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专题四 函数的实际应用
类型一、一次函数的图象信息问题
1.在A，B两地之间有服务区C，甲车由 A地驶往服务区C，乙车由B地驶往 A 地，两车同时出发，匀速行驶，如图分别是甲、乙两车与服务区C的距离y ，y (单位：km)与乙车行驶时间x(单位：h)之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车的速度是 km/h;
(2)求图象中线段 DF 对应的函数解析式；
(3)当两车与服务区C的距离之和是360km时，求此时乙车的行驶时间.
2.一种大棚蔬菜处在0℃以下的气温条件下超过3h就会遭受冻害，故技术人员会根据气温进行预估，判断是否需要采取防冻措施.某天，该地区气象台发布如下的降温预报：由0时至8时，气温y(单位：℃)与时刻x(单位：h)的函数关系如图所示.
(1)求直线 BC 的函数解析式；
(2)你认为是否有必要对大棚蔬菜采取防冻措施，请说明理由.
类型二·一次函数的优选问题
3.洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，口感酥松绵软，而且具有促进人体代谢、降低胆固醇和防止细胞老化等功能，深受老百姓喜爱.小星假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给家人和朋友品尝.已知甲、乙两家超市都以20元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动：
甲超市：办理本超市会员卡(卡费50元)，食品全部打七折销售；
乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售.
活动期间，若小星购买牡丹饼的数量为x(单位：盒)，在甲、乙超市所需费用分别为y ,y (单位：元)，y 与x之间的函数图象如图所示，解答下列问题：
(1)分别求出 y ，y 与x之间的函数解析式；
(2)当x的值为多少时，在两家超市购买所需费用一样
(3)若小星准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算.
4.小展农硕毕业之后，怀揣着对农村的梦想和对基层服务的热情，毅然地参加了“三支一扶”，来到了基层农村，他在农村带领村民种植杂交草莓，在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘.现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，但是两家果园的采摘方案不同：
甲果园：每人需购买一张20元的门票，采摘的草莓按6折优惠；
乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠.
设小艺和爸爸、妈妈三个人采摘的草莓数量为 x kg，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为y甲元、yz元，其函数图象如图所示.
(1)分别写出y甲，yz 与x之间的函数解析式；
(2)求出图中点C 的坐标；
(3)请根据函数图象，你认为小艺一家选择哪家果园采摘更合算.
类型三·二次函数实际应用之面积问题
5.如图，在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，设整幅挂图的面积为y(单位：cm )，金色纸边的宽为x(单位：cm)，要求纸边的宽不少于1 cm，同时不超过2cm.
(1)求y 与x之间的函数解析式；
(2)当整幅挂图的面积为 时，求金色纸边的宽；
(3)当金色纸边的宽为多少厘米时，这幅挂图的面积最大 并求出最大面积.
6.如图，某市计划利用现有的一段“L”字形的古城墙和总长为280m的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆DBEF(粗线ABC 表示古城墙，细线表示仿古城墙，展览馆中间GH 也是用仿古城墙隔开)，已知，
(1)如图1，若点 D 在线段AB 上，所围成的展览馆DBEF 的面积为 求DF 的长;
(2)如图2，点 D 在线段BA 的延长线上，当 DF 为多少时，展览馆DBEF 的面积最大 最大面积为多少平方米
类型四·二次函数实际应用之利润问题
7.为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦.村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y(单位：kg)与售价x(单位：元/kg)之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W 元.
(1)分别求出y与x、W与x之间的函数解析式；
(2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出 200 元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价；
(3)若该农产品的日销售量不低于90 kg，则当售价定为多少时，每天获取的利润最大 最大利润是多少元
8.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m(单位：万元)与原料的质量x(单位：t)之间的关系为m=50+0.2x，售价y(单位：万元/t)与原料的质量x(单位：t)之间的关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数解析式；(不需要写出自变量x的取值范围)
(2)设销售收入为 P(单位：万元)，求P 与x之间的函数解析式；(不需要写出自变量x的取值范围)
(3)当原料的质量为多少吨时，所获销售利润最大 最大销售利润是多少万元 (销售利润=销售收入一总支出)
类型五·二次函数实际应用之抛物线形问题
9.新新考向·情境命题赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图2 所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位：m)与到点O的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y= 据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为 3m .
(1)水面的宽度OA= m;
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9 m，求最多可设计龙舟赛道的数量.
