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2024-2025 学年天津市建华中学高一下学期 5 月期中质量调查
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 3， = 60°， = 45°，则 的长为( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
2.已知在 中， = 1， = 2， = 60°，则 等于( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 5
3.若 的面积为 3， = 2， = 60°，则边 的长度等于( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
4.已知向量 = (1,2)， = (2, )，若 ⊥ ，则|2 + | =( )
A. 3 2 B. 4 C. 5 D. 4 2
5.如图在梯形 中， = 2 ， = ，设 = ， = ，则 =( )
A. 12 +
1 B. 14 3 +
5
6
C. 2 2 3 + 3
D. 1 3 2 + 4
6.已知直三棱柱 1 1 1中，∠ = 120°， = 2， = 1 = 1，则异面直线 1与 1所成角的
余弦值为( )
A. 3 B. 152 5 C.
10
5 D.
3
3
7.某校科技社利用 3 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的
体积为144πcm3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为 1. 5g/cm3，不考虑
打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为( )(1.5 ≈ 4.7)
A. 3045.6g B. 1565.1g C. 972.9g D. 296.1g
8.已知 内角 , , 的对边分别是 , , ，若 cos = 14， = 2，sin = 2sin ，则 的面积为( )
A. 15 B. 15 156 4 C. 2 D. 15
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9.如图所示，在直角梯形 中， // ，∠ = 90°， = = 4， = 1，动点 在边 上，且
满足 = + ( 1 1， 均为正实数)，则 + 的最小值为( )
A. 5 B. 74+ 3 C.
18
5 D.
10
3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10 = 1 .设 1+ + 2 ，则| | = ．
11.如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ′ ′ = 6, ′ ′ = 2,则原图形 的面
积为 ．
12.如图，已知一个半径为 2 的半圆面剪去了一个等腰三角形 ，将剩余部分绕着直径 所在直线旋转一
周得到一个几何体，则该几何体的体积为 ．
13.已知 = (3, )， = (4, 3)，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围为 ．
14.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 ．
2 2 2
15. 内角 , , 的对边分别为 , , + ，若 的面积为 4 ，则 =
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
已知复数 = i( ∈ )，且 1 + 3i 为纯虚数( 是 的共轭复数)．
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(1) +2i设复数 1 = 1 i ，求 1 ；
2021
(2) = i复数 2 在复平面对应的点在第一象限，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,2)， = (3, )， = (2, )，且 // ， ⊥ ．
(1)求向量 、 ；
(2)若 = 2 ， = + ，求向量 ， 的夹角的大小．
18.(本小题 15 分)
如图，三棱柱 1 1 1中， ， ， 分别为棱 ， ， 1 1中点．
(1)求证： //平面 1 ；
(2)求证： //平面 1 ．
19.(本小题 15 分)
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知：2cos cos + cos = ．
(1)求 ；
(2) 3 3若 = 7， 的面积为 2 ，求 的周长．
20.(本小题 15 分)
在平行六面体 1 1 1 1中， 1 = ， 1 ⊥ 1 1．
求证：(1) //平面 1 1 ；
(2)平面 1 1 ⊥ 平面 1 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.1.
11.24 2
12.16 3
13. < 4 且 ≠ 94
14.81 4
15. 4
16.(1) ∵ 1 + 3i = + i 1 + 3i = 3+ (3 + 1)i 为纯虚数，
∴ 3 = 0，3 + 1 ≠ 0，解得 = 3．
∴ = 3+2i 3+2i 1+i 1 5 261 1 i = 1 i 1+i = 2 + 2 i，则 1 = 2 ．
(2)i2021 = i4 505 i = i，
复数 2 =
i i 3+i 3 +1 3
3 i = 3 i 3+i = 10 + 10 i 在复平面对应的点在第一象限，
∴ 3 +1 > 0 310 ， 10 > 0，解得 > 3．
∴实数 的取值范围是(3, + ∞)．
17.(1)解：因为 = (1,2)， = (3, )， = (2, )，且 // ， ⊥ ，
所以 2 × 3 = 0， = 2 + 2 = 0，
所以 = 6， = 1，
所以 = (3,6)， = (2, 1)；
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(2)解：设向量 ， 的夹角的大小为 ．
由题意可得， = 2 = (2,4) (3,6) = ( 1, 2)， = + = (3,1)，
所以 cos = 1×3 2×1 2| || | = 5× 10 = 2 ，
因为 0 ≤ ≤ 3 ，所以 = 4．
18.(1)在 中， ， 分别为棱 ， 中点．
所以 // ，
因为 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 //平面 1 ．
(2)在三棱柱 1 1 1中， /\ !/ 1 1，
_
_
因为 ， 分别为 ， 1 1中点，
所以 /\ !/ 1 ，
_
_
所以 1 是平行四边形，
所以 // 1 ，
因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 //平面 1 ，
又因为 //平面 1 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 1 ，
所以 //平面 1 ．
19.(1)由 2cos cos + cos = ，
根据正弦定理得，2cos sin cos + sin cos = sin ，
则 2cos sin cos + sin cos = sin( + ) = sin cos + sin cos ，
cos = 1 π则 2，又 0 < < π，即 = 3．
(2)由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos60° = 7，
即 2 + 2 = 7，∴ ( + )2 3 = 7，
∵ 1 3 3 3 = 2 sin = 4 = 2 ，故 = 6，
∴ ( + )2 18 = 7，即 + = 5，
∴△ 的周长为 5 + 7．
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20.详解：
证明：(1)在平行六面体 1 1 1 1中， // 1 1．
因为 平面 1 1 ， 1 1 平面 1 1 ，
所以 //平面 1 1 ．
(2)在平行六面体 1 1 1 1中，四边形 1 1为平行四边形．
又因为 1 = ，所以四边形 1 1为菱形，
因此 1 ⊥ 1 ．
又因为 1 ⊥ 1 1， // 1 1，
所以 1 ⊥ ．
又因为 1 ∩ = ， 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1 ⊥平面 1 ．
因为 1 平面 1 1，
所以平面 1 1 ⊥平面 1 ．
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