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广东省肇庆市高要区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·高要期末）在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·高要期末）若，则下列各式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·高要期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第二次的拐角是，第一次的拐角是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·高要期末）手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·高要期末）如图，某校对学生到校方式进行调查并绘制如下统计图，若该校学生总数300人，则骑车到校的学生有（　　）
A．30人 B．60人 C．75人 D．135人
6．（2024七下·高要期末）不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·高要期末）一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（　　）
A．64 B．49 C．14 D．7
8．（2024七下·高要期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．书中有这样一题：“今有共买物，人出九，盈八；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多8元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有个人，该物品价格是元，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·高要期末）如图是某商场售卖的躺椅其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·高要期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯（HermannEbbinghaus，1850－1909）第一个发现了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，其中竖轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间，分析图象得到下列结论，其中正确的是（　　）
A．记忆后0~2小时比2~4小时的遗忘速度慢
B．记忆保持量下降到所用时间为4小时
C．点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%
D．记忆16小时后，记忆保持量始终保持不变
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024七下·高要期末）9的算术平方根是 　 　．
12．（2024七下·高要期末）在平面直角坐标系中，点，先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，与点重合，则点的坐标是　 　．
13．（2024七下·高要期末）2020年7月7日，美团发布将成立“优选事业部”推出美团优选，进入社区电商赛道，采取“预购+自提”的模式，为社区家庭用户精选高性价比的蔬菜、水果、肉禽蛋、酒水零食、家居厨卫、速食冻品、粮油调味等品类商品，满足家庭日常三餐所需，价格普遍低于市场价．如图是某电商今年1 5月份销售额统计图，根据图中信息，可以判断相邻两个月销售额相差的最大值是　 　万元．
14．（2024七下·高要期末）关于，的方程组的解满足，则的值为　 　．
15．（2024七下·高要期末）如图，直线，与两平行直线，分别相交于、、、四点，延长交直线于点．若，点是线段上一动点，则　 　．
三、解答题（每小题8分，共24分）
16．（2024七下·高要期末）计算：
17．（2024七下·高要期末）解方程组：
18．（2024七下·高要期末）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（2024七下·高要期末）已知在平面直角坐标系中，如图，，点为轴正半轴上的一点．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
20．（2024七下·高要期末）2024年5月26日，“高要区中小学校拔尖创新人才早期培养工作推进会暨少年科学院揭牌仪式”在高要区教师发展中心圆满举行，标志着我区在培育未来创新人才的征途上迈出了坚实的一步．高要区少年科学院科普实验小组为了解当天的天气情况，对当天的天气作了预测，用下面的折线图描述了当天的气温变化情况：
实验小组按“组距为4”制作了如下不完整的频数分布表（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图：
当天气温频数分布表
组别 气温分组 频数 频率
A
B c
C 6 0.25
D 3 0.125
根据上述数据，解答下列问题：
（1）这一天最高气温是________℃，最低气温是________℃；
（2）请求出表中的________，________，________，________，并补全频数分布直方图；
（3）请求出扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数；
（4）实验小组计划在当天开展户外拓展活动，大约需要两小时，为防止由于气温过高（30℃以上）出现中暑情况，请应用你学的知识，说说户外拓展活动在哪个时间段举行比较好，为什么？
21．（2024七下·高要期末）2024年6月10日，金象山下，新兴江畔，锣鼓喧天，一场别开生面的龙舟赛拉开了端午节的序幕．端午节期间，吃粽子、品艾糍深受大家的喜爱．某商家出售粽子和艾糍，经问询，3个粽子和2个艾糍需16元，5个粽子和3个艾糍需26元．
（1）问该商家出售的粽子和艾糍的单价各是多少钱？
（2）某龙舟队从该商家计划用不超过300元的资金购买粽子和艾糍共100个，问粽子的购买数量最多可以多少个？
五、解答题（每小题12分，共24分）
22．（2024七下·高要期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE＝∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°，求∠CED的度数．
23．（2024七下·高要期末）如图，在正方形中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，是的中点，点以每秒3个单位长度的速度沿着的路线移动，设点的移动时间为秒．
（1）点的坐标为________；点的坐标为________；
（2）当点到轴的距离为6个单位长度时，求的值；
（3）连接，，在点移动过程中，当时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，则原式不成立，故A是错误的；
B、∵，∴，则原式不成立，故B是错误的；
C、∵，∴，原式不成立，故C是错误的；
D、∵，∴一定成立，故D是正确的；
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意知，，
；
故答案为：A．
【分析】利用两直线平行，内错角相等可得.
