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成都市高2024级高一下期期末模拟考试数学试题
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。
平面向量=（m，2），=（,-2，4），若//，则m=（ ）
A -1 B 1 C -2 D 2
2、若等比数列{}满足=10，则lg=（ ）
A 1 B 2 C 3 D 1+lg2
3、已知，是空间两个不重合的平面， a，b是空间中两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A a//b，ba// B //，aa//
C a//，ba//b D a//，a//
4、一个水平放置的平面图形OABC按斜二侧画法得到的直观图如图所示，
已知=2=4，=，则平面图形OABC的面积为（ ）
A 3 B 6 C 6 D 12
5、已知sin（x+）=，则cos(2x+)=（ ）
A B - C D -
6、如图在三角形OAB中，若向量=2 ，则向量=（ ）
A -+ B - C + D +
B
P
O A
7、如图，圆锥PO的底面直径和高均为12，过PO上一点作平行于底面的截面，以该
截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱，则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ）
A 12 B 24 C 36 D 72
8、已知函数f(x)=Asin(x+)（其中A>0，>0，||<）的部分图像如图所示，则下
列说法错误的是（ ）
A 函数f(x)的最小正周期是 B 函数f(x)的图像关于直线x=对称
C 函数f(x)的图像关于点（，0）对称 D 函数f(x)在区间（，）上单调递增
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9、已知m，n是两条不同直线，是平面，若m//，n，则直线m，n的关系可
能为（ ）
A 平行 B 垂直 C 相交 D 异面
10、在ABC中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C两
点），则下列说法正确的是（ ）
A -=- B =2-
C 若||=||=||=1，++=0，则.=
D若（+），|+|= |-| =2，则.=
11、如图，正方体ABCD-中，E为棱AB上的动点，DF平面EC，F为垂足，下列结论正确的是（ ）
A F=FC B三棱锥C-DE的体积为定值 C ED D B与AC所成的角为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12、已知cos(x+)=，则sin2x= 。
某海警船在A处看灯塔B在它的北偏东，距离为3nmile，在A处看灯塔C在
海警船北偏西，距离为2nmile，海警船由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则灯塔C与D处之间的距离为 nmile。
14、降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习，将空间三维问题将为平面二维或者直线一维问题就是降维类比，平面几何中多边形的外接圆即找到一点，使得它到多边形各个顶点的距离相等，这个点就是外接圆的圆心，距离就是外接圆的半径，若这样的点存在，则这个多边形有外接圆；若这样的点不存在，则这个多边形没有外接圆。事实上我们知道，三角形一定有外接圆，如果只求外接圆的半径，我们可通过正弦定理来求，我们也可以关注九年义务教育初中《几何》第三册第94页例2的结论：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。借助求三角形外接圆的方法解决问题：若等腰梯形ABCD的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为 ；轴截面是旋转体的重要载体，圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素：
高，母线长，底面圆的半径，通过研究其轴截面，可将空间问题转化为平面问题，观察图像，通过类比，我们可以找到一般圆台的外接圆问题的研究方法。正棱台可以看作由圆台切割得到研究问题：如图，正三陵台的高为1，上，下底面边长分别为3和4，
其顶点都在同一球面上，则该球的体积为 。
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（本小题13分）
已知向量=（2，1），=（-1，-3），=（2，）。
（1）若（-）//，求的值；
（2）若（+），求与的夹角。
16、（本小题15分）
已知函数f(x)=Asin(x+),(>0，||<）的部分图像如图所示。
（1）求f(x)的解析式；
（2）若x（-，），求f(x)的取值范围。
17、（本小题15分）
如图，在三棱锥P—ABC中，点D是PA的中点，点E为PB中点。
