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2024-2025 学年广东省佛山市顺德区元培实验中学高二下学期第二次
阶段考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列 的前 项和为 ，若 9 = 1，则 3 + 7 =( )
A. 2 B. 73 C. 1 D.
2
9
2.已知函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 2 为 ( )的极小值点 B. (2)为 ( )的极大值
C.在区间( 1,1)上， ( )是增函数 D.在区间( 3, 2)上， ( )是减函数
3.已知(1 2 )7 = 0 + 1 + 2 2 + + 7 7,则 1 + 2 + 3 + 6 + 7 =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
4.已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占 60%，乙厂产品占 40%，甲厂产品的合格率是 95%，
乙厂产品的合格率是 90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是( )
A. 0.92 B. 0.93 C. 0.94 D. 0.95
5.函数 = ( + 1)e +1， ∈ [ 3,4]的最大值为( )
A. 2e 2 B. 5e5 C. 4e5 D. e 1
6.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数
2 1
多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为3，乙获胜的概率为3，各局比赛结果相互独立，则两局比赛后结
束的概率为( )
A. 59 B.
4
9 C.
3
5 D.
2
5
+ 1, 为奇数
7.已知数列 的前 项和为 ，且 1 = 3， =

+1 ，则 40的值为( )
+ 2, 为偶数
A. 360 B. 480 C. 960 D. 1280
8 1.已知 = 2 + 2ln2， =
1
3 + ln9， =
1
e + 2，则 , , 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导运算正确的是( )
′
A. log ′ 1 23 = ln3 B.
1
= 2 +
1
2
′
C. sin2 ′ = 2cos2 D. e = ( +1)e

2
10 1.在数列 中， = +1 4 +2， 1 = 2， 2 = 8， 是数列 log2 的前 项和，则( )
A. 数列 +1 2 是等比数列 B.数列 2 是等差数列
C. + 2 + 31 2 3 + +
10
10 = 2044 D. 5 < 22

11.已知在 3 13 的二项展开式中，第 6 项为常数项，则( )2
A. = 10 B.展开式中系数的绝对值最大的项是第 4 项
C. 45含 2的项的系数为 4 D.展开式中有理项的项数为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列 的前 项和为 = 3 1，那么该数列的通项公式为 = ．
13.( + )10的展开式中， 7的系数为 15，则 = . (用数字填写答案)
14.函数 ( ) ′的图象如图所示， ′( )为函数 ( )的导函数，则不等式 ( )
< 0
的解集为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知数列 的前 项和为 ，且满足 = 2 1．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 = 2 + log2 ，求数列 的前 项和为 ．
16.(本小题 12 分)
甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有 6 个大小和质地相同的球，其中有 4 个白球，2 个红球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出 1 个球，求两球颜色相同的概率；
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(2)甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸 1 个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个
红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为 ，求 的分布列和期望．
17.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 2 在 = 1 处取得极值．
(1)求函数 ( )的解析式及单调区间；
(2)求函数 ( )在区间[ 1,2]的最大值与最小值．
18.(本小题 12 分)
如图，四边形 是正方形， ⊥平面 ， // ， = = 2 = 2， , , 分别为 , ,
的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的大小．
19.(本小题 12 分)

已知数列 中， = 1， = ∈ 1 +1 +3 ．
(1) 1 1证明数列 + 2 是等比数列，并求 的通项公式 ；
(2) 数列 满足 = 3 1 2 ，设 为数列 的前 项和，求使 > 恒成立的最小的整数 ．
(3)设 = 3 +1，求数列 的前 项和 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2 × 3 1
13. 1【答案】2
14.【答案】( 3, 1) ∪ (0,1)
15.【答案】【详解】(1) = 2 1①，
当 = 1 时， 1 = 2 1 1，解得 1 = 1，
当 ≥ 2 时， 1 = 2 1 1②，
式子① ②得 = 2 2 1，故 = 2 1，
因为 1 = 1 ≠ 0，所以 ≠ 0

，所以 = 2， 1
所以 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 = 2 1；
(2) = 2 + log = 4 1 2 + 1，
1 × 1 4 ( 1)
0 = 4 + 41 + 42 + + 4 1 + 0 + 1 + 2 + + 1 = 1 4 + 2