4．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则信号最强的是．
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意得（人）.
故答案为：C．
【分析】利用“骑车的人数=总人数×骑车的百分比”列出算式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去括号得：
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】平方根的性质
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有个人，该物品价格是元，
根据题意，可列方程组为，
故答案为：B．
【分析】设共有个人，该物品价格是元，根据“ 每人出9元，多8元；每人出7元，少4元 ”列出方程组即可.
9．【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵扶手与底座都平行于地面，
∴，
∴，
又∵，
∴，
.∵，
∴．
故选：A．
【分析】先求出，再根据平行线的性质求出，最后计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知记忆后0~2小时比2~4小时的遗忘速度快，原说法错误，故不符合题意；
B、由图象可知记忆保持量下降到所用时间为2小时，原说法错误，故不符合题意；
C、点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%，正确，故符合题意；
D、记忆16小时后，记忆保持量的遗忘速度逐渐变慢，原说法错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数图象的横纵轴表示的量及数据逐一判断即可.
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点，先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，与点重合，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
13．【答案】10
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：月，（万元）；
月，（万元）；
月，（万元）；
月，（万元）；
∵
∴两个月销售额相差的最大值是10万元
故答案为：10.
【分析】根据折线统计图中的数据分别求出相邻两个月的销售额差，再比较大小即可.
14．【答案】4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵关于x，y的方程组的解满足，
∴，
解得，
故答案为：4．
【分析】先利用加减消元法求出方程组的解，再结合，可得，最后求出k的值即可.
15．【答案】
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：过点P作，
设
∵
∴
∵
∴
∴，，
∴
故答案为：.
【分析】过点P作，设，利用平行线的性质可得，，，再利用角的运算求出即可.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用算术平方根、立方根和有理数的乘方化简，再计算即可.
17．【答案】解：
把②代入①得：3x+2(x-1)=8，
解得：x=2.
把x=2代入②得：
y=1.
故方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可.
18．【答案】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组解集为：．
解集在数轴上表示如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理
20．【答案】（1），
（2）6，0.25，9，0.375，
补全频数分布直方图，如图所示：
（3）解：依题意，
扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数为.

（4）解：依题意，结合描述了当天的气温变化情况的折线图可得：
户外拓展活动在8点点或者9点点时间段举行比较好，
理由：这段时间气温在以下，并且参加完户外活动后可以参加揭牌仪式．（答案不唯一）
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】（1）解：结合描述了当天的气温变化情况的折线图，
∴这一天最高气温是，最低气温是；
故答案为：，.
（2）解：，
结合描述了当天的气温变化情况的折线图可得：的频数有6个；
∴；
结合描述了当天的气温变化情况的折线图可得：的频数有9个；
∴；
故答案为：6，0.25，9，0.375.
【分析】（1）根据折线统计图直接分析求解即可；（2）根据折线统计图中的数据，利用频数和频率的定义及计算方法分析求解，再作出条形统计图即可；（3）先求出“B”的百分比，再乘以360°可得答案；（4）结合折线统计图直接分析求解即可.
21．【答案】（1）解：设粽子的单价为元，艾糍的单价为元，
依题意得： ，
解得
答：粽子的单价为4元，艾糍的单价为2元；
（2）解：设粽子的购买数量为个，
根据题意可得：，
解得：，
答：粽子的购买量为50个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设粽子的单价为元，艾糍的单价为元，根据“ 3个粽子和2个艾糍需16元，5个粽子和3个艾糍需26元 ”列出方程组 ，再求解即可；
（2）设粽子的购买数量为个，根据“ 该商家计划用不超过300元的资金购买粽子和艾糍共100个 ”列出不等式，再求解即可.
