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广东省河源市紫金县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024七下·紫金期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”描述了中国“二十四节气”．下面四幅作品分别代表“惊蛰”“谷雨”“立秋”“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·紫金期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024七下·紫金期末）华为自主研发芯片推动了中国科技产业的发展和企业创新能力的增强，华为麒麟985芯片更是突破制程工艺，将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·紫金期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
5．（2024七下·紫金期末）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（ ）
A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙
6．（2024七下·紫金期末）光线在相同介质中的传播速度是相同的，在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，， ，则的度数为（ ）
A．129° B． C． D．101°
7．（2024七下·紫金期末）下列各式中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·紫金期末）在下列事件中，属于随机事件的个数为（　　）
①标准大气压下，加热到 时，水沸腾； ②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；③掷一次骰子，向上一面的点数是6；④任意画一个三角形，其内角和是360°；⑤经过有交通信号灯的路口时，遇到红灯；⑥射击运动员射击一次，命中靶心．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2024七下·紫金期末）如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·紫金期末）如图，在中，已知点分别为边，，的中点，且 的面积是24，则的面积是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2024七下·紫金期末）已知三角形三条边长分别是2、、3，且为奇数，则　 　，
12．（2024七下·紫金期末）已知等腰三角形的底为3，腰长为x，则周长y关于腰长x的关系式为　 　．
13．（2024七下·紫金期末）若∠α的补角是∠α的余角的3倍，则∠α=　 　．
14．（2024七下·紫金期末）如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为　 　．
15．（2024七下·紫金期末）如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是　 　°．
三、解答题(一)：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
16．（2024七下·紫金期末）计算：
17．（2024七下·紫金期末）先化简，再求值： 其中
18．（2024七下·紫金期末）张老师在儿童节当天给同学们举办了一个“告别六一，逐梦青春”的活动晚会，并准备了一个转盘作为活动道具．如图，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6．同学们依次自由转动转盘，每个人只能转一次转盘．当它停止转动时，若指针指向奇数，则该名同学需要讲述自己在七年级的成长变化故事或表演节目；若指针指向数字2或4，则可获得棒棒糖一根；若指针指向6，则可获得“告别六一，逐梦青春”纪念品一份．请问小明转动转盘获得“告别六一，逐梦青春”纪念品的概率是多少
19．（2024七下·紫金期末）如图，在，．
（1）请用尺规作图：过点A作，垂足为点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，则______．
20．（2024七下·紫金期末）青岚怪臼谷国家地质公园坐落于广东省潮州市饶平县樟溪镇，是以流水侵蚀地貌、花岗岩地貌为主体，兼火山岩和地质构造等要素构成的综合性地质公园．某地质大学为增长学生们的见识，特购买了1500张青岚怪臼谷国家地质公园门票发放给学生作为福利，采取随机抽取的方式来确定1500名幸运学生，且每名学生只有一次机会，已知该地质大学有 33125名学生．
（1）该地质大学某位学生恰能成为幸运学生的概率是_______．
（2）该地质大学学生强烈呼吁门票太少，要求每人成为幸运学生的概率要达到，则学校还要购买多少张门票
四、解答题(二)：本大题共3小题，第21、22题各8分，第23题10分，共26分．
21．（2024七下·紫金期末）如图，在中，，是角平分线，它们相交于点 O．
（1）若，则的度数为_______；
（2）猜想的度数与的度数存在的数量关系，并说明理由．
22．（2024七下·紫金期末）如图是一个沿河湿地公园局部设计图，在湿地公园的同一侧有两个小区 A 和B，、分别是小区，B直通河岸堤坝的路，其中E是乘坐观景船的游船码头．已知，，，，点 D，E，C在同一直线上，，，求C，D两个路口之间的距离的长度．
23．（2024七下·紫金期末）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图2中的线段和折线表示图1中“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）图中的自变量、因变量分别是什么
（2）请写出图中点 D 表示的实际意义．
（3）兔子没有睡觉前的速度是________，乌龟的速度是________．
（4）乌龟在出发________后追上正在睡觉的兔子．
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
24．（2024七下·紫金期末）综合与探究
【阅读理解】
图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合．
某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______．
（2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______．
【拓展探究】
该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解．
例：若x满足，求(的值．
解：设，
则．
∴．
（3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积．
25．（2024七下·紫金期末）综合运用
【问题情景】
如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ．
【问题解决】
（1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
（3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、对折后不重合，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、对折后重合，是轴对称图形，故B符合题意；
C、对折后不重合，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、对折后不重合，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐一判断即可．
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不正确，故A不符合题意；
B、，不正确，故B不符合题意；
C、，正确，故C符合题意；
D、，不正确，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】
根据合并同类项的法则得，可判断A不正确；由同底数幂的乘法法则得可判断B不正确；由幂的乘方法则得，可判断C正确，由同底数幂的除法法则得，可判断D不正确，逐一判断即可．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：“”用科学记数法表示为，
故答案为：A．
【分析】
根据科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，即可解答.
