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2024-2025 学年福建省厦门市大同中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班有 28 名男生，20 名女生，从中选一名同学作为数学课代表，则不同的选法有( )种．
A. 28 B. 20 C. 48 D. 560
2.函数 ( ) = 2 sin 在区间 0, π 上的平均变化率为( )
A. 1 B. π C. π D. +
1

3.已知函数 1( ), 2( ), 3( ), 4( )，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则
′ , ′0 ,
′
0 0 ,
′ 0 的大小关系是( )1 2 3 4
A. ′1 0 >
′
2
′ ′
0 > 3 0 > 4 0 B.
′ ′ ′ ′1 0 > 3 0 > 2 0 > 4 0
C. ′ > ′ > ′ > ′ D. ′ > ′ > ′ > ′4 0 1 0 3 0 2 0 1 0 3 0 4 0 2 0
4.设函数 ( ) = sin 3 π2 ，则
′
6 = ( )．
A. 0 B. 12 C.
3
2 D.以上均不正确
5.已知函数 ( ) = e sin ，则 ′( ) =( )
A. e cos B. e cos C. e sin + cos D. e sin cos
6.下列选项正确的是( )
A. (sin 10 )′ = cos 10 B. (lg )′ = 1
C. [(2 + 1)(2 1)]′ = 8 D. (e )′ = e
7.函数 ( ) = 1 + sin ( )
A.在(0,2 )上是增函数
B.在(0,2 )上是减函数
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C.在(0, )上单调递增，在( , 2 )上单调递减
D.在(0, )上单调递减，在( , 2 )上单调递增
8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是 0.1π 4分，其中 (单位： )是瓶子的半
径.已知每出售 1 的液体材料，制造商可获利 0.3 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 8 ，则当每
瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 ( ) = lim 0+ .若函数 在 处存在导数，则 00 的值( ) →0
A.与 0有关 B.与 有关 C.与 0无关 D.与 无关
10.当 > 1 时，函数 = 与函数 = log 的图象的交点个数可能为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11.定义在[ 1,3]上的函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.函数 ( )在(1,3)上单调递减 B.函数 ( )在[ 1,1]上单调递减
C.函数 ( )在 = 1 处取得极小值 D.函数 ( )在 = 0 处取得极大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
sin +π 1
12.极限lim 6 2 = ．
→0
13.设 为曲线 : = 2 + 2 + 3 π π上的点，且曲线 在点 处切线的倾斜角的取值范围为 4 , 2 ，则点 横坐标
的取值范围为 ．
14.已知 = e ( )是定义在 R 上的偶函数，且当 > 0 时， ( ) + ′( ) > 0，则满足e 2 (2 3) >
( 1)的 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
求函数 = ( ) = 3 2在 = 1 处的导数．
16.(本小题 15 分)
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求下列函数的导数：
(1) ( ) = 3sin 6 + 100；
(2) ( ) = 5 + 3 2 ；
(3) ( ) = 4cos ．
17.(本小题 15 分)
km
某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 (单位：L)关于行驶速度 (单位： h )满足函数关系 =
1 3 3
128000 80 + 8(0 < ≤ 120).已知甲、乙两地相距 100km.问：当汽车保持怎样的速度匀速行驶时，从
甲地到乙地的耗油量最小？
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + 1．
(1)求 ( )在点 0, (0) 处的切线方程；
(2) 3当 2 < < 0 时，求 ( )在区间[0,1]上的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln ( > 0)．
(1)当 = 时，求曲线 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的零点个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12. 32 /
1
2 3
13. 12 , + ∞
14. ∞, 43 ∪ (2, + ∞)
15.【详解】解：∵ = (1 + ) (1) = 6 + 3( )2，
∴ ′ = 6 + 3 ，∴ (1) = lim

→0
= 6．
16.【详解】(1) ′( ) = 3cos 6
(2) ′( ) = 3 2 ln2
(3) ′( ) = 4 3cos 4sin
17. 100【详解】当行驶速度为 km/h 时，汽车从甲地到乙地的行驶时间为 h，
( ) ( ) = 1 3 3 + 8 100 = 1 2 + 800 15设耗油量为 ，则 128000 80 1280 4 (0 < ≤ 120)，
3 3
∴ ′( ) = 1 800 = 800×640 = 80
3
= ( 80)
2+80 +802
640 2 640 2 640 2 640 2 ，
∵ 2 + 80 + 802 > 0 恒成立，∴当 ∈ (0,80)时， ′( ) < 0；当 ∈ (80,120]时， ′( ) > 0；
∴ ( )在(0,80)上单调递减，在(80,120]上单调递增，
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∴ ( ) 1 2 15 15 45min = (80) = 1280 × 80 + 10 4 = 5 + 10 4 = 4，
∴ 80km当汽车保持 h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最小．
18.【详解】(1) ∵ ( ) = 3 + 2 + 1， ∈ ,
∴ ′( ) = 3 2 + 2 ．
∴ (0) = 1, ′(0) = 0．
∴ ( )在 0, (0) 处的切线方程为 1 = 0( 0)，即 = 1．
(2)由(Ⅰ)可知 ′( ) = 3 2 + 2 ．
′( ) = 0 = 0 = 2令 ，可得 或 3 ．
3 2
∵ 2 < < 0, ∴ 0 < 3 < 1.
当 变化时， ′( )与 ( )的变化情况如下表所示．
2 2 2
(0, 3 ) 3 ( 3 , 1) 0 1
′( )
0 +
( )
1 单调递减 极小值 单调递增 + 2
∴ ( ) (0, 2在 3 )
2
上单调递减，在( 3 , 1)上单调递增．
3 1
∵ 2 < < 0, ∴ 2 < + 2 < 2
当 + 2 < 1 3，即 2 < < 1 时， ( )max = (0) = 1．
当 + 2 ≥ 1，即 1 ≤ < 0 时， ( )max = (1) = + 2．
3
所以当 2 < < 1 时， ( )的最大值为 1；当 1 ≤ < 0 时， ( )的最大值为 + 2.．
19. 【详解】(1)当 = 时，函数 ( ) = ln ，可得 ′( ) = 1，
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所以 (1) = 1， ′(1) = 1，
可得切线方程为 + 1 = ( 1)( 1)，即( 1) = 0．
所以曲线 ( )在 = 1 处的切线方程为( 1) = 0．
(2)由函数 ( ) = ln ( > 0) 的定义域为(0, + ∞)，且 ′( ) = 1 =

，
当 0 < < 时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
当 > 时 ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
所以函数 ( )在 = 处取得极大值为 ( ) = ln = (ln 1)，
当 0 < < 时， ( ) < 0， ( ) < 0 恒成立，函数 ( )无零点；
当 = 时， ( ) = 0，函数 ( )有唯一零点；
当 > 时， ( ) = ln = (ln 1) > 0，
因为 (1) = 1 < 0，所以函数 ( )在(0, )上有一个零点，
易得 ( 2) = ln 2 2 = (2ln )，
令 ( ) = 2ln ( > ) 2 ，则 ′( ) = < 0，
所以函数 ( )在( , + ∞)上单调递减，则 ( ) < 2ln = 2 < 0，所以 ( 2) < 0，
所以函数 ( )在( , + ∞)上有一个零点，
所以函数 ( )在(0, + ∞)上有两个零点．
综上可得，当 0 < < 时，函数 ( )无零点；当 = 时，函数 ( )有唯一零点；
当 > 时，函数 ( )有两个零点．
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