，
得，
化简得：，
设，则，
，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
所以不存在使得，即不存在值，使得．

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