4．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性；
故答案为：A．
【分析】
钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性，即可选择正确答案．
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：
乙三角形：a，c两边夹的内角分别与已知三角形对应相等，利用SAS可判断乙与全等；
丙三角形：内角及所对边a与对应相等且均有内角，利用可判断丙与全等；
甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与全等；
则不能证明和全等的是甲；
故答案为：B.
【分析】
根据全等三角形的判定定理：甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据判定与全等；丙可根据判定与全等，即可得答案．
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据光在水中是平行的线由平行线的性质：两直线平行时，内错角相等得；两直线平行时，同位角相等；两直线平行时，同旁内角互补，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
8．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：①标准大气压下，加热到时，水沸腾，是必然事件；
②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；
③掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件；
④任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；
⑤经过有交通信号灯的路口时，遇到红灯，是随机事件；
⑥射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；
综上分析可知：属于随机事件的个数为4个；
故答案为：C．
【分析】
根据在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；必然事件和不可能事件统称确定性事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，逐一判断即可，
9．【答案】D
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据图形的形状，
可知水的最大深度与时间之间的关系分为两段，先慢后快；
故答案为：D．
【分析】
看图可知，蓄水池的下部分比上部分的底面积大，因此水深度h随时间得变化增长得先慢后快，即可选出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解： 点为边的中点，
的面积是24
点分别为边、的中点，
，，
点F为边CE的中点；
；
故答案为：A．
【分析】
根据三角形的中线分三角形的面积为相等的两个部分；由点为边的中点可得；由点分别为边、的中点得，，从而可得；由点F为边CE的中点，得，即可求解.
11．【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形三条边长分别是2、、3，
，
，
为奇数，
，
故答案为：3．
【分析】利用三角形三边的关系求出，再结合为奇数，求出a的值即可.
12．【答案】y=2x+3
【知识点】函数解析式；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的底为3，腰长为x，
∴y=2x+3，
故答案为：y=2x+3．
【分析】据周长等于三边之和可得出y和x的关系式．
13．【答案】45°
【知识点】补角
【解析】【解答】解：由题意可得：180°-α=3α
解得：α=45°
故答案为：45°
【分析】根据∠α的补角是∠α的余角的3倍列式，解方程即可求出答案.