（1）求证：AB//平面DCE；
（2）求三棱锥P—DCE与多面体DECBA的体积之比。
18、（本小题17分）
已知数列{}的前n项和为，=2，= 。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=，求数列{ }的前n项和为。
19、（本小题17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角
形求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，如图1，三个内角都小于
的ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。我们称三角形内到
三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点。要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点
重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点。这样
依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段的最小值。某数学研究小组，先后尝试
了解析，旋转，平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的作法如图2，将APCR
绕点C顺时针旋转，得到EDC，连接PD，BE，则BE的长即为所求，此时与三个顶
点连线恰好三等分费马点P的周角。同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量
=（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量=（xcos-ysin，xsin+ycos
）。
已知平面内点A（1，2），B（1+，2-2），把点B绕点A沿顺时针方向旋转
后得到点P，求点P的坐标；
在ABC中，ACB=，BC=12，AC=5，借助研究成果，直接写出PA+PB+PC的
最小值；
已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，2），求ABC的费马点P的坐标。
成都市高2024级高一下期期末模拟数学答案解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。
1、平面向量=（m，2），=（,-2，4），若//，则m=（ ）
A -1 B 1 C -2 D 2
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②共线向量定义与性质；③向量坐标运算的法则和基本方
法；④共线向量充分必要条件及运用。
【解题思路】根据平面向量和共线向量的性质，运用向量坐标运算的法则与基本方法和共线
向量的充分必要条件，结合问题条件得到关于m的方程，求解方法求出m的值就可得出选
项。
【详细解答】向量=（m，2），=（,-2，4），且//，4m=-4，m=-1，A正确，
选A。
2、若等比数列{}满足=10，则lg=（ ）
A 1 B 2 C 3 D 1+lg2
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②对数定义与性质；③对数运算的基本方法。
【解题思路】根据等比数列和对数的性质，运用对数运算的基本方法求出等差数列的通项公式和前n项和公式，结合问题条件得到关于n的不等式，求解不等式求出lg的值就可得出选项。
【详细解答】等比数列{}满足=10， =100，lg=lg100=2， B正确， 选B。
3、已知，是空间两个不重合的平面， a，b是空间中两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）
A a//b，ba// B //，aa//
C a//，ba//b D a//，a//
【解析】
【考点】①直线平行平面判定定理及运用；②直线平行平面性质定理及运用；③平面平行平面判定定理及运用；④平面平行平面性质定理及运用。
【解题思路】根据直线平行平面和平面平行平面的判定定理，运用直线平行平面和平面平行平面的性质定理，对各选项结论的正确与错误进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A， 当a时，a//不成立，A错误；对B，当//，a时，a// 成立，B正确；对C，当 a//，b时，直线a与b可能是异面直线，C
错误；对D，当a//，a时，平面与可能相交，选D错误，综上所述，结论B正确，选B。
4、一个水平放置的平面图形OABC按斜二侧画法得到的直观图如图所示，
已知=2=4，=，则平面图形OABC的面积为（ ）
A 3 B 6 C 6 D 12
【解析】
【考点】①直观图定义与性质；②斜二侧画法的基本方法；③梯形定义与性质；④梯形面积
公式及运用。