22．【答案】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°．
∵∠B＝∠D，
∴∠C+∠D＝180°
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠BEA．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠BEA．
（2）解：∵∠ADE＝3∠CDE，设∠CDE＝x，
∴∠ADE＝3x，∠ADC＝2x．
∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°
∴
由（1）可知： ，
∵AD∥BC
∴∠BED+∠ADE＝180°
∴
∵∠AED＝60°，
即 ，
∴∠CDE＝x＝15°，∠ADE＝45°．
∵AD∥BC．
∴ ．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质和证明证出∠DAE＝∠BEA，再利用角平分线的定义可得∠DAE＝∠BAE，最后利用等量代换可得∠BAE＝∠BEA；
（2）设∠CDE＝x，则∠ADE＝3x，∠ADC＝2x，再结合，列出方程 ，求出∠CDE＝x＝15°，∠ADE＝45°，最后求出 即可．
23．【答案】（1），
（2）解：当点在线段上，
∵点到轴的距离为6个单位长度，
∴，
∴；
当点在线段上时，则点的运动路程为，
∴；
综上所述，满足条件的的值为或.
（3）或
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（3）解：当点在线段上时，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点在上时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在上时，
∵，
∴，
∴，
∴不符合题意，舍去；
综上，的值为或．
【分析】（1）利用正方形的性质可得，，， 再结合点B的坐标求出点Q的坐标即可；
（2）分类讨论：①当点在线段上，②当点在线段上时，再结合图形并利用速度、时间和路程的关系分析求解即可；
（3）分类讨论：①当点在线段上时，②当点在上时，③当点在上时，画出图形并利用三角形的面积公式求解即可.
1 / 1广东省肇庆市高要区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·高要期末）在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
2．（2024七下·高要期末）若，则下列各式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴，则原式不成立，故A是错误的；
B、∵，∴，则原式不成立，故B是错误的；
C、∵，∴，原式不成立，故C是错误的；
D、∵，∴一定成立，故D是正确的；
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．（2024七下·高要期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第二次的拐角是，第一次的拐角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意知，，
；
故答案为：A．
【分析】利用两直线平行，内错角相等可得.
4．（2024七下·高要期末）手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则信号最强的是．
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
5．（2024七下·高要期末）如图，某校对学生到校方式进行调查并绘制如下统计图，若该校学生总数300人，则骑车到校的学生有（　　）
A．30人 B．60人 C．75人 D．135人
【答案】C
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：根据题意得（人）.
故答案为：C．
【分析】利用“骑车的人数=总人数×骑车的百分比”列出算式求解即可.
6．（2024七下·高要期末）不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
去括号得：
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
7．（2024七下·高要期末）一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是（　　）
A．64 B．49 C．14 D．7
【答案】A
【知识点】平方根的性质
8．（2024七下·高要期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．书中有这样一题：“今有共买物，人出九，盈八；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多8元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？设共有个人，该物品价格是元，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设共有个人，该物品价格是元，
根据题意，可列方程组为，
故答案为：B．
【分析】设共有个人，该物品价格是元，根据“ 每人出9元，多8元；每人出7元，少4元 ”列出方程组即可.