14．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P作于H，
∵点P是的平分线上一点，，，
∴，
∵当时，的值最小，最小值为的长，
∴的最小值为3，
故答案为：3．
【分析】
过P作于H，利用角平分线的性质定理得到，根据垂线段最短得到时最小，进而可求解．
15．【答案】25
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
16．【答案】解：原式，
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据零指数幂：和负整数指数幂：，为正整数），-1的偶次方为正，即可计算出答案．
17．【答案】解：
，
当时，
原式
．
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用；整式的混合运算；单项式除以单项式
【解析】【分析】利用平方差公式得，然后合并同类项得，再进行除法计算，最后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
18．【答案】解：∵转盘被等分成六个扇形，且转盘中只有一个数字6，
∴小明转动转盘获得“告别六一，逐梦青春”纪念品的概率是．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】根据概率公式P=(m表示总数6，n表示指针指向6)，进行计算即可．
19．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【分析】
（1）根据基本作图过直线外一点作直线的垂线：以A为圆心AB长为半径画弧与BC相交；在以相交的圆弧画弧交于一点，即可画出；
（2）利用同角的余角相等可得，即可求解．
20．【答案】（1）
（2）解：设还要购买张，则
，
解得：，
答：还要购买1150张．
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】
（1）根据概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．计算该地质大学某位学生恰能成为幸运学生的概率即可；
（2）设还要购买张，由概率公式建立方程，求解即可．
21．【答案】（1）
（2）解：；理由如下
在中，，
∵是角平分线，
∴，
∴
，
∵，
∴
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：.
【分析】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．
（1）先由三角形内角和为180度求出，再由角平分线的定义推出，在ABO中由三角形内角和定理可得即可计算．
（2）根据三角形内角和为180度求出，再由角平分线的定义得出，即可算出，在ABO中由三角形内角和定理可得，求出结果即可．
22．【答案】解：如图：
∵，，
∴，，
∵
∴
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵
∴．
答：C，D两个路口之间的距离的长度为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】根据一线三垂直模型得，， ；结合角的等量代换得，即可证明，根据全等三角形的性质可得，，即可两个路口之间的距离的长度．
23．【答案】（1）时间；路程
（2）乌龟在出发后到达终点，距出发地，
（3）700，50；
（4）14
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1）观察图像：横坐标自变量是时间，纵坐标因变量是路程.
故答案为：时间；路程；
（2）
根据图象可知，点“”代表的意义为乌龟在出发后到达终点，距出发地，
故答案为：乌龟在出发后到达终点，距出发地，
（3）
根据图象可知：
兔子没有睡觉前的速度是，乌龟的速度是，
故答案为：700，50；
（4）
乌龟在出发后追上正在睡觉的兔子．
故答案为：14；
【分析】
（1）根据变量的定义：在一个变化关系中，有两个对应的量，其中一个量（因变量）随另一个量（自变量）的变化而变化，解答即可；
（2）根据图象：龟兔赛跑中，乌龟没有休息，可知OD为乌龟行使的图像，由此可知代表的意义；
（3）根据图象OA段代表兔子没有睡觉，路程为700，时间为1，即可求出速度；乌龟的路程是1500，时间是30，即可求出速度；计算即可；
（4）由函数图象追上兔子时路程为700，乌龟速度为50；可得答案．
24．【答案】解：设，，
四边形和四边形为正方形，
，，
四边形为正方形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
正方形和正方形的面积之和为38，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由图2，阴影部分面积的两种表示方法：
第一种：阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形，
；
第二种：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积，
；
，
故答案为：；
（2）将代入①中等式，得：
，
故答案为：62
【分析】
（1）由图2，阴影部分面积的两种表示方法可得第一种：阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形，利用正方形面积公式即可得出，第二种：用大正方形面积减去两个长方形的面积即可得出；建立等量关系即可得答案
（2）将整体代入①中等式即可求解；
（3）利用正方形的性质可知AD=CD，设，，将与的关系表示出来，再利用阴影部分面积为38即可求出，再变形求解即可．
25．【答案】（1）
（2）解：根据解析（1）可知：，
∵，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图，过K作，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（1）如图，过K作，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】
（1）过K作，得，由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（2）根据解析（1）的思路得，进行求解即可；
（3）过K作，可得；由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出．
1 / 1广东省河源市紫金县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024七下·紫金期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”描述了中国“二十四节气”．下面四幅作品分别代表“惊蛰”“谷雨”“立秋”“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、对折后不重合，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、对折后重合，是轴对称图形，故B符合题意；
C、对折后不重合，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、对折后不重合，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐一判断即可．
2．（2024七下·紫金期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不正确，故A不符合题意；
B、，不正确，故B不符合题意；
C、，正确，故C符合题意；
D、，不正确，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】
根据合并同类项的法则得，可判断A不正确；由同底数幂的乘法法则得可判断B不正确；由幂的乘方法则得，可判断C正确，由同底数幂的除法法则得，可判断D不正确，逐一判断即可．
3．（2024七下·紫金期末）华为自主研发芯片推动了中国科技产业的发展和企业创新能力的增强，华为麒麟985芯片更是突破制程工艺，将数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：“”用科学记数法表示为，
故答案为：A．
【分析】
根据科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，即可解答.