【解题思路】根据直观图和梯形的性质，运用斜二侧画法的基本方法和图像的面积公式，结
合问题条件求出平面图形OABC的面积就可得出选项。
【详细解答】如图，过点作于点， 平面图形OABC按斜二侧画法得到的直观图中，=2=4，=，==，
平面图形OABC的面积为（2+4）2= 6 ，C正确，选C。
5、已知sin（x+）=，则cos(2x+)=（ ）
A B - C D -
【解析】
【考点】①任意角三角函数定义与性质；②三角函数二倍角公式及运用。
【解答思路】根据任意角三角函数的性质，运用三角函数二倍角公式，结合问题条件求出cos(2x+)的值就可得出选项。
【详细解答】 sin（x+）=， cos(2x+)=cos2（x+）= 1-2 sin（x+)=1-2=-，B正确，选B。
6、如图在三角形OAB中，若向量=2 ，则向量=（ ）
A -+ B - C + D +
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量几何运算法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量的性质，运用平面向量几何运算法则和基本方法，求出向量关于，的表示式就可得出选项。
【详细解答】如图， =-，=2， ==-，= +=+-=+，D正确，选D。
7、如图，圆锥PO的底面直径和高均为12，过PO上一点作平行于底面的截面，以该
截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱，则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ）
A 12 B 24 C 36 D 72
【解析】
【考点】①圆柱定义与性质；②圆锥定义与性质；③平行线分线段成比例定理及运用；④圆
柱侧面积公式及运用。
【解题思路】根据圆柱和圆锥的性质，运用平行线分线段成比例定理和圆柱侧面积公式，结
合问题条件求出内接圆柱底面半径关于x的表示式，从而得到内接圆柱侧面积关于x的解析
式，利用求函数最值的基本方法求出该圆锥内接圆柱侧面积的最大值就可得出选项。
【详细解答】如图，设该圆锥内接圆柱的高为x（0的底面直径和高均为12，=，r=6-x，内接圆柱的侧面积为2（6-x）x=（-+12x），当解仅当x=-=6时，内接圆柱的侧面积的最大值为2（-36+72）=36，C正确，选C。
8、已知函数f(x)=Asin(x+)（其中A>0，>0，||<）的部分图像如图所示，则下
列说法错误的是（ ）
A 函数f(x)的最小正周期是 B 函数f(x)的图像关于直线x=对称
C 函数f(x)的图像关于点（，0）对称 D 函数f(x)在区间（，）上单调递增
【解析】
【考点】①正弦三角函数定义与性质；②正弦型三角函数定义与性质；③根据函数图像确定
函数解析式的基本方法；④处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，运用根据函数图像确定函数解析
式和处理正弦型三角函数的基本方法，结合问题条件对各选项说法的正确与错误进行判断，
就可得出选项。
【详细解答】由图知，A=2，=-=，T=，A正确；==2，
f(x)=2sin(2x+)，点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2sin(2+)=2sin(+)，
+=k(kZ），=k-（kZ），||<，=-，函数f(x)=2sin（2x-），
由2x-=k+，解得：x=+（kZ），当k=0时，x=，函数f(x)的图像关于直线x=对称，B正确；由2x-=k，解得：x=+（kZ），当k=1时，x=，函数f(x)的图像关于点（，0）对称，C正确；由2k-≤2x-≤2k+，解得：
k-≤x≤k+（kZ），当k=1时，-≤x≤，<，D错误，综上所述，选D。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9、已知m，n是两条不同直线，是平面，若m//，n，则直线m，n的关系可
能为（ ）
A 平行 B 垂直 C 相交 D 异面
【解析】
【考点】①直线平行平面定义与性质；②直线平行直线定义与性质；③异面直线定义与性质；
④直线平行平面性质定理及运用。
【解题思路】根据直线平行平面，直线平行直线和异面直线的性质，运用直线平行平面的性
质定理对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】m，n是两条不同直线，是平面，若m//，n，直线m，n的关系可能为m//n，mn,m，n是异面直线，A，B，D正确，选A，B，D。
10、在ABC中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C两
点），则下列说法正确的是（ ）
A -=- B =2-
C 若||=||=||=1，++=0，则.=
D若（+），|+|= |-| =2，则.=
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量数量积定义与性质；③平面向量几何运算的法
