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2024-2025学年湖北省云学部分重点高中高二下学期5月考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量~N(30,),若P(25<<35)=2p,P(25)=5p,则p=（）
A. B. C. D.
3.已知变量和变量的对随机观测数据，，，则该组样本数据点的相关系数( )参考公式：
A. B. C. D.
4.某学校图书室内，有位同学围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法( )
A. B. C. D.
5.除以的余数为( )
A. B. C. D.
6.定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列，，经过第一次“和扩充”后得到数列，，，，第二次“和扩充”后得到数列，，，，，，，，设数列，，经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.“杨辉三角”是最早出现在南宋数学家杨辉于年所著的详解九章算法一书中“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示在“杨辉三角”中第行从左往右第个数记为，则为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 名同学分别从唐城、古隆中、五道峡、春秋寨、米公祠中选择一处游览，不同选法的种数是
B.
C. 将个优秀学生名额全部分给个班，每班至少一个名额，一共有种不同的分配方法
D. 有个不同的正因数
10.如图，已知直线与曲线，设为曲线上横坐标为的点过作轴的平行线交于，过作轴的垂线交曲线于再过作轴的平行线交于，过作轴的垂线交曲线于，设点，，，，的纵坐标分别为，，，，，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 方程有一个解
C. 若有两个零点，则
D. 若存在极小值和极大值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式中含的项的系数为 用数字作答．
13.某中学举办诗词大会选拔赛，选手需要从道选择题，道填空题中任选题作答，每次随机抽取一道题，抽出的题不再放回，甲同学在第次抽到选择题的条件下，第次抽到填空题的概率是 ．
14.在和之间插入个数，使相邻两数之差的绝对值为，有 种填法用数字作答．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
智能客服机器人全天在线，能节省以上的人工成本，某人工智能研究实验室开发出一款客服机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来解答人们的问题．客服机器人的开发主要采用自然语言处理、语言识别与合成等技术在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为已知输入的问题出现语法错误的概率为．
求输入的问题被采纳的概率
在某次测试中输入了个问题，以表示输入的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知．
若在上单调递增，求的取值范围
若的图像在处的切线为，求与的值，并证明时，．
17.本小题分
某学校咖啡馆开业当天举行买咖啡玩游戏送消费券活动，每买一杯咖啡即可得一次玩游戏的机会，多买多得游戏规则如下：第一次掷一颗均匀的骰子，若出现奇数可得元消费券，若出现偶数可得元消费券从第二次开始，出现奇数仍得元消费券，出现偶数则获得上一次得到的消费券金额的倍以此类推记甲同学第次游戏所得的消费券金额为表示仅在第次游戏中获得的消费券金额，数学期望为
求，，
利用的结论，当时，若，求，和
18.本小题分
已知正项数列中，，且
求数列的通项公式
，证明：
，证明：．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调增区间
已知有两个零点，．
求实数的取值范围
证明：．
参考答案
1.
2.A
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设表示“输入的问题被采纳”，表示“问题有语法错误”，
由全概率公式得，
．
由知单次采纳概率，则，
的分布列为
数学期望为
16.解：在上单调递增，
恒成立，，
令，则，在单调递减，
，
证明：由得，由得，则，
即证，，先证明．
令，，令，
则，当时，，，，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
，
再证明，令，，
当时，；
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
，，，
由得，．
17.解：对于，其期望为：
对于，当第二次为奇数时得元，偶数时得倍的期望值：
对于，同理：
由得递推关系： 解得．
因为，
所以数列是为首项，为公比的等比数列；
所以
故通项：．
18.解：由，，
得，又 ，
则 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以，．
由知，
则，
令，
，，
所以时，，即，
所以，
那么
，
，
因为，所以，
即；
证明：因为
，
所以
．
19.解：当时，，
因为，
令，即：解得，
故单调增区间为
，因为有两个零点，，
即，即，
令， ，令得；
当时，，当时，
当时取得极大值，
显然，当时，恒成立，因此，，
故的取值范围为．
由，得，两式相加变形得：，
由，得，由，得，
不等式，
，
令函数，则，函数在上单调递增，
因此原不等式等价于，
由，得，即，则，
由知在上单调递减，
因此，
，
令函数，求导得，
令函数，求导得，则在上单调递增，
则，即，则函数在上单调递减，
因此，
所以成立．
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