= 4 1 + ( 1)3 2 ．
2 2
16. 7【答案】【详解】(1)两球颜色相同分为都是红球或白球，其概率为 = 4 + 2 = ；
2 26 6 15
第 4页，共 8页
(2)依题意 = 2，3，4，5，
2
( = 2) = 2 = 1，
26 15
1 1 1
= 3，就是前 2 个一个是红球，一个是白球，第 3 个是红球， ( = 3) = 4· 2 · 1 = 2 ，
2 16 4 15
= 4，就是前 3 个有 2 个白球一个红球，第 4 个是红球，或前四个全是白球，
2 1 1 4
( = 4) = 4· 23 ·
1 + 4 = 4 ，
6
1 43 6 15
= 5，分为前 4 个球中有 3 个白球 1 个红球，第 5 个是红球，或者是前 4 个球中 3 个白球一个红球，
3 1 1 3 1 1
第 5 个是白球 ( = 5) = 4· 2 1 4· 2 1 8
4
· + ·
1 4 1
= ，
6 2 6 2 15
分布列为：
2 3 4 5
1 2 4 8
15 15 15 15
1 2 4 8 64
数学期望 ( ) = 2 × 15 + 3 × 15 + 4 × 15+ 5 × 15 = 15；
17.【答案】【详解】(1) ′( ) = 3 2 + 2 2，
由题意得 ′(1) = 0，即 3 + 2 2 = 0，解得 = 12，
1
故解析式为 ( ) = 3 22 2 ，定义域为 ，
令 ′( ) = 3 2 2 2，令 ′( ) > 0 得 > 1 或 < 3，
令 ′( ) < 0 2得 3 < < 1，
2 2
故 ( )在 ∞, 3 , 1, + ∞ 上单调递增，在 3 , 1 上单调递减，
显然 = 1 1为极小值点，故 = 2，
( ) 2 2单调递增区间为 ∞, 3 , 1, + ∞ ，单调递减区间为 3 , 1 ，
(2) 2 2由(1)知， ( )在 1, 3 , (1,2)上单调递增，在 3 , 1 上单调递减，
表格如下：
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2 2
1, 23 ,1 (1,2)3 3 1
′( )
+ 0 0 +
( ) 22 3
单调递增 极大值27 单调递减 极小值 2 单调递增
又 ( 1) = 12 , (2) = 2，
故 ( ) 3的最大值为 2，最小值为 2．
18.【答案】【详解】(1)由题知 , 分别为 , 的中点，
所以 是 的中位线，即 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2) ⊥平面 ，而 ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，由于四边形 是正方形，所以 ⊥ ，
所以 , , 两两垂直，以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，又 = = 2 = 2， , , 分别为 , , 的中点，
则 (0,0,2), (2,0,1), (2,2,0), (0,2,0)，
1
所以 2,1, 2 , (1,1,1), (0,1,1)，
= (0,2, 2)， = ( 2,0,0)， = 1,0, 12 ，
= ( 1,0,0)，
设平面 的一个法向量 = 1, 1, 1 ，
= 2 1 2 则 1 = 0，取 1 = 0 ，
1 = 1， = 2 = 0 1
= 1，则 = (0,1,1)，
1
设平面 的一个法向量为 = 2, 2, 2 ，
= 2 = 0
则 ，取 = 0, = 0， = 1，则 = (0,1,0)， = 2 +
1
2 2 = 0
2 2 2
设平面 与平面 夹角的大小为 ，
1 2
所以 cos = cos , = = 2×1 = 2 ，
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∈ 0, π π又 2 ，所以 = 4，即平面 与平面
π
夹角的大小为4．
19. 1 +3 3【答案】【详解】(1)在数列 中，由 +1 = +3，得 = = + 1， +1
1 + 1 1 1则 +1 2
= 3 + 2 ，
1 1 1 1 3
所以数列 + 2 是以 3 为公比，以 + 2 = 2为首项的等比数列， 1
1 + 1 3 1 1 2 2则 2 = 2 × 3 = 2 × 3 ，解得 = 3 1，所以 的通项公式 = 3 1．
(2)由(1) 知 = 3 1 2 = 3
1 2 = 2 3 1 2 1．
所以 =
1 2 3 1
20 + 21 + 22 + + 2 2 + 2 1，
1 = 1 + 2 3 1 则2 21 22 + 23 + + 2 1 + 2 ，
两式相减得：
1
1 = 1 + 1 + 1
1
+ + 1 2 +22 21 22 2 1 2 = 1 1 2
= 2 2 ．
2
因此， = 4
+2
2 1 < 4，
当 →+∞时， → 4，
所以由 > 恒成立，可得 ≥ 4，
所以使 > 恒成立的最小的整数 为 4；

(3) = 3
4 3 1 1
+1 = 3 1 3 +1 1 = 2 3 1 3 +1 1 ，
所以S = 2
1 1 1 1 1 1
31 1 32 1+ 32 1 33 1+ 3 1 3 +1 1
1 1
= 2
31

1 3 +1 1
第 7页，共 8页
= 1 23 +1 1．
第 8页，共 8页

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