则和基本方法；④两个向量垂直的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据平面向量和平面向量数量积的性质，运用平面向量几何运算法则与基本方
法和两个向量垂直的充分必要条件，结合问题条件对各选项的说法是否正确进行判断，就可
得出选项。
【详细解答】在ABC中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点，=-，
==（-），==（-），=+
=+,=+=+, -=-,-
= -+, A错误；2- = 2（+） -（+） = , B正确；|=||=||=1，O是ABC外接圆的圆心，且亲亲家园的半径为1，++=0，O是ABC的重心，ABC是等边三角形，且AB=AC
=2=，.=（+）.（+=||+
+||=++=, C正确；（+），|+|= |-| =2，（+）.（-）=||-||=0①，.=0②，.=（+）.（+）=||+
+||=2+0+2=, D正确，综上所述，B，C，D正确，选B，C，D。
11、如图，正方体ABCD-中，E为棱AB上的动点，DF平面EC，F为垂足，下列结论正确的是（ ）
A F=FC B三棱锥C-DE的体积为定值 C ED D B与AC所成的角为
【解析】
【考点】①正方体定义与性质；②异面直线所成角定义与性质；③直线垂直平面判定定理及
运用；④直线垂直平面性质定理及运用；⑤三棱锥体积公式及运用。
【解题思路】根据正方体和异面直线所成角的性质，运用直线垂直平面判定定理，直线垂直
平面性质定理和三棱锥体积公式，结合问题条件对各选项的结论是否成立进行判断就可得出
选项。
【详细解答】如图，正方体ABCD-中，DF平面EC，C平面EC，
DFC，DF是线段C的垂直平分线，F=FC，A正确；=
=CDADD=为定值，B正确；连接A，AE平面A
D，D平面AD，AED，DA，AE，A平面AE，
AEA=A，D平面AE，E平面AE， ED ，C正确；
B//A，CA为异面直线B与AC所成的角，CA=，D
错误，综上所述，A，B，C正确，选A，B，C。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12、已知cos(x+)=，则sin2x= 。
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数诱导公式及运用。
【解答思路】根据三角函数二倍角公式，结合问题条件求出cos(2x+)的值，运用三角函数诱导公式就可求出sin2x的值。
【详细解答】 cos(x+)=， cos(2x+)=2cos(x+)-1=2-1=-， cos
(2x+)=-sin2x，sin2x=。
13、某海警船在A处看灯塔B在它的北偏东，距离为3nmile，在A处看灯塔C在海警船北偏西，距离为2nmile，海警船由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则灯塔C与D处之间的距离为 nmile。
【解析】
【考点】①三角形正弦定理及运用；②三角形余弦定理及运用；③方位角定义与性质；④解
三角形的基本方法。
【解题思路】根据方位角的性质，运用三角形正弦定理与余弦定理和解三角形的基本方法，
结合问题条件就可求出灯塔C与D处之间的距离。
【详细解答】如图，在ABD中，AB=3，ADB=，B=-（+）=，
=，AD===6，在A,CD中，AC=2，AD=6，
CAD=，CD==
=2（nmile）。
14、降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习，将空间三维问题将为平面二维或者直线一维问题就是降维类比，平面几何中多边形的外接圆即找到一点，使得它到多边形各个顶点的距离相等，这个点就是外接圆的圆心，距离就是外接圆的半径，若这样的点存在，则这个多边形有外接圆；若这样的点不存在，则这个多边形没有外接圆。事实上我们知道，三角形一定有外接圆，如果只求外接圆的半径，我们可通过正弦定理来求，我们也可以关注九年义务教育初中《几何》第三册第94页例2的结论：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。借助求三角形外接圆的方法解决问题：若等腰梯形ABCD的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为 ；轴截面是旋转体的重要载体，圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素：
高，母线长，底面圆的半径，通过研究其轴截面，可将空间问题转化为平面问题，观察图像，通过类比，我们可以找到一般圆台的外接圆问题的研究方法。正棱台可以看作由圆台切割得到研究问题：如图，正三陵台的高为1，上，下底面边长分别为3和4，
其顶点都在同一球面上，则该球的体积为 。
【解析】
【考点】①多边形外接圆定义与性质；②求多边形外接圆半径的基本方法；③正三陵台定义
与性质；④求正三陵台外接球半径的基本方法；⑤求的体积公式及运用。
【解题思路】根据多边形和正棱台外接圆的性质，运用求多边形外接圆和正棱台外接球半径