9．（2024七下·高要期末）如图是某商场售卖的躺椅其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵扶手与底座都平行于地面，
∴，
∴，
又∵，
∴，
.∵，
∴．
故选：A．
【分析】先求出，再根据平行线的性质求出，最后计算求解即可。
10．（2024七下·高要期末）人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯（HermannEbbinghaus，1850－1909）第一个发现了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，其中竖轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间，分析图象得到下列结论，其中正确的是（　　）
A．记忆后0~2小时比2~4小时的遗忘速度慢
B．记忆保持量下降到所用时间为4小时
C．点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%
D．记忆16小时后，记忆保持量始终保持不变
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知记忆后0~2小时比2~4小时的遗忘速度快，原说法错误，故不符合题意；
B、由图象可知记忆保持量下降到所用时间为2小时，原说法错误，故不符合题意；
C、点A表示记忆15小时后记忆保持量约为36%，正确，故符合题意；
D、记忆16小时后，记忆保持量的遗忘速度逐渐变慢，原说法错误，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数图象的横纵轴表示的量及数据逐一判断即可.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024七下·高要期末）9的算术平方根是 　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
12．（2024七下·高要期末）在平面直角坐标系中，点，先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，与点重合，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点，先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，与点重合，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
13．（2024七下·高要期末）2020年7月7日，美团发布将成立“优选事业部”推出美团优选，进入社区电商赛道，采取“预购+自提”的模式，为社区家庭用户精选高性价比的蔬菜、水果、肉禽蛋、酒水零食、家居厨卫、速食冻品、粮油调味等品类商品，满足家庭日常三餐所需，价格普遍低于市场价．如图是某电商今年1 5月份销售额统计图，根据图中信息，可以判断相邻两个月销售额相差的最大值是　 　万元．
【答案】10
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：月，（万元）；
月，（万元）；
月，（万元）；
月，（万元）；
∵
∴两个月销售额相差的最大值是10万元
故答案为：10.
【分析】根据折线统计图中的数据分别求出相邻两个月的销售额差，再比较大小即可.
14．（2024七下·高要期末）关于，的方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：
得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵关于x，y的方程组的解满足，
∴，
解得，
故答案为：4．
【分析】先利用加减消元法求出方程组的解，再结合，可得，最后求出k的值即可.
15．（2024七下·高要期末）如图，直线，与两平行直线，分别相交于、、、四点，延长交直线于点．若，点是线段上一动点，则　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：过点P作，
设
∵
∴
∵
∴
∴，，
∴
故答案为：.
【分析】过点P作，设，利用平行线的性质可得，，，再利用角的运算求出即可.
三、解答题（每小题8分，共24分）
16．（2024七下·高要期末）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用算术平方根、立方根和有理数的乘方化简，再计算即可.
17．（2024七下·高要期末）解方程组：
【答案】解：
把②代入①得：3x+2(x-1)=8，
解得：x=2.
把x=2代入②得：
y=1.
故方程组的解为：
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可.
18．（2024七下·高要期末）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组解集为：．
解集在数轴上表示如图：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（2024七下·高要期末）已知在平面直角坐标系中，如图，，点为轴正半轴上的一点．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理
20．（2024七下·高要期末）2024年5月26日，“高要区中小学校拔尖创新人才早期培养工作推进会暨少年科学院揭牌仪式”在高要区教师发展中心圆满举行，标志着我区在培育未来创新人才的征途上迈出了坚实的一步．高要区少年科学院科普实验小组为了解当天的天气情况，对当天的天气作了预测，用下面的折线图描述了当天的气温变化情况：
实验小组按“组距为4”制作了如下不完整的频数分布表（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图：
当天气温频数分布表
组别 气温分组 频数 频率
A
B c
C 6 0.25
D 3 0.125
根据上述数据，解答下列问题：
（1）这一天最高气温是________℃，最低气温是________℃；
（2）请求出表中的________，________，________，________，并补全频数分布直方图；
（3）请求出扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数；
（4）实验小组计划在当天开展户外拓展活动，大约需要两小时，为防止由于气温过高（30℃以上）出现中暑情况，请应用你学的知识，说说户外拓展活动在哪个时间段举行比较好，为什么？
【答案】（1），
（2）6，0.25，9，0.375，
补全频数分布直方图，如图所示：
（3）解：依题意，
扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数为.

（4）解：依题意，结合描述了当天的气温变化情况的折线图可得：
户外拓展活动在8点点或者9点点时间段举行比较好，
理由：这段时间气温在以下，并且参加完户外活动后可以参加揭牌仪式．（答案不唯一）
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】（1）解：结合描述了当天的气温变化情况的折线图，
∴这一天最高气温是，最低气温是；
故答案为：，.
