资源简介

专题 4 二次函数解析式的实际应用
类型 1·由实物规律得到二次函数
1.新新考向·综合与实践|每领跑原创|【发现问题】蜜蜂的蜂巢结构非常精美，每个巢室都是由多个六边形组成的(如图1)，小星同学对蜂巢结构十分感兴趣，他用若干个形状、大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼接成如图2所示的若干个图案.爱思考的小星发现，在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层(最下面一层)正六边形模具个数的变化而变化.
【提出问题】在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y 与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系
【分析问题】小星同学结合实际操作和计算得到如下表所示的数据：
第一层正六边形模具的个数x 1 2 3 4
拼接图案中所需正六边形模具的总个数y 1 7 19 37
在平面直角坐标系中描出上表中各对数值所对应的点，如图3，小星根据图3中点的分布情况，猜想其图象可能是二次函数图象的一部分.为了验证自己的猜想，小星从“形”的角度出发，借助“割补”的思想，把拼接图案中上半部分的正六边模具(虚线部分)移到下面(如图4)，并把第一层缺少的正六边形模具(阴影部分)补全，再拼接到一起(如图5)，使每一层正六边形模具的数量相同，借助此图形求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的函数关系式.
【解决问题】(1)直接写出y 与x之间的函数关系式；
(2)若小星同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求他拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，已知点 A，B为正六边形模具相邻的两个顶点， 现有一张长 100 cm、宽80 cm的长方形桌子，若按图2的方式拼接图案(模具间的缝隙忽略不计)，最多可以放下多少个正六边形模具 (参考数据：
类型2·由实验数据得到二次函数
2.【问题背景】
鹰眼系统是一种用于许多体育比赛中的球类判决技术，它能够追踪、记录和预测球的轨迹.如图，分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(图1)和截面示意图(图2)，攻球员位于点O，守门员位于点 A，OA 的延长线与球门线相交于点B，且点 A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线的一部分.已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s.
【数据分析】
小星想要得到抛物线的解析式，通过调研，他得到了足球飞行的水平距离s(单位：m.水平距离=水平速度×时间)与离地高度h(单位：m)的鹰眼数据如下表：
s/m 9 12 15 18 21
h/m 4.2 4.8 5 4.8 4.2
(1)根据表中数据预测足球落地时，
【解决问题】
(2)求h关于s的函数解析式(不需要写出s 的取值范围)；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功.已知守门员面对足球后退的速度为 最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中的最大防守高度为1.8 m.
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守 请说明理由；
若守门员背对足球向球门前进并成功防守，直接写出此过程守门员的最小速度.
3.新新考向·跨学科融合如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在点 A 处开始减速，此时白球在黑球右侧 70 cm处.
小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位：cm/s)、运动距离y(单位：cm)随运动时间t(单位：s)变化的数据，整理部分数据得下表：
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度v/(cm/s) 10 9.5 9 8.5 8
运动距离 y/cm 0 9.75 19 27.75 36
(1)若v与t 的数量变化关系满足一次函数，则v与t 之间的函数解析式为 ；
(2)在平面直角坐标系中，描出上表中各对t与y数值所对应的点，把这些点用光滑的曲线连接，发现图象是抛物线的一部分，求y与t之间的函数解析式；
(3)①黑球在某3s的时间内的平均速度有没有可能为6 cm/s 若有可能，请求出是从哪个时间开始的；若没有可能，请说明理由；
探究某个时间范围内，黑球的初始速度 v 、最终速度 v 和这段时间的平均速度 v'的数量关系.
(4)若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，则黑球在减速过程中会不会碰到白球 请说明理由.
4.过程学习【发现问题】小迪同学利用无人机玩“投弹”游戏，无人机以不变的速度水平飞行，他发现在不同高度释放小球，小球落地点与小球释放点之间的水平距离有所不同.
【提出问题】为了准确投中目标，需要知道小球释放点与地面的竖直高度和小球释放点与落地点的水平距离之间的关系.
【分析问题】小迪控制无人机在不同的高度释放小球，分别测量了小球释放点与落地点的水平距离和竖直高度，实验结果如下表：
小球释放点与落地点的水平距离x/m 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8
小球释放点与落地点的竖直高度 y/m 0 0.2 0.8 1.8 3.2 5 7.2
小迪同学建立平面直角坐标系，描出上面表格中每对数值所对应的点，得到图1，小迪根据图1中点的分布情况，确定其图象是二次函数图象的一部分，从而确定在一定高度释放小球的运动轨迹是一条抛物线.