4．（2024七下·紫金期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性；
故答案为：A．
【分析】
钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性，即可选择正确答案．
5．（2024七下·紫金期末）如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（ ）
A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：
乙三角形：a，c两边夹的内角分别与已知三角形对应相等，利用SAS可判断乙与全等；
丙三角形：内角及所对边a与对应相等且均有内角，利用可判断丙与全等；
甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与全等；
则不能证明和全等的是甲；
故答案为：B.
【分析】
根据全等三角形的判定定理：甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据判定与全等；丙可根据判定与全等，即可得答案．
6．（2024七下·紫金期末）光线在相同介质中的传播速度是相同的，在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，， ，则的度数为（ ）
A．129° B． C． D．101°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据光在水中是平行的线由平行线的性质：两直线平行时，内错角相等得；两直线平行时，同位角相等；两直线平行时，同旁内角互补，即可求解.
7．（2024七下·紫金期末）下列各式中，可以用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
8．（2024七下·紫金期末）在下列事件中，属于随机事件的个数为（　　）
①标准大气压下，加热到 时，水沸腾； ②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；③掷一次骰子，向上一面的点数是6；④任意画一个三角形，其内角和是360°；⑤经过有交通信号灯的路口时，遇到红灯；⑥射击运动员射击一次，命中靶心．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：①标准大气压下，加热到时，水沸腾，是必然事件；
②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件；
③掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件；
④任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件；
⑤经过有交通信号灯的路口时，遇到红灯，是随机事件；
⑥射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；
综上分析可知：属于随机事件的个数为4个；
故答案为：C．
【分析】
根据在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；必然事件和不可能事件统称确定性事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，逐一判断即可，
9．（2024七下·紫金期末）如图为一蓄水池的横断面示意图，若以固定的水流量往这个蓄水池注水，下列图象中能大致表示在蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据图形的形状，
可知水的最大深度与时间之间的关系分为两段，先慢后快；
故答案为：D．
【分析】
看图可知，蓄水池的下部分比上部分的底面积大，因此水深度h随时间得变化增长得先慢后快，即可选出答案.
10．（2024七下·紫金期末）如图，在中，已知点分别为边，，的中点，且 的面积是24，则的面积是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解： 点为边的中点，
的面积是24
点分别为边、的中点，
，，
点F为边CE的中点；
；
故答案为：A．
【分析】
根据三角形的中线分三角形的面积为相等的两个部分；由点为边的中点可得；由点分别为边、的中点得，，从而可得；由点F为边CE的中点，得，即可求解.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2024七下·紫金期末）已知三角形三条边长分别是2、、3，且为奇数，则　 　，
【答案】3
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：三角形三条边长分别是2、、3，
，
，
为奇数，
，
故答案为：3．
【分析】利用三角形三边的关系求出，再结合为奇数，求出a的值即可.
12．（2024七下·紫金期末）已知等腰三角形的底为3，腰长为x，则周长y关于腰长x的关系式为　 　．
【答案】y=2x+3
【知识点】函数解析式；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的底为3，腰长为x，
∴y=2x+3，
故答案为：y=2x+3．
【分析】据周长等于三边之和可得出y和x的关系式．
13．（2024七下·紫金期末）若∠α的补角是∠α的余角的3倍，则∠α=　 　．
【答案】45°
【知识点】补角
【解析】【解答】解：由题意可得：180°-α=3α
解得：α=45°
故答案为：45°
【分析】根据∠α的补角是∠α的余角的3倍列式，解方程即可求出答案.