（2）解：，
结合描述了当天的气温变化情况的折线图可得：的频数有6个；
∴；
结合描述了当天的气温变化情况的折线图可得：的频数有9个；
∴；
故答案为：6，0.25，9，0.375.
【分析】（1）根据折线统计图直接分析求解即可；（2）根据折线统计图中的数据，利用频数和频率的定义及计算方法分析求解，再作出条形统计图即可；（3）先求出“B”的百分比，再乘以360°可得答案；（4）结合折线统计图直接分析求解即可.
21．（2024七下·高要期末）2024年6月10日，金象山下，新兴江畔，锣鼓喧天，一场别开生面的龙舟赛拉开了端午节的序幕．端午节期间，吃粽子、品艾糍深受大家的喜爱．某商家出售粽子和艾糍，经问询，3个粽子和2个艾糍需16元，5个粽子和3个艾糍需26元．
（1）问该商家出售的粽子和艾糍的单价各是多少钱？
（2）某龙舟队从该商家计划用不超过300元的资金购买粽子和艾糍共100个，问粽子的购买数量最多可以多少个？
【答案】（1）解：设粽子的单价为元，艾糍的单价为元，
依题意得： ，
解得
答：粽子的单价为4元，艾糍的单价为2元；
（2）解：设粽子的购买数量为个，
根据题意可得：，
解得：，
答：粽子的购买量为50个．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设粽子的单价为元，艾糍的单价为元，根据“ 3个粽子和2个艾糍需16元，5个粽子和3个艾糍需26元 ”列出方程组 ，再求解即可；
（2）设粽子的购买数量为个，根据“ 该商家计划用不超过300元的资金购买粽子和艾糍共100个 ”列出不等式，再求解即可.
五、解答题（每小题12分，共24分）
22．（2024七下·高要期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE＝∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE＝3∠CDE，∠AED＝60°，求∠CED的度数．
【答案】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°．
∵∠B＝∠D，
∴∠C+∠D＝180°
∴AD∥BC．
∴∠DAE＝∠BEA．
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE．
∴∠BAE＝∠BEA．
（2）解：∵∠ADE＝3∠CDE，设∠CDE＝x，
∴∠ADE＝3x，∠ADC＝2x．
∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°
∴
由（1）可知： ，
∵AD∥BC
∴∠BED+∠ADE＝180°
∴
∵∠AED＝60°，
即 ，
∴∠CDE＝x＝15°，∠ADE＝45°．
∵AD∥BC．
∴ ．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质和证明证出∠DAE＝∠BEA，再利用角平分线的定义可得∠DAE＝∠BAE，最后利用等量代换可得∠BAE＝∠BEA；
（2）设∠CDE＝x，则∠ADE＝3x，∠ADC＝2x，再结合，列出方程 ，求出∠CDE＝x＝15°，∠ADE＝45°，最后求出 即可．
23．（2024七下·高要期末）如图，在正方形中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，是的中点，点以每秒3个单位长度的速度沿着的路线移动，设点的移动时间为秒．
（1）点的坐标为________；点的坐标为________；
（2）当点到轴的距离为6个单位长度时，求的值；
（3）连接，，在点移动过程中，当时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）解：当点在线段上，
∵点到轴的距离为6个单位长度，
∴，
∴；
当点在线段上时，则点的运动路程为，
∴；
综上所述，满足条件的的值为或.
（3）或
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，；
（3）解：当点在线段上时，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点在上时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当点在上时，
∵，
∴，
∴，
∴不符合题意，舍去；
综上，的值为或．
【分析】（1）利用正方形的性质可得，，， 再结合点B的坐标求出点Q的坐标即可；
（2）分类讨论：①当点在线段上，②当点在线段上时，再结合图形并利用速度、时间和路程的关系分析求解即可；
（3）分类讨论：①当点在线段上时，②当点在上时，③当点在上时，画出图形并利用三角形的面积公式求解即可.
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