10.新新考向·情境命题跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一.如图，运动员通过助滑道后在点 A 处起跳，经空中飞行后落在着陆坡 BC 上的点 P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分.这里OA 表示起跳点 A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡 BC 的高度，OB 表示着陆坡底端 B 到点②的水平距离，建立平面直角坐标系如图所示，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB 的竖直距离y(单位：m)与他在水平方向上移动的距离x(单位：m)近似满足函数关系 已知OA=70m,OC=60 m,落点 P到OC 的水平距离是30 m,到地面OB 的竖直高度是37.5m .
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t=0，x=0；当他在点 P 着陆时，飞行时间为5 s.
①求x关于t 的函数解析式；
②当运动员与着陆坡BC 在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他的飞行时间t的值.
类型六·反比例函数实际应用
11.新新考向·学科融合某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气球的体积V(单位：m )的反比例函数，其图象如图所示.
(1)求这个函数的解析式；
(2)当气球的体积为1.2m 时，气球内的气压是多少千帕
(3)当气球内的气压大于160 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积应控制的范围、
12.新新考向·学科融合某科技小组的同学制作了一个简易台秤(如图1)用来测物体的质量，内部电路如图2所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数，已知电源电压U为18 V，定值电阻R 为30Ω，电阻 R 为力敏电阻，其阻值R(单位：Ω)与所受压力F(单位：N)符合反比例函数关系.
F/N 120 ————— 60 50 _________ 30
R/Ω 5 6 10 12 15 20
(1)请补全表格，在图3中补全点，画出R(单位：Ω)与F(单位：N)的关系图象，并求出阻值R(单位：Ω)与所受压力 F(单位：N)的函数解析式；
(2)已知电路中电流I(单位：A)与电阻、电源电压的关系式为 当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值.若电流表的示数为0~0.5A，则该台秤最大可称多重的物体
(3)已知力敏电阻所受压力F(单位：N)与所测物体的质量m(单位：kg)的关系为F=mg(其中g=10 N/kg).若力敏电阻阻值的变化范围为8≤R≤25(单位:Ω),则所测物体的质量m(单位：kg)的变化范围是 .
1.解:(1)70
(2)乙车的速度为 120÷2=60(km/h),420÷60=7(h).
∴F(9,420).
设线段 DF 对应的函数解析式为y = kx+b(k≠0).
将点 D(2,0),F(9,420)代入,得
解得
∴线段 DF 对应的函数解析式为y =60x-120(2≤x≤9).
(3)当0≤x<2时,设
将点(0,120),(2,0)代入,得
解得
同理，得
设乙车行驶 xh，两车与服务区C的距离之和是360 km.
当0≤x<2时,-70x+420-60x+120=360.
解得
当2≤x≤6时,-70x+420+60x-120=360.
解得x=-6(不合题意，舍去).
当6答：当两车与服务区C的距离之和是 360 km时，乙车的行驶时间是 h或8h.
2.解:(1)设直线 BC 的解析式为y= kx+b.
将点C(8,5),B(5,-3)代入,得
解得
∴直线 BC 的解析式为
(2)有必要对大棚蔬菜采取防冻措施.理由如下：设直线AB 的解析式为y= mx+n.
将点A(0,3),B(5,-3)代入,得
解得
∴直线 AB 的解析式为
当y=0时, 解得
∴直线 AB 与x轴的交点为
在 中，令y=0,得
解得
∴直线 BC 与x轴的交点为
∴.有必要对大棚蔬菜采取防冻措施.
解:(1)根据题意,得y =50+0.7×20x=14x+50.
当0≤x≤10时,
当x>10时,设.
将点(10,200),(25,380)代入,得
解得
∴ y 与 x 之 间 的 函 数 解 析 式 为
(2)根据题意,得14x+50=20x或14x+50=12x+80.
解得 或x=15.
∵x为整数,∴x=15、
∴当x=15时，在两家超市购买所需费用一样、
(3)当x=20时, 80=320.
.在乙超市购买更划算、
4.解：(1)根据题意，得y甲 与x之间的函数解析式为y甲=20×3+0.6×30x=18x+60、
根据题意，设yz 与x之间的函数解析式为yz= kx(k≠0).
将点(10,300)代入,得10k=300、解得k=30.
∴yz与x之间的函数解析式为yz=30x.
z时，联立方程组，得
解得
∴点C 的坐标为(5,150).
(3)当y甲< yz 时,得18x+60<30x.解得x>5.
∴当采摘量大于5kg 时，到甲果园更划算.
当y甲= yz 时,得18x+60=30x.解得x=5.
∴当采摘量为5kg 时，到两家果园所需总费用一样.
当y甲> yz 时,得18x+60>30x.解得x<5.