14．（2024七下·紫金期末）如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P作于H，
∵点P是的平分线上一点，，，
∴，
∵当时，的值最小，最小值为的长，
∴的最小值为3，
故答案为：3．
【分析】
过P作于H，利用角平分线的性质定理得到，根据垂线段最短得到时最小，进而可求解．
15．（2024七下·紫金期末）如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是　 　°．
【答案】25
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
三、解答题(一)：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
16．（2024七下·紫金期末）计算：
【答案】解：原式，
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】根据零指数幂：和负整数指数幂：，为正整数），-1的偶次方为正，即可计算出答案．
17．（2024七下·紫金期末）先化简，再求值： 其中
【答案】解：
，
当时，
原式
．
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用；整式的混合运算；单项式除以单项式
【解析】【分析】利用平方差公式得，然后合并同类项得，再进行除法计算，最后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
18．（2024七下·紫金期末）张老师在儿童节当天给同学们举办了一个“告别六一，逐梦青春”的活动晚会，并准备了一个转盘作为活动道具．如图，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6．同学们依次自由转动转盘，每个人只能转一次转盘．当它停止转动时，若指针指向奇数，则该名同学需要讲述自己在七年级的成长变化故事或表演节目；若指针指向数字2或4，则可获得棒棒糖一根；若指针指向6，则可获得“告别六一，逐梦青春”纪念品一份．请问小明转动转盘获得“告别六一，逐梦青春”纪念品的概率是多少
【答案】解：∵转盘被等分成六个扇形，且转盘中只有一个数字6，
∴小明转动转盘获得“告别六一，逐梦青春”纪念品的概率是．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】根据概率公式P=(m表示总数6，n表示指针指向6)，进行计算即可．
19．（2024七下·紫金期末）如图，在，．
（1）请用尺规作图：过点A作，垂足为点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，则______．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【分析】
（1）根据基本作图过直线外一点作直线的垂线：以A为圆心AB长为半径画弧与BC相交；在以相交的圆弧画弧交于一点，即可画出；
（2）利用同角的余角相等可得，即可求解．
20．（2024七下·紫金期末）青岚怪臼谷国家地质公园坐落于广东省潮州市饶平县樟溪镇，是以流水侵蚀地貌、花岗岩地貌为主体，兼火山岩和地质构造等要素构成的综合性地质公园．某地质大学为增长学生们的见识，特购买了1500张青岚怪臼谷国家地质公园门票发放给学生作为福利，采取随机抽取的方式来确定1500名幸运学生，且每名学生只有一次机会，已知该地质大学有 33125名学生．
（1）该地质大学某位学生恰能成为幸运学生的概率是_______．
（2）该地质大学学生强烈呼吁门票太少，要求每人成为幸运学生的概率要达到，则学校还要购买多少张门票
【答案】（1）
（2）解：设还要购买张，则
，
解得：，
答：还要购买1150张．
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
【分析】
（1）根据概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．计算该地质大学某位学生恰能成为幸运学生的概率即可；
（2）设还要购买张，由概率公式建立方程，求解即可．
四、解答题(二)：本大题共3小题，第21、22题各8分，第23题10分，共26分．
21．（2024七下·紫金期末）如图，在中，，是角平分线，它们相交于点 O．
（1）若，则的度数为_______；
（2）猜想的度数与的度数存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：；理由如下
在中，，
∵是角平分线，
∴，
∴
，
∵，
∴
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：.