的基本方法，结合问题条件求出等腰梯形ABCD外接圆的半径和正三陵台外接球的半径，
利用求的体积公式就可求出正三陵台外接球的体积。
【详细解答】如图，分别AD，BC的中点E，F，连接EF，设等腰梯形外接圆的圆心为O，半径为r，OF=x），等腰梯形ABCD的上下底边长分别为6和8，高为1，若点O在EF上，+16==+9，此时方程无解；若点O在EF的延长线上，+16=
=+9，解之得：x=3，r=5，综上所述，等腰梯形ABCD外接圆的半径为5；设正三陵台外接球的球心为，半径为R，球心到下底面的距离为d，上，下底面的边长分
别为3和4，上，下底面外接圆的半径分别为3=3，4
=4，若球心在上，下底面之间，+16==+9，此时方程无解；若球心在上，下底面之外，+16==+9，解之得：d=3，R=5，综上所述，正三陵台外接球的半径R=5，外接球的体积为=。
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（本小题13分）
已知向量=（2，1），=（-1，-3），=（2，）。
（1）若（-）//，求的值；
（2）若（+），求与的夹角。
【解析】
【考点】①向量坐标定义与性质；②向量坐标运算的基本方法；③两向量平行的充分必要条件及运用；④两向量垂直的充分必要条件及运用；⑤向量数量积定义与性质。
【解答思路】（1）根据等向量坐标的性质，运用向量坐标运算的基本方法和两向量平行的充分必要条件，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可求出的值；（2）根据等向量坐标的性质，运用向量坐标运算的基本方法和两向量垂直的充分必要条件，结合问题条件得到关于的方程，求解方程就可求出的值，利用向量数量积坐标运算的基本方法就可求出与的夹角。
【详细解答】（1）向量=（2，1），=（-1，-3），-=（2，1）-（-1，-3）=（3，4）， =（2，），（-）//，=，=；（2）向量=（2，1），=（-1，-3），+=（2，1）+（-1，-3）=（1，-2）， =（2，），（+），（+）. =2-2=0，=1， . =-2-3=-5，||==，||=
=，cos<， >===-，与的夹角为。
16、（本小题15分）
已知函数f(x)=Asin(x+),(>0，||<）的部分图像如图所示。
（1）求f(x)的解析式；
（2）若x（-，），求f(x)的取值范围。
【解析】
【考点】①正弦三角函数定义与性质；②正弦型三角函数定义与性质；③根据正弦型三角函数部分图像求函数解析式的基本方法；④处理正弦型三角函数的基本方法。
【解答思路】（1）根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，运用根据正弦型三角函数部分图像求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出，的值，就可求出f(x)的解析式；（2）根据处理正弦型三角函数的基本方法，结合问题条件，就可求出当x（-，）时，函数f(x)的取值范围。
【详细解答】（1）由图知=-=，T=，=3，f(x)=2sin(3x+),
点（，0）在函数f(x)的图像上，0=2sin(+)，+=k，=k
-（kZ），||<，=，f()=Asin(+)==2，A=4，f(x)
=4sin(3x+)；（2）由（1）知f(x)=4sin(3x+)，x（-，），3x+（，
），-2≤f(x)=4sin(3x+)≤4，当x（-，）时，函数f(x)的取值范围是
[-2，4]。
17、（本小题15分）
如图，在三棱锥P—ABC中，点D是PA的中点，点E为PB中点。
（1）求证：AB//平面DCE；
（2）求三棱锥P—DCE与多面体DECBA的体积之比。
【解析】
【考点】①三棱锥定义与性质；②三角形中位线定理及运用；③直线平行平面判定定理及运用；④三棱锥体积公式及运用；⑤求多面体体积的基本方法。
【解答思路】（1）根据三角形中位线定理，结合问题条件得到DE//AB，运用直线平行平面的判定定理就可证明AB//平面DCE；（2）根据三棱锥的性质，运用三棱锥体积公式求出三棱锥P—DCE的条件，利用求多面体体积的基本方法求出多面体DECBA的条件就可求出三棱锥P—DCE与多面体DECBA的体积之比。
【详细解答】（1）证明：点D，E分别是PA，PB的中点，DE//AB，AB 平面DCE，DE 平面DCE， AB//平面DCE；（2）连接BD，点E为PB的中点，且PB=4EB，PE=PB，=，点D是PA的中点，=，=
，=，=，=h，=
h，==，即三棱锥P—DCE与多面体DECBA的体积之比为。
18、（本小题17分）
已知数列{}的前n项和为，=2，= 。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=，求数列{ }的前n项和为。
【解析】
【考点】①数列前n项和与通项之间的关系及运用；②等比数列定义与性质；③对数定义与性质；④求数列前n项和的基本方法。