∴当采摘量小于 5kg 时，到乙果园更划算.
5.解:(1)镶金色纸边后风景画的长为(80+2x) cm,宽为(50+2x) cm.
x≤2).
(2)令 y=4 264,得4x +260x+4000=4264.
解得
∵1≤x≤2,∴x=1.
答:当整幅挂图的面积为 4 264 cm l时，金色纸边的宽为1 cm.
(3)∵二次函数 的对称轴为直线 又抛物线开口向上，
∴当1≤x≤2时,y 随x的增大而增大.
∴当x=2时，y取最大值，最大值为 4 000=4 536.
答：当金色纸边的宽为2cm 时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm .
6.解:(1)设 DF 的长为x m.
∵点D 在线段AB 上,四边形 DBEF 和四边形 DGHF均是矩形，
∴DF=GH=BE=x m,EF=DB.
∵BC=20 m,∴CE=BE-BC=(x-20)m.
∴EF=280-2x-(x-20)=(300-3x)m.
∵AB=60 m,∴EF=DB≤60,即300-3x≤60.
解得x≥80.
根据题意,得x(300-3x)=4 800.
解得x =80,x =20(不合题意,舍去).
∴DF 的长为80 m.
(2)设展览馆 DBEF 的面积为S m ,DF 的长为x m.
∵点 D 在线段BA 的延长线上，四边形 DBEF 和四边形DGHF 均是矩形,
∴DF=GH=BE=x m,EF=DB.
∵DF+GH+BE+EF+DB=(DF+GH+CE+EF+AD)+(AB+BC)=280+60+20=360(m).
解得x<80.
根据题意，得
∴当x=60时,S 有最大值,S最大值=5 400.
∴当DF 为 60 m时,展览馆 DBEF 的面积最大,最大面积为5 400 m .
7.解:(1)设y与x之间的函数解析式为y= kx+b(k≠0).
把点(30,100),(40,80)代入,得 解得
∴y与x之间的函数解析式为y=-2x+160(20根据题意,得 W=(x--20)·y=(x--20)(--2x+
∴W与x 之间的函数解析式为 3 200(20(2)根据题意，得·
解得
∵20答：该农产品的售价为30元/kg.
(3)根据题意,得-2x+160≥90.解得x≤35.
∴20又a=-2<0,
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=50，
∴当20∴当x =35 时,W 有最大值,
答：当售价定为35元/kg时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元.
8.解：(1)设y与x之间的函数解析式为y= kx+b(k≠0).将点(20,15),(30,12、5)代入,得
解得
∴y与x之间的函数解析式为
(2)根据题意，得
∴P 与x之间的函数解析式为
(3)设销售利润为W万元.
根据题意，得
当x=24时,W有最大值,最大值为65.2..
∴当原料的质量为24 t时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元.
9.解:(1)60
(2)令 y=5,得-
解得
∴可设计赛道的宽度为50-10=40(m).
∴最多可设计4条龙舟赛道.
10.解:(1)将点A(0,70),P(30,37.5)代入 bx+c,得 解得 ∴y关于x的函数解析式为
(2)①设x关于t的函数解析式为x= kt+d(k≠0).将点(0,0),(5,30)代入,得 解得
∴x关于t的函数解析式为x=6t.
②设直线 BC 的解析式为y= mx+n.
将点(C(0,60),P(30,37.5)代入,得 解得
∴直线 BC 的解析式为
如图，设运动员飞行过程中的某一位置为点 M，过点M 作MN∥y轴,交 BC 于点 N.
设 则
∴当a=13时,MN 有最大值,此时
∴当运动员与着陆坡 BC 在竖直方向上的距离达到最大时，他的飞行时间t的值为
11.解：(1)设这个函数的解析式为
将点(2,48)代入,得k=96.
∴这个函数的解析式为
(2)在 中，当V=1.2时,
∴气球内的气压是80 kPa.
(3)在 中，当p=160时,
∵当V>0时，p 随V的增大而减小，
∴当p≤160时,V≥0.6.
∴为了安全起见，气球的体积应控制的范围为V≥0.6.
12.解:(1)100;40
画图如图所示.
设阻值 R 与所受压力 F 的函数解析式为 将点(120,5)代入,得k=120×5=600.
∴阻值 R 与所受压力 F 的函数解析式为
(2)当I=0.5时,得 解得R=6.
当R=6时,R+30≠0.
将R=6代入 得F=100.
∴该台秤最大可称 100 N的物体.
(3)2.4≤m≤7.5

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