【解决问题】如图2，小迪控制无人机在距地面20m的竖直高度(OE=20m)水平向右飞行.为了更形象地描述，小迪在平面直角坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致.
(1)请直接写出图2中y关于x的函数解析式，并求此时小球释放点O与落地点F 之间的水平距离EF 的长；
(2)在距点E 正前方12m(AE=12m)的地面点A 处,有一高度为5m(AD=5m),直径为 的圆柱形目标，它的最大截面为矩形 ABCD，矩形 ABCD 和坐标轴在同一平面内.求无人机离开点O后，在什么飞行范围内释放小球可以击中目标；
(3)若在距(2)中的圆柱形目标的正前方 N 处(AN=23 m)有一建筑物(建筑物的竖直高度大于20m)的侧面外形为直线l，直线 l与x轴的交点为点M，与地面的夹角为45°(∠MNE=45°)，S为抛物线上一点，ST⊥MN 于点T，则ST 是点S 距建筑物的距离.求小球在击中圆柱形目标的过程中，与建筑物的最小距离.
类型 3·由实物情境得到二次函数
5.新新趋势·项目化学习根据以下素材，探索完成任务.
如何调整蔬菜大棚的结构
素材1 我国的大棚种植技术已十分成熟.如图1，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线形(如图2)，大棚的一端固定在墙体OA 上，另一端固定在墙体 BC 上，其横截面有 2 根支架 DE,FG,其中OA=1m ,OB=6m,DE=BC=3、4m ,OF=DF=BD.
素材2 已知大棚共有支架400 根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后点 C，E上升相同的高度，增加的支架价格为60元/m(接口处忽略不计)，现有支架改造经费32 000元. ---
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.
任务2 尝试改造方案 当 时，只考虑支架改造经费的情况下，请通过计算说明能否完成改造.
任务3 拟定最优方案 只考虑支架改造经费的情况下，求CC'的最大值.
专题4 二次函数解析式的实际应用
1.解: 且x为整数).
详解 方法一：设y与x之间的函数关系式为 c(a≠0).
把点(1,1).(2,7)、(3、19)代入、得
解得
且x为整数).
方法二：观察可得拼接图案的第一层有x个正六边形模具，第x层的正六边形模具个数最多，有(2x-1)个.
将拼接图案进行割补、得到新的图案共有x层，且每层正六边形模具的个数为x+(2x-1)=3x-1.
∴新的图案中正六边形模具的总个数为x(3x-1).
∴拼接图案中所需正六边形模具的总个数为x(3x-1)-
，且x为整数).
(2)由(1),知
把y=169代入,得
解得 (不合题意，舍去).
∴小星拼接成的图案中第一层有8个正六边形模具.
(3)如图,设正六边形其他顶点分别为C,D,E,F,连接AD,BD.根据正六边形及其外接圆的性质易知，AD为⊙O 的直径，∠BAD=60°,线段BD的长即为边AB,DE 间的距离.
∴∠ABD=90°.∴∠ADB=30°.
∴⊙O的周长
∴⊙O的直径 即AD=4 cm.
设第一层有x个正六边形模具.
∴第x层的正六边形模具个数最多，有(2x-1)个，拼接成的图案共有(2x-1)层，其中有x层的高度按⊙O 的直径计算，(x-1)层的高度按正六边形的边长计算.
∴拼接图案的最大宽度为 最大高度为4x+2(x-1)=(6x-2) cm.
①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，
令 解得
∵x为整数,∴x最大取12.
②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，令 解得
∵x为整数,∴x最大取13.
把x=12代入 得y=397.
把x=13代入 ,得y=469.
∵469>397,∴最多可以放下469个正六边形模具.
2.解:(1)30详解由表格可知,当s=9和s=21时,h相等,当s=12和s=18时,h 相等.
∴抛物线关于直线s=15对称.
∵当s=0时,h=0,∴当s=30时,h=0.
(2)根据表格，知抛物线关于直线s=15 对称.
∴抛物线的顶点坐标为(15，5).
∴设 h 关于s的函数解析式为
把点(12,4.8)代入,得
解得
(3)①不成功.理由如下：
设 ts 时，足球位于守门员的正上方.
根据题意,得15t=(28-8)+2.5t.
解得t=1.6.∴s=15×1.6=24.
把s=24代入 得
∵3.2>2.5，超过守门员防守的最大高度，
∴若守门员选择面对足球后退，则守门不成功.
②此过程守门员的最小速度为
详解设守门员的速度为 vm/s，且ts 时，足球位于守门员的正上方.
根据题意，得15t=(28-8)+ vt.解得
把 代入 得
解得 (不合题意，舍去).