【解答思路】（1）根据数列前n项和与通项之间的关系，结合问题条件得到关于，的等式，运用等比数列的性质，就可证明数列{}是等比数列；（2）由（1）得到数列{}的通项公式，从而得到数列{ }的通项公式，数列{ }的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法求出，就可证明 <。
【详细解答】（1）当n2时，= ，=，-=-=，
=2，=2，=2，===2，当n2时，数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列， =2=（n2），当n=1时，==12，
数列{}的通项公式为：= 2，n=1；（2）当n=1时，=2=1，当n2时，
，n2，= =n-1，当n=1时，
==1，当n2时，==-， =1+1-+-+-------
+-+-=2-=。
19、（本小题17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角
形求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，如图1，三个内角都小于
的ABC内部有一点P，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。我们称三角形内到
三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点。要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点
重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点。这样
依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段的最小值。某数学研究小组，先后尝试
了解析，旋转，平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的作法如图2，将APCR
绕点C顺时针旋转，得到EDC，连接PD，BE，则BE的长即为所求，此时与三个顶
点连线恰好三等分费马点P的周角。同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量
=（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量=（xcos-ysin，xsin+ycos
）。
已知平面内点A（1，2），B（1+，2-2），把点B绕点A沿顺时针方向旋转
后得到点P，求点P的坐标；
在ABC中，ACB=，BC=12，AC=5，借助研究成果，直接写出PA+PB+PC的
最小值；
已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，2），求ABC的费马点P的坐标。
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②共线向量定义与性质；③向量坐标定义与性质；④平面
向量坐标运营商的法则和基本方法；⑤向量共线充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据平面向量和平面向量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量的坐标，就可求出费马点P的坐标；（2）连接BE，根据费马点的求法可知，CA绕点C逆时针旋转后与CE重合，得到ACE为正三角形，
求出BE的值就可得到PA+PB+PC的最小值；（3）设P（0，m），根据平面向量和平面向
量坐标的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量的坐
标，从而求出向量的坐标，利用向量共线的充分必要条件得到关于m的方程，求解方
程求出m的值就可求出费马点P的坐标。
【详细解答】（1）平面内点A（1，2），B（1+，2-2），=（，-2），
点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P等于点B绕点A沿逆时针方向旋转后得
到点P，=（cos+2sin，sin-2cos）=（-1，-3），
=+=（-1，-3）+（1，2）=（0，-1），费马点P的坐标为（0，-1）；（2）
如图，连接BE，CA绕点C逆时针旋转后与CE重合，ACB=，ACE为正
三角形，BC=12，AC=5，PA+PB+PC的最小值为BE==13；（3） 设P（0，
m），点A（-1，0），B（1，0），C（0，2），=（-1，2），向量绕B点
顺时针旋转，等于向量绕B点逆时针旋转，=（-cos-2sin，-sin
+2cos）=（-+，1+），=+=（-+，1+）+（1，0）=
（+，1+），ABC中，BC与AC关于y轴对称，旋转后BD与AE关于y
轴对称，=（1，m），=（+，1+），A，D，P三点共线，m（+）
=1+，m=，ABC的费马点的坐标为P（0，）。

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