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2024-2025 学年云南省保山市腾冲市第八中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若( 1 + 2 ) = 5 ，则 的值为( )
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
2.下列关于点、线和面的关系表示错误的是( )
A.点 平面 B.直线 ∩平面 =
C.直线 平面 D.平面 ∩平面 =
→ → →
3.已知 中，向量 = (1,5)， = ( 3,4)，则 =( )
A. ( 2,9) B. (2, 9) C. ( 4, 1) D. (4,1)
4.正方形 ′ ′ ′ ′的边长为 2，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是( )
A. 12 B. 4 2 C. 16 D. 8 2
5.若平面向量 , , 两两的夹角相等，且 = 2, = 2, = 4，则 + + =( )
A. 2 B. 8 C. 2或 2 2 D. 2 或 8

6.如图，平面内有三个向量 , , ，其中 与 的夹角为 120°， 与 的夹角为 30°，且 =
→ 3 2, = , = 2 3，若 2 = + ( , ∈ )，则 和 的值分别为( )
A. = 2 , = 4 B. = 83 3 , =
3
2 C. = 4 , = 2 D. =
3 4
2 , = 3
7.已知圆台的上下底面半径分别为 1 和 2，高为 2，则该圆台的侧面积为( )
A. 5π B. 2 5π C. 3 5π D. 4 5π
8.已知函数 ( ) = sin( + ) + 3cos( + ) > 0, | | < 的最小正周期为 ， ( )的图象关于 轴对

称，且在区间 0, 4 上单调递增，则函数 ( ) = 2cos( + )在区间 0, 2 上的值域为( )
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A. 3, 2 B. [ 1,2] C. [ 2,1] D. 3, 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有下列命题，其中错误的命题为( )
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D.直四棱柱是直平行六面体
10.已知 为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A. + 2 + 3 + 4 = 0
B.若 = (1 + 2 )2，则复平面内 对应的点位于第二象限
C.已知复数 = + ( , ∈ )且| 1| = | |，则 =
D.若复数 2 + 3 4 + 2 2 24 是纯虚数，则 = 1 或 = 4
11.如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，
阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，
蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律其平面图形记为图乙中的正八边形 ，其中 = 1，则以下
结论正确的是( )
A. 与 π的夹角为 B. 12
= 2
C. + = 2 D. | | = 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若扇形的圆心角 = 120 ，弦长 = 12 ，则弧长 = ．
13.若 (1 + 2 ) = 5， 为虚数单位，则 的实部为 ．
14.如图，在三棱柱 1 1 1中，平面 ⊥平面 1 1 ，平面 1 1 ⊥平面 1 1 , = 4, 1 = 2，
， 分别为 1 1, 1 1的中点， 1与底面所成角为 60°，二面角 1 的正切值为 2 3，则几何体
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1 1 的体积为 ；四棱锥 1 的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 、 ，它们的终边分别与单位圆相交于 、 两点，已
2 2 5
知点 、 的横坐标分别10， 5 ．
(1)求 sin ，sin 的值；
(2) cos(π+ ) cos( )求sin(2π+ ) tan(π )的值．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，棱 ⊥底面 ，且 ⊥ ， ∕∕ ， = = = 2 = 2，
是 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
17.(本小题 15 分)
在 中，cos = 4cos ，sin = 3 2114 ．
(1)求 ；
(2)若 的周长为 5 + 7求 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图， 1 1 1 1是棱长为 2 的正方体， 为面对角线 1上的动点(不包括端点)， ⊥平面
交 于点 ， ⊥ 于 ．
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(1)试用反证法证明直线 1与 1是异面直线；
(2)设 = ，将 长表示为 的函数 ( )，并求此函数的值域；
(3)当 最小时，求异面直线 与 1 1所成角的大小．
19.(本小题 17 分)
( ) = ( 1) e