∴此过程守门员的最小速度为
3.解:(1)v=-0.5t+10(0≤t≤20)
(2)∵当t=0时,y=0,
∴设 y与t之间的函数解析式为.
把点(2,19),(4,36)代入,得
解得
∴y与t之间的函数解析式为
(3)①有可能.
设从 n s开始，3s的时间内的平均速度为6cm/s.
解得
∴从 s开始的3s时间内的平均速度为6 cm/s.
②由(1),知v=-0.5t+10,0≤t≤20.
把 代入,得t=20-2v .把v=v 代入,得t=20-2v .
把t=20-2v。代入 得
把t=20-2v 代入 得
∵平均速度
整理，得
(4)不会.理由如下：
设从黑球减速开始t s时黑球碰到白球.
整理，得
.此方程无解.
∴黑球在减速过程中不会碰到白球.
4.解：(1)y关于x的函数解析式为
详解设小球释放点与地面的竖直高度和小球释放点与落地点的水平距离之间的函数解析式为 把点(0,8,0.2),(1,6,0.8)代入,得
解得
∵图3中平面直角坐标系内画出的抛物线与小球释放后的运动轨迹一致，∴y关于x的函数解析式为
∵OE=20,∴点 E 的纵坐标为-20.
当y=-20时,
解得x=8(负值已舍)，
∴此时小球释放点O 与落地点F 之间的水平距离EF 的长为8 m.
(2)∵无人机水平向右飞行，
∴抛物线 水平向右平移.
设平移后的抛物线解析式为
由(1),得 F(8,-20),EF=8.
∴AF=AE--EF=12-8=4.∴m=4.
,点C的纵坐标为-20+5=-15.
把点 代入 得
解得 (不合题意，舍去).
综上所述，当无人机水平飞行4m 至12m的范围内释放小球可以击中目标.
(3)根据(2)可知，抛物线 水平向右平移12个单位长度后，此时小球在击中圆柱形目标的过程中，存在与建筑物的最小距离.
∴平移后的抛物线解析式为
如图,过点 M作MH⊥EN 于点 H,过点 S 分别作ST⊥MN 于点T,SQ∥MH 交直线MN 于点Q.
根据题意,得MH=OE=20,∠MNE=45°.
∵MH⊥EN,∴∠MHN=90°.
∴∠HMN=45°=∠MNE.∴MH=NH=20.
∵SQ∥MH,∴∠SQT=∠HMN=45°.
∵ST⊥MN,∴∠STQ=90°.
∴在 Rt△STQ 中.
∵AN=23,AE=12,∴EN=AE+AN=35.
∴N(35,-20).∴EH=EN-NH=35-20=15.
∴M(15,0).
设直线 MN 的解析式为y= kx+b.
把点 M(15,0),N(35,-20)代入、得
解得
∴直线 MN 的解析式为：y=-x+15.
∴设 则Q(x,-x+15).
∴当 时，SQ 有最小值、最小值为 此时
∴小球在击中圆柱形目标的过程中、与建筑物的最小距离为
5.解：任务1：以点O为原点、OB 所在直线为x轴，建立如图1所示的平面直角坐标系、
∴A(0,1),C(6,3.4).
设抛物线的解析式为
∵OF=DF=BD,OB=6,∴OF=DF=BD=2.又DE=BC,
∴抛物线的对称轴为直线
把点C(6,3.4)代入,得36a-60a+1=3.4.解得
∴抛物线的解析式为
任务2：如图2，建立与任务1相同的平面直角坐标系.
∵CC'=1,∴C'(6,4.4).
∵调整后点C，E上升相同的高度，∴改造后对称轴不变.
设改造后抛物线的解析式为
把点C'(6,4.4)代入,得36m-60m+1=4.4.
解得
∴改造后抛物线的解析式为
把x=2代入 得
把x=2代入 得
∴共需改造经费( (元).
∵20 000<32 000,∴能完成改造.
任务3：设改造后抛物线的解析式为
当x=2时,y=4n-20n+1=-16n+1;
当x=4时,y=16n-40n+1=-24n+1.
∴G'(2,-16n+1),E'(4,-24n+1).
根据题意,知E(4,3.4).由任务2,知σ(2,
∴EE'=-24n+1-3.4=-24n-2.4,
根据题意,得(-40n-4)×200×60≤32 000.
解得
∴CC'的值随n的增大而减小.
∴当 时，CC'的值最大，最大值为
2.4=1.6.∴CC'的最大值为1.6m.

展开更多......

收起↑