【分析】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．
（1）先由三角形内角和为180度求出，再由角平分线的定义推出，在ABO中由三角形内角和定理可得即可计算．
（2）根据三角形内角和为180度求出，再由角平分线的定义得出，即可算出，在ABO中由三角形内角和定理可得，求出结果即可．
22．（2024七下·紫金期末）如图是一个沿河湿地公园局部设计图，在湿地公园的同一侧有两个小区 A 和B，、分别是小区，B直通河岸堤坝的路，其中E是乘坐观景船的游船码头．已知，，，，点 D，E，C在同一直线上，，，求C，D两个路口之间的距离的长度．
【答案】解：如图：
∵，，
∴，，
∵
∴
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵
∴．
答：C，D两个路口之间的距离的长度为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】根据一线三垂直模型得，， ；结合角的等量代换得，即可证明，根据全等三角形的性质可得，，即可两个路口之间的距离的长度．
23．（2024七下·紫金期末）“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图2中的线段和折线表示图1中“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
（1）图中的自变量、因变量分别是什么
（2）请写出图中点 D 表示的实际意义．
（3）兔子没有睡觉前的速度是________，乌龟的速度是________．
（4）乌龟在出发________后追上正在睡觉的兔子．
【答案】（1）时间；路程
（2）乌龟在出发后到达终点，距出发地，
（3）700，50；
（4）14
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：（1）观察图像：横坐标自变量是时间，纵坐标因变量是路程.
故答案为：时间；路程；
（2）
根据图象可知，点“”代表的意义为乌龟在出发后到达终点，距出发地，
故答案为：乌龟在出发后到达终点，距出发地，
（3）
根据图象可知：
兔子没有睡觉前的速度是，乌龟的速度是，
故答案为：700，50；
（4）
乌龟在出发后追上正在睡觉的兔子．
故答案为：14；
【分析】
（1）根据变量的定义：在一个变化关系中，有两个对应的量，其中一个量（因变量）随另一个量（自变量）的变化而变化，解答即可；
（2）根据图象：龟兔赛跑中，乌龟没有休息，可知OD为乌龟行使的图像，由此可知代表的意义；
（3）根据图象OA段代表兔子没有睡觉，路程为700，时间为1，即可求出速度；乌龟的路程是1500，时间是30，即可求出速度；计算即可；
（4）由函数图象追上兔子时路程为700，乌龟速度为50；可得答案．
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
24．（2024七下·紫金期末）综合与探究
【阅读理解】
图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合．
某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______．
（2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______．
【拓展探究】
该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解．
例：若x满足，求(的值．
解：设，
则．
∴．
（3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积．
【答案】解：设，，
四边形和四边形为正方形，
，，
四边形为正方形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
正方形和正方形的面积之和为38，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由图2，阴影部分面积的两种表示方法：
第一种：阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形，
；
第二种：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积，
；
，
故答案为：；
（2）将代入①中等式，得：
，
故答案为：62
【分析】
（1）由图2，阴影部分面积的两种表示方法可得第一种：阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形，利用正方形面积公式即可得出，第二种：用大正方形面积减去两个长方形的面积即可得出；建立等量关系即可得答案
（2）将整体代入①中等式即可求解；
（3）利用正方形的性质可知AD=CD，设，，将与的关系表示出来，再利用阴影部分面积为38即可求出，再变形求解即可．
25．（2024七下·紫金期末）综合运用
【问题情景】
如图1，，点 P 在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点 P作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到 ．
【问题解决】
（1）如图2，，点 P在直线，之间，连接，， 与的平分线相交于点K．若，则______．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
（3）如图3，，点 P 落在外，与 的平分线相交于点K，若，，试判断α和β存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：根据解析（1）可知：，
∵，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图，过K作，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念；猪蹄模型；乌鸦嘴模型
【解析】【解答】解：（1）如图，过K作，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
过P作，
同理可得，，
∵与的角平分线相交于点K，
∴，，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】
（1）过K作，得，由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到；
（2）根据解析（1）的思路得，进行求解即可；
（3）过K作，可得；由平行公理得推论得，可得，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出．
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