已知 2 e 2， ( ) = e 1，且 ( )为偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)若方程 ( ) = ( )有且只有一个实数解，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8 33
13.1
14.103 ； ； ； ；
64
； 3
15. 2 2 5【详解】(1)因为点 、 是单位圆上的点， = 10， = 5 ，且 、 为锐角，如图，
2 2
所以 、 2 7 2两点的纵坐标分别为 = 1 10 = 10 ， = 1
2 5 = 5 5 5 ，
7 2
故由三角函数的定义可知 sin = = 10 ，sin = =
5
5 ．
．
(2)由三角函数的定义可得 cos = = 2 cos = = 2 5 10， 5 ，则 tan =
sin 1
cos = 2，
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2 2 5
cos(π+ ) cos( ) = cos cos 所以 10
× 5 4 5
sin(2π+ ) tan(π ) sin tan = 7 2×1
= 35 ．
10 2
16.【详解】(1)证明：取 中点 ，连接 , ，
如图所示：
因为 ⊥底面 ， 底面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ 且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ．
又∵ = ， 为 的中点，
∴ ⊥ ，又 ∩ = ，
⊥平面 ，
在 中， , 分别为 , 1中点， = 2 ，
又∵ = 2 ， // ，
∴ // ， = ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ // ，
则 ⊥平面 ．
(2)由(1)知 ⊥ ，
∴ ⊥ ，又 ⊥ ，且 ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
∴ 是三棱锥 的高，
又四边形 为矩形，且 = 1， = 2，
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所以 1 = = 3 × × ，
= 1 × 1 1 2 13 2 矩形 × = 3 2 2 = 3．
17. (1) sin = 3 21 7【详解】 因为 14 ，所以 cos =± 1 sin
2 =± 14．
cos = 7若 14 < 0，则 cos = 4cos < 0，从而 ， 均为钝角.这不可能，
7 2 7 21
故 cos = 14，cos = 7 ，sin = 7 ．
所以 cos = cos( + ) = cos cos + sin sin
= 7 × 2 7 + 21 3 21 114 7 7 × 14 = 2，
0 < < . = 因为 所以 3．
(2)由(1) 21 3 3 21知 sin : sin : sin = 7 : 2 : 14 = 2: 7: 3，
由正弦定理得 : : = 2: 7: 3．
设 = 3 ，则 = 7， = 2 ，则 的周长为 5 + 7 = 5 + 7，
解得 = 1，从而 = 2， = 3，
故 1的面积 = 2 sin =
3 3
2 ．
18.【详解】(1)证明：假设直线 1与 1是共面直线，
设直线 1与 1都在平面 上，则 、 、 1、 1 ∈ ．
因此，平面 1 1、平面 1 1都与平面 有不共线的三个公共点，
即平面 1 1和平面 1 1重合(都与平面 重合)，
这与长方体的相邻两个面不重合矛盾，
于是，假设不成立，
∴直线 1与 1是异面直线；
(2)解：∵正方体 1 1 1 1的棱长为 2，∴ 1 = 2 2，
设 = (0 < < 2 2) ，则2 2 = 2 = 2 ，得 = =
2
2 ，
2 2
= 2 22

，∴ =
2
2 2，得 = 2 =
2
2 = 2 0.5 ，
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2
∴ = ( ) = 2 + 2 = 0.5 2 + ( 2 0.5 )2 = 0.75 2 2 + 2 = 34
2 2 4
3 + 3，
= 2 2 ( ) 2 3当 3 时， 有最小值为 3 ，当 → 2 2时， ( ) → 2，
∴ 2函数的值域为 3 3, 2 ；
(3)当 = 2 2 2 33 时， 最小，此时 = 3 ，
在底面 中，∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ // ，
又 1 1// ，∴ ∠ 为异面直线 与 1 1所成角的角，
2
在 中，∠ 3为直角，sin∠ = 3 = 2 3 = 3 ，
3
∴ ∠ = arcsin 33 ，
∴ 3异面直线 与 1 1所成角的大小为 arcsin 3 ．
19. (1) ( ) = e

【详解】 由 e 1，可知 ≠ 0，
1
又 ( )为偶函数，所以有 (1) = ( 1) e e，即e 1 = e 1，
e e 1 e e 1
化简得e 1 = 1 e ，即e 1 = e 1，
所以 e = e 1，得 = 2．
经检验，当 = 2 时， ( ) = ( )对任意 ≠ 0 成立，即满足 ( )为偶函数．
故所求 的值为 2．

(2)由(1)可知 ( ) = e ( 1) ee2 1，即方程2 e 2 = e2 1有且只有一个实数解，
≠ 0 1 e

显然 ，所以上述方程可化为2 e 2 = e2 1，
即方程( + 1)e2 2e + 1 = 0 有且只有一个实数解，
令e = ( > 0 且 ≠ 1)，
则关于 的方程( + 1) 2 2 + 1 = 0 有且只有一个不为 1 1和 的正根，
Δ = 4 4( + 1)( 1) = 8 4 2，
①当Δ = 0 时， =± 2．
( )若 = 2，则方程化为 2 + 1 2 2 + 2 1 = 0，
此时方程的解为，符合题意．
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( )若 = 2，则方程化为 2 + 1 2 2 2 1 = 0，
1
此时方程的解为 = 2+1，不符题意，故舍去．
Δ > 0, 8 4 2 > 0,
②当Δ > 0 时，需满足 < 0,即 1 解得
2 < < 2, 1 < < 1．
1 2 +1 < 0, 1 < < 1
当 = 1 时，即 1 为方程( + 1) 2 2 + 1 = 0 的解时， = 1．
1
当 = 时, ( 1)
2( + 1) = 0, =± 1．
1
所以当方程有两根，有且只有一个不为 1 和 的正根时， 1 < < 1．
综上可知，当 1 < < 1 或 = 2时，方程 ( ) = ( )有且只有一个实数解．
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