天津市建华中学2024-2025学年高一(下)期中质量调查数学试卷(图片版,含答案)

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天津市建华中学2024-2025学年高一(下)期中质量调查数学试卷(图片版,含答案)

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2024-2025 学年天津市建华中学高一下学期 5 月期中质量调查
数学试卷
一、单选题:本题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,若 = 3, = 60°, = 45°,则 的长为( )
A. 22 B. 1 C. 2 D. 2
2.已知在 中, = 1, = 2, = 60°,则 等于( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 5
3.若 的面积为 3, = 2, = 60°,则边 的长度等于( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
4.已知向量 = (1,2), = (2, ),若 ⊥ ,则|2 + | =( )
A. 3 2 B. 4 C. 5 D. 4 2
5.如图在梯形 中, = 2 , = ,设 = , = ,则 =( )
A. 12 +
1 B. 14 3 +
5
6
C. 2 2 3 + 3
D. 1 3 2 + 4
6.已知直三棱柱 1 1 1中,∠ = 120°, = 2, = 1 = 1,则异面直线 1与 1所成角的
余弦值为( )
A. 3 B. 152 5 C.
10
5 D.
3
3
7.某校科技社利用 3 打印技术制作实心模型.如图,该模型的上部分是半球,下部分是圆台.其中半球的
体积为144πcm3,圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为 1. 5g/cm3,不考虑
打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为( )(1.5 ≈ 4.7)
A. 3045.6g B. 1565.1g C. 972.9g D. 296.1g
8.已知 内角 , , 的对边分别是 , , ,若 cos = 14, = 2,sin = 2sin ,则 的面积为( )
A. 15 B. 15 156 4 C. 2 D. 15
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9.如图所示,在直角梯形 中, // ,∠ = 90°, = = 4, = 1,动点 在边 上,且
满足 = + ( 1 1, 均为正实数),则 + 的最小值为( )
A. 5 B. 74+ 3 C.
18
5 D.
10
3
二、填空题:本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
10 = 1 .设 1+ + 2 ,则| | = .
11.如图,矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 ′ ′ = 6, ′ ′ = 2,则原图形 的面
积为 .
12.如图,已知一个半径为 2 的半圆面剪去了一个等腰三角形 ,将剩余部分绕着直径 所在直线旋转一
周得到一个几何体,则该几何体的体积为 .
13.已知 = (3, ), = (4, 3),若 与 的夹角为锐角,则 的取值范围为 .
14.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 .
2 2 2
15. 内角 , , 的对边分别为 , , + ,若 的面积为 4 ,则 =
三、解答题:本题共 5 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
已知复数 = i( ∈ ),且 1 + 3i 为纯虚数( 是 的共轭复数).
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(1) +2i设复数 1 = 1 i ,求 1 ;
2021
(2) = i复数 2 在复平面对应的点在第一象限,求实数 的取值范围.
17.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,2), = (3, ), = (2, ),且 // , ⊥ .
(1)求向量 、 ;
(2)若 = 2 , = + ,求向量 , 的夹角的大小.
18.(本小题 15 分)
如图,三棱柱 1 1 1中, , , 分别为棱 , , 1 1中点.
(1)求证: //平面 1 ;
(2)求证: //平面 1 .
19.(本小题 15 分)
的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知:2cos cos + cos = .
(1)求 ;
(2) 3 3若 = 7, 的面积为 2 ,求 的周长.
20.(本小题 15 分)
在平行六面体 1 1 1 1中, 1 = , 1 ⊥ 1 1.
求证:(1) //平面 1 1 ;
(2)平面 1 1 ⊥ 平面 1 .
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.1.
11.24 2
12.16 3
13. < 4 且 ≠ 94
14.81 4
15. 4
16.(1) ∵ 1 + 3i = + i 1 + 3i = 3+ (3 + 1)i 为纯虚数,
∴ 3 = 0,3 + 1 ≠ 0,解得 = 3.
∴ = 3+2i 3+2i 1+i 1 5 261 1 i = 1 i 1+i = 2 + 2 i,则 1 = 2 .
(2)i2021 = i4 505 i = i,
复数 2 =
i i 3+i 3 +1 3
3 i = 3 i 3+i = 10 + 10 i 在复平面对应的点在第一象限,
∴ 3 +1 > 0 310 , 10 > 0,解得 > 3.
∴实数 的取值范围是(3, + ∞).
17.(1)解:因为 = (1,2), = (3, ), = (2, ),且 // , ⊥ ,
所以 2 × 3 = 0, = 2 + 2 = 0,
所以 = 6, = 1,
所以 = (3,6), = (2, 1);
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(2)解:设向量 , 的夹角的大小为 .
由题意可得, = 2 = (2,4) (3,6) = ( 1, 2), = + = (3,1),
所以 cos = 1×3 2×1 2| || | = 5× 10 = 2 ,
因为 0 ≤ ≤ 3 ,所以 = 4.
18.(1)在 中, , 分别为棱 , 中点.
所以 // ,
因为 平面 1 , 平面 1 ,
所以 //平面 1 .
(2)在三棱柱 1 1 1中, /\ !/ 1 1,
_
_
因为 , 分别为 , 1 1中点,
所以 /\ !/ 1 ,
_
_
所以 1 是平行四边形,
所以 // 1 ,
因为 平面 1 , 1 平面 1 ,
所以 //平面 1 ,
又因为 //平面 1 , ∩ = ,
所以平面 //平面 1 ,
所以 //平面 1 .
19.(1)由 2cos cos + cos = ,
根据正弦定理得,2cos sin cos + sin cos = sin ,
则 2cos sin cos + sin cos = sin( + ) = sin cos + sin cos ,
cos = 1 π则 2,又 0 < < π,即 = 3.
(2)由余弦定理得: 2 = 2 + 2 2 cos60° = 7,
即 2 + 2 = 7,∴ ( + )2 3 = 7,
∵ 1 3 3 3 = 2 sin = 4 = 2 ,故 = 6,
∴ ( + )2 18 = 7,即 + = 5,
∴△ 的周长为 5 + 7.
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20.详解:
证明:(1)在平行六面体 1 1 1 1中, // 1 1.
因为 平面 1 1 , 1 1 平面 1 1 ,
所以 //平面 1 1 .
(2)在平行六面体 1 1 1 1中,四边形 1 1为平行四边形.
又因为 1 = ,所以四边形 1 1为菱形,
因此 1 ⊥ 1 .
又因为 1 ⊥ 1 1, // 1 1,
所以 1 ⊥ .
又因为 1 ∩ = , 1 平面 1 , 平面 1 ,
所以 1 ⊥平面 1 .
因为 1 平面 1 1,
所以平面 1 1 ⊥平面 1 .
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